2018-2019学年福建省永安市第一中学高一上学期期中考试 数学

2018-2019学年福建省永安市第一中学高一上学期期中考试 数学

‎2018-2019学年福建省永安市第一中学高一上学期期中考试 数学 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为 A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2.下列有关集合的写法正确的是 A. B. C. D.‎ ‎3.下列四组函数中，表示同一函数的是 A.与 ‎ B.与 C. 与 D. 与 ‎4. 已知 ，则 的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.函数的定义域为 A.（1，2） B.（1，2] C.(1,+∞) D.[2,+ ∞）‎ ‎6.某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是 ‎7.设，，那么是 A. 奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B. 偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C. 奇函数且在（0，＋∞）上是减函数 D. 偶函数且在（0，＋∞）上是减函数 ‎8.已知函数，若，则的取值范围是 A.(8，＋∞) B．(－∞，0)∪(8，＋∞)‎ C．(0,8) D．(－∞，0)∪(0,8)‎ ‎9.已知函数，则函数的值域为 A. B. C. D. ‎ ‎10.若函数在上为减函数，则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎11.已知是定义在上的偶函数，在上为增函数，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎12.已知偶函数在上单调递增，则与的大小关系是 A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知幂函数的图像过点，则的值为_________.‎ ‎14.计算：÷_____ ___.‎ ‎15.已知函数在区间[0,1]上存在零点，则实数的取值范围 ‎ 是________.‎ ‎16.设函数，若，则_________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(10分)已知全集，集合，．‎ ‎（1）当时，求集合；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎18．(12分)已知函数，利用定义证明：‎ ‎（1）为奇函数；‎ ‎（2）在，+）上单调递增.‎ ‎19.(12分)设定义域为的函数.‎ ‎（1）在平面直角坐标系内直接画出函数的图像，并指出的单调区间（不需证明）；‎ ‎（2）若定义域为的函数是奇函数，且当时，，求的解析式.‎ ‎20．(12分)国际间普遍认为：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使浓度增加．据测，2011年、2012年、2013年大气中的浓度分别比2010年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位。若用函数模拟每年浓度增加的可比单位数与年份增加数的关系，模拟函数可选用二次函数或函数（其中为常数）．‎ ‎（1）分别写出这两个函数的解释式；‎ ‎（2）若知2015年大气中的浓度比2010年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数与2015年的实际数据更接近？‎ ‎21. (12分)已知函数，.‎ ‎（1）若，求的值域；‎ ‎（2）对任意，都存在，使得，若，求实数值；‎ ‎22.(12分)已知定义在上的奇函数，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性（不需要证明）‎ ‎（3）当时，不等式恒成立，求的取值范围．‎ 永安一中2018－2019学年第一学期半期考 高一数学答案 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D D D A D A B C A D 二、填空题：13. ； 14.－20； 15.； 16.3；‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（1）由得，即． ‎ 由 解得，‎ 即． ………………………………………2分 当时，．…………………………………4分 ‎∴…………………………………………5分 ‎（2）∵‎ ‎∴．…………………………………7分 又∵，‎ ‎∴，解得． ………………………………………9分 ‎∴实数的取值范围是．…………………………………10分 ‎18．证明：（1）函数的定义域为 …………………………1分 ‎∴，………………………………………3分 ‎∴为奇函数 ………………………………………4分 ‎（2）任取 ……………………………………5分 则 ‎ ………8分 ‎，……………………10分 ‎∴即，……………………………………11分 ‎∴在，+）上单调递增. …………………………………………12分 ‎19. 解：(1)‎ ‎ ………………4分 ‎ 单增区间： ， ，单减区间: ， ………………6分 ‎（2）当时，………………………………………7分 当时， ，…………9分 ‎∵为奇函数，‎ ‎∴ ……………………………………10分 ∵定义域为 ‎ ‎∴ ………………………………………………11分 ‎∴…………………………………………………12分 ‎20．解：(1)若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数，依题意得：，‎ 解得. ∴f(x)= x2+x ………………………………3分 若以g(x)=a•bx+c作模拟函数，依题意得：，‎ 解得. ∴ g(x)= •()x-3 ………………………………6分 ‎(2)利用f(x)、g(x) 对2015年CO2浓度作估算，则其数值分别为：‎ f(5)=15可比单位 g(5)=17.25可比单位 ……………………………9分 ‎∵|f(5)－16|<|g(5)－16| ‎ 故选f(x)= x2+x作为模拟函数与2015年的实际数据更接近.………………12分 ‎21.解：（1）∵在上单调递增，‎ ‎ ∴x=1时，取得最小值2；x=2时，取得最大值4；‎ ‎ ∴时的值域为[2，4] ………………………………4分 ‎（2）据题意知，当时，，……………6分 由（1）知，， ………………………………7分 又∵‎ ‎∴函数的对称轴为 ‎∴函数在区间上单调递减 ‎∴，即………………………………10分 由，得，‎ ‎∴ …………………………………………………12分 ‎22.解：（1）由f(x)＋f(－x)＝0，得，‎ ‎ ∴，‎ ‎∴ ‎ ‎∴k＝1． …………………………………………………4分 ‎（2）f(x)在R上是增函数． …………………………………………………6分 ‎（证明过程：由（1）知：．‎ ‎①当a＞1时，a2－1＞0，y＝ax与y＝－a－x在R上都是增函数，‎ ‎∴函数f(x)在R上是增函数；‎ ‎②当0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax与y＝－a－x在R上都是减函数，‎ ‎∴函数f(x)在R上是增函数．‎ 综上，f(x)在R上是增函数．（此结论也可以利用单调性的定义证明））‎ ‎（3）不等式f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0可化为f(2n2－m＋t)＞－f(2n－mn2)，‎ ‎∵函数f(x)是奇函数，‎ ‎∴不等式可化为f(2n2－m＋t)＞f(－2n＋mn2)；……………………………7分 又∵f(x)在R上是增函数．‎ ‎∴2n2－m＋t＞－2n＋mn2 …………………………………………………8分 即t＞(n2＋1)m－2n2－2n，对于m∈[0，1]恒成立．‎ 设g(m)＝(n2＋1)m－2n2－2n，m∈[0，1]．‎ 则t＞g(m)max＝g(1)＝－n2－2n＋1 …………………………………………10分 ‎∴t＞－n2－2n＋1，对于n∈[－1，0]恒成立． ‎ 设h (n)＝－n2－2n＋1，n∈[－1，0]．‎ 则t＞h(n)max＝h(－1)＝2．‎ ‎∴t的取值范围是 (2，＋∞)．………………………………………………12分