2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练29　数系的扩充与复数的引入

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练29　数系的扩充与复数的引入

课时分层训练(二十九)　数系的扩充与复数 的引入 (对应学生用书第 253 页) A 组　基础达标 一、选择题 1．在复平面内，复数 z＝ 2i 1－i 对应的点的坐标为(　　) A．(1，－1)　　　　　 B．(1,1) C．(－1,1) D．(－1，－1) C　[因为 z＝ 2i 1－i ＝ 2i(1＋i) (1－i)(1＋i)＝－1＋i，所以该复数在复平面内对应的点 为(－1,1)，故选 C.] 2．(2018·郑州第二次质量预测)已知复数 f(n)＝in(n∈N＋)，则集合{z|z＝f(n)}中元 素的个数是(　　) A．4　　 B．3 C．2　　　　D．无数 A　[集合{i，－1，－i,1}中有 4 个元素，故选 A.] 3．(2017·全国卷Ⅲ)设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　) A.1 2 B． 2 2 C. 2 D．2 C　[法一：由(1＋i)z＝2i 得 z＝ 2i 1＋i ＝1＋i， ∴|z|＝ 2. 故选 C. 法二：∵2i＝(1＋i)2， ∴由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得 z＝1＋i， ∴|z|＝ 2. 故选 C.] 4．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) C　[A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数． B 项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数． C 项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数． D 项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数． 故选 C.] 5．(2017·山东高考)已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3i，z·z＝4，则 a＝(　　) A．1 或－1 B． 7或－ 7 C．－ 3 D． 3 A　[∵z·z＝4，∴|z|2＝4，即|z|＝2. ∵z＝a＋ 3i，∴|z|＝ a2＋3，∴ a2＋3＝2， ∴a＝±1.故选 A.] 6．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 (　　) 【导学号：79140163】 A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) B　[∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i 在复平面内对应的点在第二象限， ∴Error!∴a＜－1.故选 B.] 7．已知复数 z＝1＋ 2i 1－i ，则 1＋z＋z2＋…＋z2 019＝(　　) A．1＋i B．1－i C．i D．0 D　[z＝1＋ 2i 1－i ＝1＋2i(1＋i) 2 ＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 019＝1 × (1－z2 020) 1－z ＝ 1－i2 020 1－i ＝1－i4 × 505 1－i ＝0.] 二、填空题 8．(2017·北京高考改编)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则 实数 a 的取值范围是________． (－∞，－1)　[∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i2＝a＋1＋(1－a)i， 又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限， ∴Error!解得 a<－1.] 9．复数|1＋ 2i|＋(1－ 3i 1＋i ) 2 ＝________. i　[原式＝ 12＋( (2))2＋ (1－ (3)i)2 (1＋i)2 ＝ 3＋－2－2 3i 2i ＝ 3＋i－ 3＝i.] 10．已知复数 z＝x＋yi，且|z－2|＝ 3，则y x 的最大值为 ________. 【导学号：79140164】 3　[∵|z－2|＝ (x－2)2＋y2＝ 3， ∴(x－2)2＋y2＝3. 由图可知 (y x )max＝ 3 1 ＝ 3.] B 组　能力提升 11．设 z1，z2 是复数，则下列命题中的假命题是(　　) A．若|z1－z2|＝0，则 z1＝z2 B．若 z1＝z2，则 z1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则 z1·z1＝z2·z2 D．若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22 D　[A 中，|z1－z2|＝0，则 z1＝z2，故 z1＝z2 成立． B 中，z1＝z2，则 z1＝z2 成立． C 中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即 z1·z1＝z2·z2，C 正确． D 不一定成立，如 z1＝1＋ 3i，z2＝2， 则|z1|＝2＝|z2|，但 z21＝－2＋2 3i，z22＝4，z21≠z22.] 12．(2017·郑州二次质检)定义运算|a　b c　d |＝ad－bc，则符合条件|z　1＋i －i　2i|＝0 的复 数z对应的点在 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[由题意得 z×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以 z＝ (1＋i)(－i) 2i ＝－1 2 －1 2i，则z＝－1 2 ＋1 2i 在复平面内对应的点为(－1 2 ，1 2)，位于第二象限，故选 B.] 13．(2018·重庆调研(二))已知 i 为虚数单位，m∈R，若关于 x 的方程 x2＋(1－2i)·x ＋m－i＝0 有实数根，则 m 的取值为(　　) A．m≤5 4 B．m≤－3 4 C．m＝1 4 D．m＝－1 2 C　[设 t 为方程 x2＋(1－2i)x＋m－i＝0 的实数根，则 t2＋(1－2i)t＋m－i＝ 0，即 t2＋t＋m－(1＋2t)i＝0，则Error!解得 t＝－1 2 ，m＝1 4 ，故选 C.] 14．复数 z1，z2 满足 z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)， 并且 z1＝z2，则 λ 的取值范围是(　　) A．[－1,1] B．[－ 9 16 ，1] C．[－ 9 16 ，7] D．[ 9 16 ，7] C　[由复数相等的充要条件可得Error!化简得 4－4cos2θ＝λ＋3sin θ，由此可 得 λ＝－4cos2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4 (sin θ－3 8)2－ 9 16 ，因为 sin θ∈[－1,1]，所以 4sin2θ－3sin θ∈[－ 9 16 ，7].] 15．给出下列命题： ①若 z∈C，则 z2≥0； ②若 a，b∈R，且 a＞b，则 a＋i＞b＋i； ③若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数； ④若 z＝－i，则 z3＋1 在复平面内对应的点位于第一象限． 其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号) ④　[由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若 a＝－1，则 a＋1＝0 不 满足纯虚数的条件，③错误；z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确．] 16．已知复数 z1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数 z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则 z 1·z2＝ ________. 【导学号：79140165】 1 2 ＋ 3 2 i　[z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝1 2 ＋ 3 2 i.]