江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试卷+Word版含解析

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江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考数学试题 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1.已知集合，，，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得：‎ 则 本题正确结果：‎ ‎2.已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 为纯虚数 ‎ 本题正确结果：‎ ‎3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300 h的电子元件的个数为____．‎ ‎【答案】800‎ ‎【解析】使用寿命在的概率为：‎ 使用寿命在的概率为：‎ 使用寿命在的概率 使用寿命不低于的概率 使用寿命不低于的电子元件个数为：（个）‎ 本题正确结果：‎ ‎4.运行如图所示的流程图，若输入的，则输出的x的值为____．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由，得：，循环后：，‎ 由，得：，循环后：，‎ 由，得：，循环后：，‎ 由，得：，输出结果：‎ 本题正确结果：‎ ‎5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】骰子扔两次所有可能的结果有：种 两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种 两次数字之和为偶数的概率 本题正确结果：‎ ‎6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 渐近线方程为：‎ 由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等 取渐近线，焦点 ‎ ‎ 渐近线方程为：‎ 本题正确结果：‎ ‎7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M-PBC的体积为____．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意可知原图如下：‎ 又，即 到面的距离等于到面的距离 即 本题正确结果：‎ ‎8.已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为上的奇函数 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】角终边经过点 ，‎ 两条相邻对称轴之间距离为 ‎ 即 ‎ 本题正确结果：‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】圆半径 ‎ 则所在直线为：，即：‎ 设，则，‎ ‎ ‎ 解得： ‎ 本题正确结果：‎ ‎11.已知函数的单调减区间为，则的值为____．‎ ‎【答案】e ‎【解析】 ‎ 单调递减区间为且 为方程的两根 由韦达定理可知：‎ ‎ ‎ 当，即时， ‎ 当，即时，‎ ‎，即 ‎ 此时，，即无解 综上所述：‎ 本题正确结果：‎ ‎12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时， ‎ 且在上单调递增 有且仅有一个零点 当时，需要有两个零点 当时， ‎ 当时，恒成立，即单调递增，不合题意；‎ 当时，令，解得：‎ 当时，，此时单调递增；‎ 当时，，此时单调递减 ‎，‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A ‎，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】圆 ‎ 由题意可知：，‎ 又且 若最大，则需取最大值，且在圆内部 可得，又与成角为 设，则直线所在直线方程为：‎ 又 解得：或（舍）‎ 时取最大值 本题正确结果：‎ ‎14.已知等差数列的前n项和Sn>0，且，其中且．若（），则实数t的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等差数列首项为，公差为 由得：且 即：对恒成立 若，不恒成立，舍去 若即，此时满足题意 若即时，需时，‎ ‎ ，满足题意 ‎，又，所以 ‎ ‎ 由得：‎ 两式作商可得：，‎ 又 整理可得：‎ 设，‎ ‎①当时，‎ 即 当时，‎ 当时，‎ 此时，即，无法取得 ‎ ‎②当时，‎ 即 当时，‎ 当时，‎ 综上所述：‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15.如图，在三棱柱中，，．求证：‎ ‎（1）平面；‎ ‎（2）平面平面．‎ 证明：（1）在三棱柱中， ‎ 又平面，平面 所以平面 ‎（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形 因为，所以四边形为菱形，‎ 所以 又，，平面，平面 所以平面 而平面 所以平面平面 ‎16.在中，角所对的边分别为．向量，，且 ‎（1）若，求角的值；‎ ‎（2）求角的最大值．‎ 解：（1）因为，，且 所以，即 由正弦定理，得……①‎ 所以 整理，得……②‎ 将代入上式得 又，所以 ‎（2）方法一：由①式，因为，，所以 ‎ ‎②式两边同时除以，得 又 当且仅当，即时取等号 又，所以的最大值为 方法二：由（1）知， ‎ 由余弦定理 代入上式并化简得 所以 又 当且仅当，即时取等号 又，所以的最大值为 ‎17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．‎ 解：（1）因为椭圆的离心率为，所以 又椭圆的左焦点到左准线的距离为 所以 所以，，‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）因为原点与直线的距离为 所以，即 设直线 由得 因为直线与椭圆相切 所以 整理得 因为直线与直线之间的距离 所以，‎ 所以 又 因为，所以 又位于直线的两侧，所以同号，所以 所以 故实数的取值范围为 ‎18.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．‎ ‎（1）求水渠MN长度的最小值；‎ ‎（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．‎ 解：（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为 设点，‎ 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得 所以 ‎ 令，‎ 即，‎ 则 令，得 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增；‎ 所以当时，‎ 所以 水渠长度的最小值为百米 ‎（2）由（1）可知，，，且 则 设，因为，所以 所以，‎ 所以当时，‎ 种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米 另法：（2）因为，所以 由 所以 设，因为，所以 所以，‎ 所以当时，‎ 种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米 ‎19.已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．‎ 解：（1）时，由得 解得 ‎（2）时，由，得 则 因为，所以……①‎ 所以……②‎ ‎②-①得 所以，两式相减得 即数列及数列都成公差为的等差数列 由，得，可求得 所以数列的通项公式为 ‎（3）由，，得 所以 因为，所以 所以 两式相减得，即 所以 两式相减得 所以 因为，可得 所以 所以数列是等差数列 ‎20.已知函数，，其中且，．‎ ‎（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；‎ ‎（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；‎ ‎（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．‎ 解：（1）因为，所以 令，得 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增；‎ 所以为的极值点 因为，，所以函数的极值点为 因为函数与有相同的极值点，所以 所以 ‎（2）由题意，所以 因为，所以 令，得 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增；‎ 所以为的极值点 因为，，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 取满足且 则 因为且，所以 所以，又在上连续且单调 所以在上有唯一零点 综上，函数有两个不同的零点 ‎（3）时，‎ 由，使，则有 由于 ‎①当时，，在上单调递减 所以 即，得 ‎②当时，，在上单调递增 所以 即，得 ‎③当时，‎ 在上，，在上单调递减；‎ 在上，，在上单调递增；‎ 所以 即（*）‎ 易知在上单调递减 故，而，所以不等式（*）无解 综上，实数的取值范围为或 数学Ⅱ（附加题）‎ 第21、22、23题，每小题10分，共计30分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21.已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设所求二阶矩阵 因为有特征值，其对应的一个特征向量为 所以，且 所以，解得 所以 ‎22.如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD， ，F为BC的中点，．‎ ‎（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；‎ ‎（2）若，求二面角E-AF-C的余弦值．‎ 解：以为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 则，，，，，‎ ‎（1）当时，由得 所以，又 所以 所以异面直线与所成角的余弦值为 ‎（2）当时，由，得 设平面的一个法向量为，又，‎ 则，得 又平面的一个法向量为 所以 所以二面角的余弦值为 ‎23.设整数数列{an}共有2n（）项，满足，，且（）．‎ ‎（1）当时，写出满足条件的数列的个数；‎ ‎（2）当时，求满足条件的数列的个数．‎ 解：（1）时，，且 则确定时，有唯一确定解 又，可知有种取法 若，则，则有种取法 此时，也有种取法 又，当确定时，随之确定 故所有满足条件的数列共有：个 满足条件的所有的数列的个数为 ‎（2）设，则由得 ‎ ①‎ 由得，则：‎ 即 ②‎ 用表示中值为的项数 由②可知也是中值为的项数，其中 所以的取法数为 确定后，任意指定的值，有种 由①式可知，应取，使得为偶数 这样的的取法是唯一的，且确定了的值 从而数列唯一地对应着一个满足条件的 所以满足条件的数列共有个 下面化简 设 两展开式右边乘积中的常数项恰好为 因为，又中的系数为 所以 所以满足条件的数列共有个 ‎ ‎