新疆昌吉市教育共同体2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

新疆昌吉市教育共同体2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题

昌吉市教育共同体2019-2020年高二年级第二学期期中质量检测 数学试卷（文科）‎ 一、单选题（5分*12=60分）‎ ‎1．（）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时假设的内容是（）‎ A．、、都不小于 B．、、都小于 C．、、至多有一个小于 D．、、至多有两个小于 ‎3．极坐标方程化为直角坐标方程为（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知直线的参数方程是，则直线的斜率为　　‎ A． B． C．1 D．‎ ‎5、参数方程（为参数）所表示的图形是（ ）‎ A．直线 B．圆 ‎ C．椭圆 D．双曲线 ‎6．“菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等”.以上三段论推理中错误的是（）‎ A．大前提 B．小前提 C．推理形式 D．大前提、小前提和推理形式 ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．下列说法错误的是　　‎ A．回归直线过样本点的中心 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1‎ C．在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位 D．对分类变量X与Y，随机变量的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 ‎9．有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎10．为了了解手机品牌的选择是否和年龄的大小有关，随机抽取部分华为手机使用者和苹果机使用者进行统计，统计结果如下表：‎ 年龄 手机品牌 华为 苹果 合计 ‎30岁以上 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎30岁以下（含30岁）‎ ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ 附：‎ P（）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 根据表格计算得的观测值，据此判断下列结论正确的是（）‎ A．没有任何把握认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”‎ B．可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”‎ C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”‎ D．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小无关”‎ ‎11．将曲线按曲线伸缩变换后得到的曲线方程为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知，不等式，，，…，可推广为 ，则的值为(　　)‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（5分*4=20分）‎ ‎13．已知与之间的一组数据：‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ 则与的线性回归方程为必过点___________.‎ ‎14．已知点的直角坐标是，则点的极坐标是__________．‎ ‎15．对于函数，若，，，.运用归纳推理的方法可猜测______.‎ ‎16．已知（为虚数单位），则复数的模为__________‎ 三、解答题 ‎17．（10分），为虚数单位，为实数．‎ ‎（1）当为纯虚数时，求的值；‎ ‎（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，求的取值范围．‎ ‎18．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎(2)求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；‎ ‎(3)试预测加工10个零件需要多少时间？‎ ‎(注：)‎ 19． ‎（12分）《朗读者》是一档文化情感类节目，以个人成长、情感体验、背景故事与传世佳作相结合的方式，选用精美的文字，用最平实的情感读出文字背后的价值，深受人们的喜爱.‎ 为了了解人们对该节目的喜爱程度，某调查机构随机调查了，两个城市各100名观众，得到下面的列联表 非常喜爱 喜爱 合计 城市 ‎60‎ ‎100‎ 城市 ‎30‎ 合计 ‎200‎ 完成上表，并根据以上数据，判断是否有的把握认为观众的喜爱程度与所处的城市有关？‎ 附参考公式和数据：（其中）.‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ （1） 把的参数方程式化为普通方程 （2） ‎（2）的极坐标方程式化为直角坐标方程。‎ ‎21．（12分）在极坐标系下，已知圆：和直线：.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程 ‎（2）求圆上的点到直线的最短距离．‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值 参考答案 ‎1．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算进行化简，从而得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 原式.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数的除法运算，属于基础题.‎ ‎2．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 否定原命题的结论可得解.‎ ‎【详解】‎ 反证法证明命题时，要假设结论不成立．故用反证法证明命题“设实数、、满足，则、、中至少有一个数不小于”时的假设是“、、都小于”．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了反证法的概念，属基础题．‎ ‎3．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，利用求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的转化，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎4．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由（为参数）得（为参数），将两式相加，得直线的普通方程，得到直线斜率为 ‎【详解】‎ 根据题意，直线l的参数方程是，其普通方程为，‎ 即，直线l的斜率为；‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 消去参数的方法一般有三种：‎ ‎（1）利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数 ‎（2）利用三角恒等式消去参数 ‎（3）根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数 ‎5．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过加减法进行消参，再识别图形．‎ ‎【详解】‎ 已知，得，，它表示一条直线，故本题选A.‎ ‎6.A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“菱形的对角线相等”是错误的，即大前提是错误的．‎ ‎【详解】‎ 大前提，“菱形的对角线相等”，‎ 小前提，正方形是菱形，‎ 结论，所以正方形的对角线相等，‎ 大前提是错误的，因为菱形的对角线垂直平分．‎ 以上三段论推理中错误的是：大前提，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．‎ ‎7．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的的值.‎ ‎【详解】‎ 执行如图所示的程序框图如下：‎ 不成立，，；‎ 不成立，，；‎ 不成立，，；‎ 不成立，，.‎ 成立，跳出循环体，输出的值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8．D ‎【解析】‎ 分析：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；‎ B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；‎ C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 D.正确.‎ 详解：A. 两个变量的相关关系不一定是线性相关；也可以是非线性相关；‎ B. 两个随机变量的线性相关线越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；‎ C.在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 D.正确.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查了两个变量的线性相关关系的意义，线性回归方程，相关系数，以及独立性检验等，是概念辨析问题．‎ ‎9．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.‎ ‎【详解】‎ 若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对；‎ 若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁；‎ 若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.‎ ‎10．C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的意义判断．‎ ‎【详解】‎ 因为，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“手机品牌的选择与年龄大小有关”，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验，属于简单题．‎ ‎11．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，然后代入即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由得，代入得 所以 所以将曲线按伸缩变换后得到的曲线方程为 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查的是伸缩变换，较简单.‎ ‎12．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意归纳推理得到a的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意，当分母的指数为1时，分子为；‎ 当分母的指数为2时，分子为；‎ 当分母的指数为3时，分子为；‎ 据此归纳可得：中，的值为.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算样本中心点，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由数据可知：；，‎ 故线性回归方程必过点.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归直线方程的特点，属基础题.‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ 由于，得，由，得，结合点在第二象限，得 ‎，则点的极坐标为，故答案为.‎ ‎15．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知中的函数值可转化为：，，，，，进而可归纳出的解析式.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 可化为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 可归纳出：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了合情推理，考查了学生的归纳推理能力，属于基础题.‎ ‎16．1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由，得，‎ ‎．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法．‎ ‎17．（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；‎ ‎（2）将复数表示为一般形式，结合条件得出该复数的实部为正数、虚部为负数，可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由为纯虚数得，解得；‎ ‎（2）复数，‎ 因为复数位于第四象限，所以，解得或．‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据复数的概念与几何意义求参数，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎18．（1）见解析（2）（3）预测加工10个零件需要8.05小时 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据画散点图；（2）根据题中的公式分别求和，（3）根据（2）的结果，求当时，的值.‎ 试题解析：解：（1）散点图 ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎∴回归直线方程： ‎ ‎ (3)当 ‎∴预测加工10个零件需要8.05小时 ‎19．列表见解析，没有的把握认为观众的喜爱程度与所处的城市有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意填写列联表，根据公式计算观测值，对照临界值得出结论即可.‎ ‎【详解】‎ 完成列联表如下 非常喜爱 喜爱 合计 城市 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 城市 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 合计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ 的观测值，‎ 所以没有的把握认为观众的喜爱程度与所处的城市有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验的问题，是基础题.‎ ‎20．(1) 的普通方程为,的直角坐标方程为;(2) 与交点的直角坐标为极坐标分别为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）曲线 的参数方程利用消去参数化为普通方程．把代入可得极坐标方程; ‎ 试题解析：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程，‎ 即的普通方程为，‎ 由，得，‎ 再将代入，得，‎ 即的直角坐标方程为.‎ ‎21．（Ⅰ）:；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据进行直角坐标与极坐标互化，（Ⅱ）根据圆心到直线距离减去半径得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）圆：，即，‎ 圆的直角坐标方程为：，即；‎ ‎（Ⅱ）由圆的直角坐标方程为可知圆心坐标为，半径为，因为圆心到直线的距离为，因此圆上的点到直线的最短距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎22．(1) (2)3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把展开得，两边同乘得,再代极坐标公式得曲线的直角坐标方程.(2) 将代入曲线C的直角坐标方程得，再利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）把，展开得，‎ 两边同乘得①．‎ 将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y代入①，‎ 即得曲线的直角坐标方程为②．‎ ‎（2）将代入②式，得，‎ 点M的直角坐标为（0，3）．‎ 设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1+t2=-3. t1.t2=3‎ ‎∴ t1＜0， t2＜0‎ 则由参数t的几何意义即得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎