2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二6月阶段性测试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二6月阶段性测试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二6月阶段性测试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设全集，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合、，利用交集的定义求出 ‎【详解】‎ ‎，‎ 由于，所以，‎ 故答案选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式与对数不等式的解以及集合交集的运算，属于基础题。‎ ‎2．已知命题p：∃x0∈R，x02＋2x0＋1≤0，则为 （ ）‎ A．∃x0∈R，x02＋2x0＋1＞0 B．∃x0∈R，x02＋2x0＋1＜0‎ C．∀x∈R，x2＋2x＋1≤0 D．∀x∈R，x2＋2x＋1＞0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定的写法写出答案即可.‎ ‎【详解】‎ 命题p：∃x0∈R，x02＋2x0＋1≤0，则为∀x∈R，x2＋2x＋1＞0。‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了特称命题的否定的写法，特称命题的否定是全称命题，写命题的否定的原则是：换量词，否结论，不变条件.‎ ‎3．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶次根号下的被开方数大于等于零、对数真数大于零，列出不等式组，进行求解即可。‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，则 ，解得：；‎ 故答案选A ‎【点睛】‎ 本题考查函数定义域的求法，根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，解出不等式组即可得到答案，属于基础题。‎ ‎4．以下说法错误的是（ ）‎ A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B．“”是“”的充分不必要条件 C．若命题存在，使得，则:对任意，都有 D．若且为假命题，则均为假命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题定义、命题否定的定义分别判断出正确；解方程得到解集和的包含关系，结合充要条件的判定可知正确；根据复合命题的真假性可知错误，由此可得结果.‎ ‎【详解】‎ 选项：根据逆否命题的定义可知：原命题的逆否命题为“若，则”，可知正确；‎ 选项：由，解得，因此“”是“”的充分不必要，可知正确； ‎ 选项：根据命题的否定可知对任意，都有，可知正确； ‎ 选项：由且为假命题，则至少有一个为假命题，因此不正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎5．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可 ‎【详解】‎ 对于A，为奇函数，在区间为单调增函数，不满足题意；‎ 对于B, 为偶函数，在区间上为单调递减的函数，故B满足题意；‎ 对于C, 为偶函数，在区间上为周期函数，故C不满足题意；‎ 对于D, 为偶函数，在区间为单调增函数，故D不满足题意；‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.‎ ‎6．若函数在上为减函数，则函数的单调递增区间( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，令，求得的定义域为，函数是减函数，本题即求函数t在上的减区间，再利用二次函数的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由函数在上为减函数，可得，‎ 令，求得的定义域为，‎ 且函数是减函数，‎ 所以本题即求函数t在上的减区间，‎ 利用二次函数的性质可得函数在上的减区间是，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关对数型函数的单调区间，在解题的过程中，注意首先根据题意确定出参数的取值范围，之后根据复合函数的单调性法则以及结合函数的定义域求得结果.‎ ‎7．若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则的值是( )‎ A． B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上是单调函数，可得为一常数，进而可得函数的解析式，将代入可得结果.‎ ‎【详解】‎ 对任意，都有，‎ 且函数在上是单调函数，‎ 故，即，‎ ‎，解得，‎ 故，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的单调性与函数的解析式以及待定系数法的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于难题.‎ ‎8．若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得恒成立，可解得a的范围．‎ ‎【详解】‎ 当时，f（x）＝，单调递减，∴f（x）的最小值为f(2)=1，‎ 当x＞2时，f（x）＝单调递增，若满足题意，只需恒成立，‎ 即恒成立，‎ ‎∴，∴a≥0，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，考查了指对函数的单调性，属于中档题．‎ ‎9．若函数在内单调递减，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，让导函数在内，恒小于等于零，可以化为：在内恒成立，构造新函数，求出新函数的值域，就可以求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 在内恒成立，即 在内恒成立，设所以在内是单调递增，因此，要想在内恒成立，只需即可，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数的单调性求参数问题.解决此类问题的关键是通过转化变形，构造新函数，利用新函数的值域，求出参数的范围.‎ ‎10．已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造函数，由可得在上恒成立，所以函数在为上单调递减函数，由为偶函数，，可得，故要求不等式的解集等价于的解集，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意构造函数，则，‎ 定义在上的可导函数的导函数为，满足 在上恒成立，函数在上为单调递减函数；‎ 又为偶函数，则函数 ，即关于对称，‎ ‎ ，则，‎ 由于不等式的解集等价于的解集，‎ 根据函数在上为单调递减函数，则，‎ 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查函数的构造，利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性解不等式、函数的奇偶性以及对称性的综合应用，属于较难题。‎ ‎11．已知函数有大于零的极值点，则实数的取值范围为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数，利用函数在x∈R上有大于零的极值点，可得在上有解，从而可求参数a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎，显然当时是单调函数，‎ 由题意可得在上有解，‎ 即在上有解，因为，所以．故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查不等式有解问题，属于中档题．‎ ‎12．已知函数，，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导，求出的最值，再根据，使得，得到关于a的不等式解得即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵ ， 故的最小值为;‎ 函数≤a,故a≥e 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数与函数的最值问题，以及不等式有解问题，双变元问题，考查转化化归能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．‎ ‎【答案】充分不必要条件 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解出的等价条件，然后利用充分条件与必要条件的定义进行判定即可。‎ ‎【详解】‎ 由或，‎ 当时，成立，则“”是“”的充分条件；‎ 当时，不一定成立，则“”是“”的不必要条件；‎ 故“”是“”的充分不必要条件。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充要条件的判断，属于基础题。‎ ‎14．已知函数(为自然对数的底数)，且函数在点处的切线斜率为1，则_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的导数几何意义即可求得.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.‎ ‎15．函数在上的最大值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求得函数的单调性，得到当时，函数取得最大值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，可得函数的定义域为，‎ 又由，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以当时，函数取得最大值，最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及利用导数求解函数的最值问题，其中解答中熟练应用导数得到函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线与曲线有两个公共点可得方程有两不等实根，即有两不等实根，令，求出函数的值域即可.‎ ‎【详解】‎ 因为直线与曲线有两个公共点，所以方程有两不等实根，即有两不等实根，令，则与函数有两不同交点，因为，所以由得；由得或；因此函数在和上单调递减，在上单调递增，作出函数的简图大致如下：‎ 因为；又与函数有两不同交点，所以由图像可得，只需.故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，只需将函数有交点的问题，转化为方程有零点来处理即可，属于常考题型.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设命题：对恒成立，命题：，.‎ ‎(1)若为真，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若为真，为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出命题均为真命题时实数的取值范围．（1）由为真可得均为真命题，取交集可得所求范围；（2）由题意得一真一假，分类讨论可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ 若命题为真命题，则有，解得．‎ 若命题为真命题，则，解得或．‎ ‎（1）∵为真命题，‎ ‎∴命题均为真命题．‎ 由，解得，‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎（2）∵为真，为假，‎ ‎∴命题一真一假，‎ ‎①当命题为真命题、命题为假命题时，‎ 则有，解得；‎ ‎②当命题为假命题、命题为真命题时，‎ 则有，解得．‎ 综上可得或．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 根据命题的真假求参数的取值范围的方法 ‎(1)求出当命题为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎(2)判断命题的真假性；‎ ‎(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ ‎18．设函数 ‎（1）求函数图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；‎ ‎（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，比较极值以及端点值的大小，即可求出函数在区间上的最大值与最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可得：，‎ ‎，，‎ 故函数图像在点处的切线方程为，化简得：‎ ‎（2）令，解得：，，‎ 令，解得：或，则函数在区间上单调递增；‎ 令，解得：，则函数在区间上单调递减；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 单调递减 单调递增 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查学生的运算能力，考查导数的基本工具作用，考查函数切线方程、函数在闭区间上最值的求解等基本的数学问题，因此本题对学生把握导数研究函数的基本问题做了全面的要求，重视函数的单调性在求解函数最值中运用。‎ ‎19．函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若方程在区间上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，分别求出导数大于零小于零的解，即可求出函数的单调区间；‎ ‎（2）令，对函数求导，利用导数研究出在区间的单调性，求出极值，求出区间两个端点的函数值，再结合函数大致图像可得实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为，，则，‎ ‎，由于恒成立，则在上大于零恒成立；‎ 在上为单调递增函数，‎ 又，‎ 当时，，则函数增区间为，‎ 当时，，则函数减区间为；‎ ‎（2）令，则；‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，则的增区间为，‎ 令，解得：，则的减区间为，‎ 由此可得的大致图像如图：‎ 要使方程在区间上恰有两个不等的实根等价于函数与轴在区间有两个不同交点，从图像可得 ，解得： ，‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本考查利用导数求解函数单调性、根据方程在某一区间内根的个数求解参数范围的问题，解决方程根的个数问题关键是能够将问题转化为函数的零点问题，通过数形结合法的方式进行求解。‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意分离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用导函数即可确定实数的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)结合函数的解析式求解导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性，最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意知， 在上恒成立，所以在上恒成立.‎ 令，则，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）当时，.‎ 则，‎ 令，则，‎ 所以在上单调递减.‎ 由于，，所以存在满足，即.‎ 当时，，；当时，，.‎ 所以在上单调递增，在上单调递减.‎ 所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，零点存在定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21．已知函数（其中）.‎ ‎（1）讨论函数的极值；‎ ‎（2）对任意，成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ①当时，无极值；②当时，有极大值，无极小值；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，分别讨论，两种情况，用导数的方法研究函数的单调性，即可得出结果；‎ ‎（2）根据（1）中结果，求出的最大值，由对任意，成立，得到在上恒成立，令 ，用导数的方法研究其单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的定义域为 又 ‎①当时，在上，，是减函数；无极值； ‎ ‎②当时，得 在上，是增函数；在上，，是减函数，‎ 所以当时，有极大值，无极小值，‎ 综合知：①当时，无极值；‎ ‎②当时，有极大值，无极小值；‎ ‎（2）由（1）知：①当，是增函数，又令，‎ ‎，不成立；‎ ‎②当时，当时，取得极大值也是最大值，‎ 所以 要使得对任意，成立，‎ 即：在上恒成立，‎ 则在上恒成立，‎ 令 ‎ 所以 令 ‎，得 在上，，是增函数，在上，，‎ 是减函数，‎ 所以当时，取得极大值也是最大值，‎ ‎∴‎ 在上，，是减函数，又 要使得恒成立，则.‎ 所以实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值等，属于常考题型.‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的普通方程和的直角坐标方程； ‎ ‎(2)设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为：；的直角坐标方程为直线；（2）的最小值为 .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由公式消元后可化参数方程为普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；‎ ‎（2）设, 用点到直线距离公式计算出距离后再由三角函数的性质求得最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由曲线的参数方程（为参数）消去参数得，‎ ‎， ‎ 即的普通方程为：. ‎ 曲线的极坐标方程为可化为：‎ ‎. ‎ 由,可得的直角坐标方程为直线.‎ ‎（2）设, ‎ 则点到直线的距离为 ‎ ‎ ‎ 当时,的最小值为 ‎ 此时可取,故．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直角坐标与极坐标互化、椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,考查数学运算核心素养等，体现基础性与综合性．‎ ‎23．已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式求最小值，再解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以或或，‎ 即或或，‎ 从而 ‎（2）因为，‎ 所以 或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解含绝对值不等式以及绝对值三角不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎