河北省张家口市宣化区宣化第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学试卷

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河北省张家口市宣化区宣化第一中学2019-2020学年 高二下学期5月月考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ，‎ 2. A. B. C. D. ‎ 3. 给出下列四个命题： 若，则或； ，都有； “”是函数“的最小正周期为”的充要条件； “”的否定是“，”； 其中真命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 4. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是   ‎ A. 2 B. C. D. ‎ 5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间内是增函数的是 A. B. C. D. ‎ 6. 在中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，若，，，则 A. B. 或 C. D. 或 7. 化简等于 A.  4 B. sin  4 C.   4 D. sin  4‎ 8. 若符合：对定义域内的任意的，都有，且当时，，则称为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是    ‎ A. B. C. D. ‎ 9. 函数其中，的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是 A. 函数为奇函数 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数为偶函数 D. 函数的图象的对称轴为直线 1. 已知定义在R上的偶函数满足，当时，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 2. 若在区间上是增函数，则实数a的取值范围为    ‎ A. B. C. D. ‎ 3. 已知定义在上的函数，为其导数，且恒成立，则 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 4. 已知函数，则______．‎ 5. 关于函数，有下列命题： 的表达式可改写为； 是以为最小正周期的周期函数； 的图象关于点对称； 的图象关于直线对称． 其中正确的命题的序号是______．‎ 6. 在中内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若，的形状一定是______．‎ 7. 设，若函数，有小于零的极值点，则实数a的取值范围是______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 8. 已知函数， 若，且，求的值； 求函数最小正周期及函数在上单调递减区间． ‎ 9. 设函数Ⅰ当时，求函数的值域；Ⅱ的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．‎ ‎ ‎ 1. 已知，设函数 若为自然常数，求函数在上的最小值； 判断函数的单调性． ‎ 2. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 求角C的大小； 若为锐角三角形，且，求的取值范围． ‎ 3. 已知某圆的极坐标方程是 求： 求圆的普通方程和一个参数方程； 圆上所有点中xy的最大值和最小值． ‎ ‎22.设函数． 当，时，恒成立，求b的范围； 若在处的切线为，求a、b的值．并证明当时，． ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C ‎【解析】解：，； ． 故选：C． 可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算． 2.【答案】B ‎【解析】解： ． 故选：B． 把角变为，变为利用诱导公式化简，然后将化简后的式子利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得出值． 此题考查了诱导公式，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的灵活变换． 3.【答案】A ‎【解析】解：对于若，则或；显然不正确，不满足交集的定义；所以不正确； 对于，都有；当时，不等式不成立，所以不正确； 对于“”是函数“，函数的最小正周期为”的充要条件；不正确，当时，函数的周期也是，所以不正确； 对于“”的否定是“，”；满足命题的否定形式，正确； 故选：A． 利用交集的定义判断的正误；利用反例判断的正误；利用三角函数的周期判断的正误；利用命题的否定判断的正误； 本题考查命题的真假的判断与应用，考查函数恒成立、三角函数的周期、交集的定义、命题的否定，是基础题． 4.【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查弧长公式，求解本题的关键是利用弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形求半径，属于基础题． 连接圆心与弦的中点，则得到一个弦一半所对的角是1弧度的角，由于此半弦长是1，故可解得半径是，进而利用弧长公式求弧长即可． 【解答】 解：连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角为1弧度， 故半径为， 这个圆心角所对的弧长为 ‎， 故选：C． 5.【答案】D ‎【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，，其定义域为，不是奇函数，不符合题意； 对于B，，为二次函数，不是奇函数，不符合题意； 对于C，，在上不是增函数，不符合题意； 对于D，，有，为奇函数，又由，则函数在内是增函数，符合题意； 故选：D． 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 6.【答案】A ‎【解析】解：根据题意，在中，，则，且A为锐角； 又由，可得， 又由，则，则； 故选：A． 根据题意，有cosA的值求出sinA的值，结合正弦定理可得，计算可得sinB的值，比较a、b的大小，分析可得答案． 本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题． 7.【答案】A 解析】解：， ， ， 因为， 所以cos  4． 所以    4． 故选：A． 直接利用三角函数关系式的变换求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 8.【答案】B ‎【解析】【分析】 本题是新定义问题，指数函数的简单性质的应用，是基本知识的考查． 利用好函数的定义，判断选项的正误即可． 【解答】 解：对定义域内的任意的，，都有，说明函数是指数函数，排除选项C，D； 又因为：时，，所以排除选项A； 故选：B． 9.【答案】B ‎【解析】解：依题意，，，所以，所以，又，所以，，所以 将函数的图象向左平移个单位长度，得 奇偶性，显然不是奇函数也不是偶函数，A，C错． 单调性，由，得的单调递增区间为，B对． 对称性，由得，，故D错． 故选：B． 先确定函数的解析式，再根据函数图象的平移，得到，然后逐项分析即可． 本题考查了正弦型函数的解析式的求法、对称性、奇偶性、单调性，考查分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题． 10.【答案】A ‎【解析】解：根据题意，函数满足，则的图象关于直线对称， 函数的图象也关于直线对称， 函数的图象与函数的图象的位置关系如图所示， 可知两个图象有3个交点，一个在直线上，另外2个关于直线对称， 则两个函数图象所有交点的横坐标之和为3； 故选：A． 根据题意，分析可得与的图象都关于直线对称，作出两个函数的图象，分析其交点的情况，即可得答案． 本题考查函数的奇偶性与对称性的应用，涉及函数的图象变换，属于基础题． 11.【答案】D ‎【解析】【分析】 首先把函数变形成标准型的二次函数，进一步利用复合函数的单调性求出结果． 本题考查的知识要点：复合函数的单调性，三角函数的单调性，参数的取值范围，属于中档题． 【解答】 解： ， 令，则． 由于在区间上是增函数，故， 结合在区间上是增函数，可得在 上单调递增． 由于二次函数的图象的对称轴为，，， 故选：D． 12.【答案】C ‎【解析】【分析】 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，构造函数是解题的关键，本题是一道中档题． 构造函数，求出的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数值的大小即可． 【解答】 解：由， 则， 构造函数， 则， 当时，， 即函数在上单调递增， ， ， 故选C． 13.【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题考查分段函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 求出，从而，由此能求出结果 【解答】 解：函数 ， ． 故答案为：． 14.【答案】，‎ ‎【解析】解： ，故正确； ，故不正确； 令代入f 得到，故 的图象关于点对称，‎ 正确不正确； 故答案为：． 先根据诱导公式可判断，再由最小正周期的求法可判断，最后根据正弦函数的对称性可判断和，得到答案． 本题主要考查正弦函数的基本性质--周期性、对称性，考查诱导公式的应用．三角函数的基础知识是解题的关键． 15.【答案】直角三角形 ‎【解析】解：，即， 由余弦定理可得：， 整理可得， 三角形是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简求解即可判断三角形的形状． 本题考查三角形形状的判断，余弦定理以及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 16.【答案】‎ ‎【解析】解：，， ． 由题意知有小于0的实根，令，，则两曲线交点在第二象限， 结合图象易得， 故实数a的取值范围是， 故答案为： 先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有小于0的极值故导函数有小于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围． 本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即函数取到极值时一定有其导函数等于0，但反之不一定成立． 17.【答案】解：函数， 若，且， ， ． 由题意知函数 ‎ ‎ ， 故的最小正周期为． 令， 求得， 可得函数的减区间为，． ， 函数在上单调递减区间为 故在上单调递减区间为 ‎【解析】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题． 由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值． 利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论． 18.【答案】解：Ⅰ ， ，， ， 函数的值域为；Ⅱ， ，，，即， 由正弦定理，， ， ， ，则 ． ‎ ‎，， ．‎ ‎【解析】Ⅰ利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，结合三角函数的值域进行求解即可；Ⅱ根据条件求出A的值，结合正弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可． 本题主要考查三角函数的恒等变换，解正弦定理以及三角形的面积公式的应用，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键． 19.【答案】解：若，则 ， 令，解得：， 令，解得：， 在上单调递减，在上单调递增． 故 当时，函数取得最小值，最小值是 由题意可知，函数的定义域是 又 当时，，函数在上单调递增； 当时， 令解得，，此时函数是单调递增的 令解得，，此时函数是单调递减的 综上所述，当时，函数的单调递增区间是 当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是 ‎【解析】若，则，从而在上单调递减，在上单调递增．故 当时，函数取得最小值，最小值是； 由，讨论当，时的情况，从而得出函数的单调区间． 本题考查了函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想． 20.【答案】解：由题设及正弦定理得，， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 故C． 由正弦定理得，， 所以，， 所以 ‎ ‎， 由，得， 所以， 故， 所以的取值范围为 ‎【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 由题设及正弦定理，两角和的正弦函数公式化简可得，结合C的范围，利用特殊角的三角函数值可求C的值． 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求范围，可得，根据正弦函数的性质可求其取值范围． 21.【答案】解：普通方程：分； 参数方程： 为参数分 分 令 ，则分 当时，最小值是1；分 当时，最大值是9；分 ‎【解析】圆的极坐标方程是，化为直角坐标方程即，从而进一步得到其参数方程． 因为，再令，则，根据二次函数的最值，求得其最大值和最小值． 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两角和的正弦公式，圆的参数方程，得到圆的参数方程，是解题的关键． 22.【答案】解：由， 当时，得． 当时，，，且当时，，，此时． 所以，即在上单调递増， 所以， 由恒成立，得，所以． 由得，且． 由题意得，所以． 又在切线上． 所以所以． 所以 ‎． 先证，即， 令，， 则， 所以在是增函数． 所以，即 再证，即， 令， 则，时，，时，，时，． 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以． 即，所以 由得，即在上成立． ‎ ‎【解析】由，当时，得利用导函数的符号，利用函数的恒成立，推出最值得到不等式求解即可． 由得，且先证，即， 令，，则，通过函数的单调性证明即可，再证，即，令，利用函数的导数求解函数的最小值，推出结果即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力． ‎