2020届二轮复习等差数列、等比数列教案（全国通用）

2020届二轮复习等差数列、等比数列教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 等差数列、等比数列 教案（全国通用）‎ ‎1．等差数列 ‎(1)定义式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)；‎ ‎(2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d；‎ ‎(3)前n项和公式：Sn＝＝na1＋；‎ ‎(4)性质：①an＝am＋(n－m)d(n、m∈N*)；‎ ‎②若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.‎ ‎2．等比数列 ‎(1)定义式：＝q(n∈N*，q为非零常数)；‎ ‎(2)通项公式：an＝a1qn－1；‎ ‎(3)前n项和公式：Sn＝ ‎(4)性质：①an＝amqn－m(n，m∈N*)；‎ ‎②若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(p、q、m、n∈N*)．‎ ‎3．复习数列专题要把握等差、等比数列两个定义，牢记通项、前n项和四组公式，活用等差、等比数列的性质，明确数列与函数的关系，巧妙利用an与Sn的关系进行转化，细辨应用问题中的条件与结论是通项还是前n项和，集中突破数列求和的五种方法(公式法、倒序相加法、错位相减法、分组求和法、裂项相消法).学——科网 ‎【误区警示】‎ ‎1．应用an与Sn的关系，等比数列前n项和公式时，注意分类讨论．‎ ‎2．等差、等比数列的性质可类比掌握．注意不要用混．‎ ‎3．讨论等差数列前n项和的最值时，不要忽视n为整数的条件和an＝0的情形．‎ ‎4．等比数列{an}中，公比q≠0，an≠0.‎ 高频考点一、等差数列、等比数列的基本运算 例1、（2018年浙江卷）已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令则，令得，所以当时，，当时，，因此， ‎ 若公比，则，不合题意；‎ 若公比，则 但，‎ 即，不合题意；‎ 因此，‎ ‎，选B.‎ ‎【变式探究】【2017课标1，理4】记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，即，则，即，解得，故选C.‎ ‎【变式探究】(1)在等比数列{an}中，Sn表示其前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)‎ A．－3　　　 B．－1　　　 C．1　　　 D．3‎ ‎(2)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ 解析：(1)两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.‎ ‎(2)法一：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2d.∴a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，∴d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.‎ 法二：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知＝5a3＝10，∴a3＝2.‎ ‎∴由a1＋a3＝2a2，得a1＝2a2－2，代入a1＋a＝－3，化简得a＋2a2＋1＝0，∴a2＝－1.‎ 公差d＝a3－a2＝2＋1＝3，故a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.‎ 答案：(1)D　(2)20‎ ‎【变式探究】(1)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A. B. C．10 D．12‎ ‎(2)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为(　　)‎ A. B. C．1 D．2‎ 高频考点二、等差数列、等比数列的判断与证明 ‎ 例2、已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. ‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若S5＝，求λ.‎ ‎(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，‎ 故λ≠1，a1＝，故a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，‎ 即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0得an≠0，∴＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 于是an＝.‎ ‎(2)解：由(1)得Sn＝1－.‎ 由S5＝得1－＝，即＝.‎ 解得λ＝－1.‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝.‎ ‎(1)求证：是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(1)证明：由an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，‎ 得Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，‎ ‎∴－＝2(n≥2，n∈N*)，‎ 又＝＝2，‎ 故是首项为2，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)解：由(1)知，＝2n，故Sn＝，‎ an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2，n∈N*)，‎ ‎∴an＝ 高频考点三、等差数列、等比数列的综合应用 例3、（2018年浙江卷）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列 ‎{bn}满足b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前n项和为2n2+n．‎ ‎（Ⅰ）求q的值；‎ ‎（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式． ‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由是的等差中项得，‎ 所以，‎ 解得.‎ 由得，‎ 因为，所以.‎ ‎（Ⅱ）设，数列前n项和为.‎ 由解得.‎ 由（Ⅰ）可知，‎ 所以，‎ 故，‎ ‎ .‎ 设，‎ 所以，‎ 因此，‎ 又，所以.‎ ‎【变式探究】【2017课标1，理12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，数列如下：‎ 则该数列的前项和为 ‎，‎ 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，‎ 所以，则，此时，‎ 所以对应满足条件的最小整数，故选A.‎ ‎【变式探究】已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求{bn}的前n项和．‎ 解：(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？‎ 解：(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.‎ 若a1＝0，则Sn＝0.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，‎ ‎∴an＝0(n≥1)．‎ 若a1≠0，则a1＝.‎ 当n≥2时，2an＝＋Sn，2an－1＝＋Sn－1，‎ 两式相减得2an－2an－1＝an，‎ ‎∴an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，‎ ‎∴an＝a1·2n－1＝·2n－1＝. ‎ ‎10. （2018年江苏卷）设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，数列如下：‎ 则该数列的前项和为 ‎，‎ 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，‎ 所以，则，此时，‎ 所以对应满足条件的最小整数，故选A.‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ）‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知,所以故选C.‎ ‎2【2016高考浙江理数】如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，‎ ‎（）.若（ ）‎ A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等差数列 D．是等差数列 ‎【答案】A ‎3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵是等差数列，∴，，，，‎ ‎∴，故填：6． ‎ 整理得，因此有，‎ 即，解得，‎ 同理有，即，解得，‎ ‎，，；‎ ‎（2）由题意得，‎ 由（1）知，，，猜想，‎ 假设当时，猜想成立，即，则有，‎ 则当时，有，‎ 这说明当时，猜想也成立，‎ 由归纳原理知，对任意，.‎ ‎【考点定位】数列的通项 ‎13. 【2014高考湖北理第18题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式.‎ ‎（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）或.‎ ‎（2）当时，，显然，不存在正整数，使得.‎ 当时，，‎ 令，即，‎ 解得或（舍去）‎ 此时存在正整数，使得成立，的最小值为41.‎ 综上所述，当时，不存在正整数；‎ 当时，存在正整数，使得成立，的最小值为41.‎ ‎【考点定位】等差数列、等比数列的性质、等差数列的求和公式.‎