江苏省邗江中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题

江苏省邗江中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题

邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1．函数f（x）＝x2﹣sinx在[0，π]上的平均变化率为（　　）‎ A．1 B．2 C．π D．π2‎ ‎2．复数z满足z=‎‎2i‎1-i，则复数z的虚部为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i ‎3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），若P（X≥2）＝0.2，则P（0≤X≤1）为（　　）‎ A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6‎ ‎4．已知Cn+1‎‎7‎‎-Cn‎7‎=‎Cn‎8‎（n∈N*），则n等于（　　）‎ A．14 B．12 C．13 D．15‎ ‎5．已知f（x）＝x•sin2x，则为（　　）‎ A．﹣π B．‎-‎π‎2‎ C．π‎2‎ D．π ‎6．二项式（x‎+‎‎2‎x‎2‎）10展开式中的常数项是（　　）‎ A．180 B．90 C．45 D．360‎ ‎7．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）＝（　　）‎ A．‎3‎‎8‎ B．‎13‎‎40‎ C．‎13‎‎45‎ D．‎‎3‎‎4‎ ‎8．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　）‎ A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 ‎9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．已知（x﹣1）9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a8＝（　　）‎ A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．45‎ ‎11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（　　）‎ A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 ‎ B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A‎5‎‎4‎C‎4‎‎1‎ ‎ C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为‎(C‎5‎‎3‎C‎2‎‎1‎+C‎5‎‎2‎C‎3‎‎2‎)‎A‎3‎‎3‎ ‎ D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C‎3‎‎1‎C‎4‎‎2‎A‎3‎‎3‎‎+‎C‎3‎‎2‎A‎3‎‎3‎ ‎12．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈[1，e]的最小值为3，若存在x1，x2，…，xn∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）＝f（xn），则正整数n的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为　 　．‎ ‎14．若（1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝　 　．‎ ‎15．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________‎ ‎16．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为　 　．‎ 三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分，其他每题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知z是复数，z+2i与z‎2-i均为实数．‎ ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ ‎18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(结果用数字作答)．‎ ‎(1)选5人排成一排；‎ ‎(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；‎ ‎(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；‎ ‎(4)全体排成一排，女生必须站在一起；‎ ‎(5)全体排成一排，男生互不相邻.‎ ‎19．已知（x‎+‎‎1‎‎2‎‎4‎x）n的展开式中前三项的系数为等差数列．‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中系数最大的项．‎ ‎20．有一块半圆形的空地，直径米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃，如图所示，其中为圆心，，在半圆上，其余为绿化部分，设.‎ ‎（1）记花圃的面积为，求的最大值；‎ ‎（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边、处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰、不铺设，求满足什么条件时，会使总造价最大.‎ ‎21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中．‎ ‎（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；‎ ‎（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X的数学期望E（X）；‎ ‎（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？‎ ‎22．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞x﹣a恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设n∈N*，证明：（‎1‎n）n+（‎2‎n）n+（‎3‎n）n+…+（nn）n‎＜‎ee-1‎． ‎ 高二年级期中考试试题参考答案2020.5.6‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．函数f（x）＝x2﹣sinx在[0，π]上的平均变化率为（　　）‎ A．1 B．2 C．π D．π2‎ ‎【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣sinx，则f（0）＝0，f（π）＝π2﹣sinπ＝π2，‎ 则f（x）在[0，π]上的平均变化率为‎△y‎△x‎=f(π)-f(0)‎π-0‎=π‎2‎‎-0‎π-0‎=‎π；‎ 故选：C．‎ ‎2．复数z满足z‎=‎‎2i‎1-i，则复数z的虚部为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i ‎【解答】解：∵z=‎2i‎1-i=‎2i(1+i)‎‎(1-i)(1+i)‎=‎2i(1+i)‎‎2‎=-1+i，‎ 则复数z的虚部为1．‎ 故选：B．‎ ‎3．已知随机变量X服从正态分布N（1，4），若P（X≥2）＝0.2，则P（0≤x≤1）为（　　）‎ A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6‎ ‎【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，4），‎ ‎∴μ＝1，σ＝2，‎ 又P（X≥2）＝0.2，‎ ‎∴P（0≤X≤1）＝P（1≤X≤2）＝0.5﹣0.2＝0.3；‎ 故选：B．‎ ‎4．已知Cn+1‎‎7‎‎-Cn‎7‎=‎Cn‎8‎（n∈N*），则n等于（　　）‎ A．14 B．12 C．13 D．15‎ ‎【解答】解：∵Cn+1‎‎7‎‎-Cn‎7‎=‎Cn‎8‎（n∈N*），‎ ‎∴Cn+1‎‎7‎‎=Cn‎8‎+Cn‎7‎=‎Cn+1‎‎8‎，‎ ‎∴n+1＝7+8，解得n＝14．‎ 故选：A．‎ ‎5．已知f（x）＝x•sin2x，则f'（π‎2‎）为（　　）‎ A．﹣π B．‎-‎π‎2‎ C．π‎2‎ D．π ‎【解答】解：f'（x）＝sin2x+x•2cos2x＝sin2x+2xcos2x，‎ f'（π‎2‎）＝sinπ+πcosπ ‎＝0﹣π ‎＝﹣π，‎ 故选：A．‎ ‎6．二项式（x‎+‎‎2‎x‎2‎）10展开式中的常数项是（　　）‎ A．180 B．90 C．45 D．360‎ ‎【解答】解：二项式（x‎+‎‎2‎x‎2‎）10展开式的通项公式为 Tr+1‎=‎C‎10‎r•2r•x‎5-‎‎5r‎2‎，‎ 令5‎-‎5r‎2‎=‎0，求得 r＝2，可得展开式中的常数项是 C‎10‎‎2‎•22＝180，‎ 故选：A．‎ ‎7．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则P（B|A）＝（　　）‎ A．‎3‎‎8‎ B．‎13‎‎40‎ C．‎13‎‎45‎ D．‎‎3‎‎4‎ ‎【解答】解：由题意，n（AB）‎=C‎3‎‎1‎C‎3‎‎1‎+C‎2‎‎1‎C‎2‎‎1‎=‎13，n（A）‎=C‎5‎‎1‎C‎8‎‎1‎=‎40‎ ‎∴P（B|A）‎=n(AB)‎n(A)‎=‎‎13‎‎40‎．‎ 故选：B．‎ ‎8．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　）‎ A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 ‎【解答】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为A、B、C、D、E，分4步分析：‎ ‎①，对于A区域，有4种涂法，‎ ‎②，对于B区域，与A相邻，有3种涂法，‎ ‎③，对于C区域，与A、B相邻，有2种涂法，‎ ‎④，对于D区域，若其与B区域同色，则E有2种涂法，‎ 若D区域与B区域不同色，则E有1种涂法，‎ 则D、E区域有2+1＝3种涂色方法，‎ 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；‎ 故选：B．‎ ‎9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），‎ 且函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，‎ ‎∴当x＞﹣1时，f′（x）＜0；‎ 当x＝﹣1时，f′（x）＝0；‎ 当x＜﹣1时，f′（x）＞0．‎ ‎∴当0＞x＞﹣1时，xf′（x）＞0；x＞0时，xf′（x）＜0；‎ 当x＝﹣1时，xf′（x）＝0；‎ 当x＜﹣1时，xf′（x）＜0．‎ 故选：D．‎ ‎10．已知（x﹣1）9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a8＝（　　）‎ A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．45‎ ‎【解答】解：（x﹣1）9（1﹣x）＝﹣（x﹣1）10，‎ 设（x﹣1）10的通项公式为Tk+1＝（﹣1）k‎∁‎‎10‎kx10﹣k．k＝0，1，…，10，‎ 令10﹣k＝8，解得k＝2．‎ ‎∴a8＝﹣（﹣1）2‎∁‎‎10‎‎2‎‎=-‎45．‎ 故选：A．‎ ‎11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（　　）‎ A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 ‎ B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A‎5‎‎4‎C‎4‎‎1‎ ‎ C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为‎(C‎5‎‎3‎C‎2‎‎1‎+C‎5‎‎2‎C‎3‎‎2‎)‎A‎3‎‎3‎ ‎ D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C‎3‎‎1‎C‎4‎‎2‎A‎3‎‎3‎‎+‎C‎3‎‎2‎A‎3‎‎3‎ ‎【解答】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为45，即选项A错误，‎ ‎②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为C‎5‎‎2‎A‎4‎‎4‎，即选项B错误，‎ ‎③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（C‎5‎‎3‎C‎2‎‎1‎A‎2‎‎2‎‎+‎C‎5‎‎2‎C‎3‎‎2‎A‎2‎‎2‎）A‎3‎‎3‎，即选项C错误，‎ ‎④每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C‎3‎‎1‎C‎4‎‎2‎A‎3‎‎3‎‎+‎C‎3‎‎2‎A‎3‎‎3‎，即选项D正确，‎ 故选：D．‎ ‎12．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈[1，e]的最小值为3，若存在x1，x2…xn∈[1，e]，使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn﹣1）＝f（xn），则正整数n的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：求导，f'(x)=a-‎1‎x=‎ax-1‎x，‎ 当a≤0或‎0＜a≤‎‎1‎e时，f′（x）＜0在x∈[1，e]恒成立，‎ 从而f（x）在[1，e]单调递减，f（x）min＝f（e）＝ae﹣1＝3，‎ 解得a=‎4‎e∉(-∞，‎1‎e]‎，不合题意，‎ 当‎1‎e‎＜a＜1‎时，易得f（x）在‎(1，‎1‎a)‎单调递减，在‎(‎1‎a，e)‎单调递增，‎ f(x‎)‎min=f(‎1‎a)=1-ln‎1‎a=3‎‎，解得a=e‎2‎∉(‎1‎e，1)‎不合题意，‎ 当a＞1时，f（x）在[1，e]单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝a＝3＞1，满足题意，‎ 所以a＝3，‎ 所以f（x）＝3x﹣lnx，x∈[1，e]，所以f（x）min＝f（1）＝3，f（x）max＝f（e）＝3e﹣1，‎ 依题意有（n﹣1）f（x）min≤f（x）max，即（n﹣1）3≤3e﹣1，得n≤e+‎‎2‎‎3‎，又因为n∈N*，‎ 所以n≤3，所以n的最大值为3，‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎14．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是　‎3‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：设抽到次品个数为ξ，则ξ～H（3，2，10）‎ ‎∴Eξ‎=nMN=‎3×2‎‎10‎=‎‎3‎‎5‎ 故答案为：‎‎3‎‎5‎ ‎15．若（1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝　1023　．‎ ‎【解答】解：∵（1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，‎ 令x＝0得：1＝a0；①‎ 令x＝1得：a0+a1+a2+a3+…+a10＝（1﹣3）10＝1024； ②‎ 由①②可得：a1+a2+a3+…+a10＝1024﹣1＝1023；‎ 故答案为：1023．‎ ‎16．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________‎ ‎【解答】解：设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，‎ 则p+2p＝3p＝1，解得p‎=‎‎1‎‎3‎，即按照顺时针跳的概率为‎1‎‎3‎，则逆时针方向跳的概率为‎2‎‎3‎，‎ 若青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上，‎ 则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，‎ ‎①若先按逆时针开始从A→B，则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为‎2‎‎3‎‎×C‎3‎‎1‎×‎2‎‎3‎×(‎1‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎12‎‎81‎=‎‎4‎‎27‎，‎ ‎②若先按顺时针开始从A→C，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为‎1‎‎3‎‎×C‎3‎‎1‎×‎1‎‎3‎×(‎2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎12‎‎81‎=‎‎4‎‎27‎，‎ 则概率为‎4‎‎27‎‎+‎4‎‎27‎=‎‎8‎‎27‎，‎ 故答案为:‎ ‎16．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b 的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为　‎1‎‎3‎e‎2‎　．‎ ‎【解答】解：设曲线y＝f（x）与y＝g（x）的公共点为H（x0，y0），‎ 因为f'(x)=‎‎6‎a‎2‎x，g'（x）＝2x﹣4a，‎ 所以‎2x‎0‎-4a=‎‎6‎a‎2‎x‎0‎，化简得x‎0‎‎2‎‎-2ax‎0‎-3a‎2‎=0‎，‎ 解得x0＝﹣a或3a，‎ 又x0＞0，且a＞0，则x0＝3a．‎ 因为f（x0）＝g（x0）．‎ 所以x‎0‎‎2‎‎-4ax‎0‎-b=6a‎2‎lnx‎0‎，b＝﹣3a2﹣6a2ln3a（a＞0）．‎ 设h（a）＝b，所以h'（a）＝﹣12a（1+ln3a），‎ 令h'（a）＝0，得a‎=‎‎1‎‎3e，‎ 所以当‎0＜a＜‎‎1‎‎3e时，h'（a）＞0；当a＞‎‎1‎‎3e时，h'（a）＜0．‎ 即h（a）在‎(0，‎1‎‎3e)‎上单调递增，在‎(‎1‎‎3e，+∞)‎上单调递减，‎ 所以b的最大值为h(‎1‎‎3e)=‎‎1‎‎3‎e‎2‎．‎ 故答案为：‎1‎‎3‎e‎2‎．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知z是复数，z+2i与z‎2-i均为实数．‎ ‎（1）求复数z；‎ ‎（2）复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），‎ 则z+2i＝x+（y+2）i为实数，‎ ‎∴y＝﹣2．‎ ‎∵z‎2-i‎=x-2i‎2-i=‎(x-2i)(2+i)‎‎(2-i)(2+i)‎=‎2x+2+(x-4)i‎5‎=‎2x+2‎‎5‎+x-4‎‎5‎i为实数，‎ ‎∴x-4‎‎5‎‎=0‎，解得x＝4．‎ 则z＝4﹣2i；‎ ‎（2）∵（z+ai）2＝（4﹣2y+ai）2＝（12+4a﹣a2）+8（a﹣2）i在第一象限，‎ ‎∴‎12+4a-a‎2‎＞0‎‎8(a-2)＞0‎，‎ 解得2＜a＜6．‎ ‎18．已知（x‎+‎‎1‎‎2‎‎4‎x）n的展开式中前三项的系数为等差数列．‎ ‎（1）求二项式系数最大项；‎ ‎（2）求展开式中系数最大的项．‎ ‎【解答】解：（1）∵（x‎+‎‎1‎‎2‎‎4‎x）n的展开式中前三项的系数为Cn‎0‎•‎(‎1‎‎2‎)‎‎0‎、Cn‎1‎•‎1‎‎2‎、Cn‎2‎•‎(‎1‎‎2‎)‎‎2‎，‎ ‎∵他们成等差数列，∴2（Cn‎1‎•‎1‎‎2‎）‎=‎Cn‎0‎•‎(‎1‎‎2‎)‎‎0‎‎+‎Cn‎2‎•‎(‎1‎‎2‎)‎‎2‎，求得 n＝8，或n＝1（舍去），‎ 故二项式系数最大的项为T5‎=‎C‎8‎‎4‎•‎(‎1‎‎2‎)‎‎4‎•x‎=‎‎35‎‎2‎x．‎ ‎（2）第r+1项为 Tr+1‎=‎C‎8‎r•‎(‎1‎‎2‎)‎r•x‎4-‎‎3r‎4‎，‎ 要使第r+1项的系数C‎8‎r•‎(‎1‎‎2‎)‎r最大，r＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，‎ 经检验，r＝2 或3 时，第r+1项的系数C‎8‎r•‎(‎1‎‎2‎)‎r最大，‎ 故展开式中系数最大的项为 T3‎=‎C‎8‎‎2‎•‎1‎‎4‎•x‎5‎‎2‎‎=‎7x‎5‎‎2‎，T4‎=‎C‎8‎‎3‎•‎1‎‎8‎•x‎7‎‎4‎‎=‎7x‎7‎‎4‎．．‎ ‎19．有一块半圆形的空地，直径米，政府计划在空地上建一个形状为等腰梯形的花圃，如图所示，其中为圆心，，在半圆上，其余为绿化部分，设.‎ ‎（1）记花圃的面积为，求的最大值；‎ ‎（2）若花圃的造价为10元/米²，在花圃的边、处铺设具有美化效果的灌溉管道，铺设费用为500元/米，两腰、不铺设，求满足什么条件时，会使总造价最大.‎ ‎【解答】解: （1）设半径为，则米，作，垂足为，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎，‎ 所以当时，，递增；当时，，递减.‎ 所以当时最大，最大值为.‎ ‎（2）设花圃总造价为，.‎ ‎.‎ 令，则，由于，则.‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以当时，函数有最大值，即总造价最大.‎ ‎20．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．‎ ‎（1）43251是这个数列的第几项？‎ ‎（2）这个数列的第96项是多少？‎ ‎（3）求这个数列的各项和．‎ ‎【解答】解：（1）先考虑大于43251的数，分为以下三类 第一类：以5打头的有：A‎4‎‎4‎‎=‎24‎ 第二类：以45打头的有：A‎3‎‎3‎‎=‎6‎ 第三类：以435打头的有：A‎2‎‎2‎‎=‎2…（2分）‎ 故不大于43251的五位数有：A‎5‎‎5‎‎-(A‎4‎‎4‎+A‎3‎‎3‎+A‎2‎‎2‎)=88‎（个）‎ 即43251是第88项．…（4分）‎ ‎（2）1开头的五位数有A‎4‎‎4‎‎=‎24；2开头的五位数有A‎4‎‎4‎‎=‎24；3开头的五位数有A‎4‎‎4‎‎=‎24；4开头的五位数有A‎4‎‎4‎‎=‎24；‎ 所以1、2、3、4开头的五位数共有96个 所以第96项是4开头最大的数，即45321．…（8分）‎ ‎（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A‎4‎‎4‎个五位数，‎ 所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）•A‎4‎‎4‎•10000…（10分）‎ 同理它们在千位、十位、个位上也都有A‎4‎‎4‎个五位数，所以这个数列各项和为：‎ ‎（1+2+3+4+5）•A‎4‎‎4‎•（1+10+100+1000+10000）＝15×24×11111＝3999960…（12分）‎ ‎21．已知甲箱中装有3个红球，2个黑球乙箱中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，某商场举行有奖促销活动，规定顾客购物1000元以上，可以参与抽奖一次，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱子中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出4个球都是红球，则获得一等奖，奖金300元；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖，奖金200元；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，奖金100元；其他情况不获奖，每次摸球结束后将球放回原箱中．‎ ‎（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；‎ ‎（2）若3人各参与摸奖1次，求获奖人数X的数学期望E（X）；‎ ‎（3）若商场同时还举行打9折促销活动，顾客只能在两项促销活动中任选一项参与假若你购买了价值1200元的商品，那么你选择参与哪一项活动对你有利？‎ ‎【解答】解：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A，‎ 则在1次摸奖中，获得二等奖的概率P（A）‎=C‎3‎‎2‎C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎‎+‎C‎3‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎C‎5‎‎2‎=‎‎6‎‎25‎．‎ ‎（2）设“在1次摸奖中，获奖”为事件B，‎ 则获得一等奖的概率为P1‎=C‎3‎‎2‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎C‎5‎‎2‎=‎‎3‎‎100‎，‎ 获得三等奖的概率为P3‎=C‎3‎‎2‎C‎3‎‎2‎‎+C‎3‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎2‎‎1‎C‎3‎‎1‎+‎C‎2‎‎2‎C‎2‎‎2‎C‎5‎‎2‎C‎5‎‎2‎=‎‎23‎‎50‎．‎ 所以P（B）‎=‎3‎‎100‎+‎6‎‎25‎+‎23‎‎50‎=‎‎73‎‎100‎．‎ 由题意，3人参与摸奖，相当于独立重复实验3次，随机变量X～B（3，‎73‎‎100‎），‎ 所以P（X＝i）‎=C‎3‎i(‎73‎‎100‎‎)‎i(1-‎‎73‎‎100‎‎)‎‎3-i，i＝0，1，2，3．‎ 获奖人数X的数学期望EX＝3‎×‎73‎‎100‎=‎‎219‎‎100‎．‎ ‎（3）参与有奖促销活动获得的奖金数Y的所有可能取值为300，200，100，0，‎ 由（2）知，P（Y＝300）‎=‎‎3‎‎100‎，P（Y＝200）‎=‎‎6‎‎25‎，P（Y＝100）‎=‎‎23‎‎50‎，P（Y＝0）‎=‎‎27‎‎100‎，‎ 所以Y的分布列是 Y ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎0‎ P ‎3‎‎100‎‎ ‎ ‎6‎‎25‎‎ ‎ ‎23‎‎50‎‎ ‎ ‎27‎‎100‎‎ ‎ 所以参与有奖促销活动获得的奖金数的期望为：‎ EY‎=300×‎3‎‎100‎+200×‎6‎‎25‎+100×‎23‎‎50‎+‎0‎×‎27‎‎100‎=‎103，‎ 参与打9折促销活动，获得的返还金额为1200‎×‎10‎‎100‎=‎120元＞103元；‎ 所以应选择参与打9折促销活动有利．‎ ‎22．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣a（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若对任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞x﹣a恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设n∈N*，证明：（‎1‎n）n+（‎2‎n）n+（‎3‎n）n+…+（nn）n‎＜‎ee-1‎．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ex﹣ax﹣a，‎ 所以f′（x）＝ex﹣a；‎ ‎①当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增；‎ ‎②当a＞0时，令f′（x）＞0，得ex＞0，解得x＞lna，‎ 令f′（x）＜0，得ex＜0，解得x＜lna，‎ 所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）对任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞x﹣a恒成立，‎ 即（a+1）x＜ex恒成立，‎ 即当x∈（0，2]时，a‎＜exx-‎1恒成立，‎ 令g（x）‎=exx-‎1，x∈（0，2]，‎ 则g′（x）‎=‎‎(x-1‎‎)exx‎2‎；‎ 所以当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，‎ x∈（1，2）]时，g′（x）＞0，‎ 所以g（x）在区间（0，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增；‎ 所以x＝1时，函数g（x）取得最小值为e﹣1，‎ 所以实数a的取值范围是（﹣∞，e﹣1）；‎ ‎（Ⅲ）证明：在（Ⅰ）中，令a＝1可知对任意实数x，都有ex﹣x﹣1≥0，‎ 即x+1≤ex，当且仅当x＝0时“＝”成立；‎ 令x+1‎=‎kn，k＝1，2，3，…，n∈N*，‎ 则kn‎＜‎ekn‎-1‎，‎ 即‎(kn)‎n‎＜‎ek﹣n‎=‎eken，‎ 所以（‎1‎n）n+（‎2‎n）n+（‎3‎n）n+…+（nn）n‎＜‎‎1‎en（e1+e2+e3+…+en）‎=e‎(en-1)‎‎(e-1‎‎)en＜‎ee-1‎．‎