【数学】山东省青岛市2020届高三二模试题（解析版）

【数学】山东省青岛市2020届高三二模试题（解析版）

山东省青岛市2020届高三二模数学试题 一、单项选择题：本题共8小题、每小题5分、共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1.若全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，‎ ‎，.‎ 故选：C.‎ ‎2.任意复数（，i为虚数单位）都可以的形式，其中，该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数，则z的辐角主值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，‎ 所以，‎ 所以z的辐角主值为.‎ 故选：D.‎ ‎3.“”是“直线与直线垂直”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】充分性：若，则，即两直线垂直，充分性满足；‎ 必要性：直线与直线垂直，‎ 则，解得，必要性满足；‎ 即“”是“直线与直线垂直”的充要条件.‎ 故选：A ‎4.已知函数，且，则（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 所以，解得．‎ 故选：A．‎ ‎5.在连续5次模拟考试中，统计甲、乙两名同学的数学成绩得到如图所示的茎叶图.已知甲同学5次成绩的平均数为111，乙同学5次成绩的中位数为103，则的值为（ ）‎ A. 3 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，解得.‎ 乙的中位数为，所以.‎ 所以.‎ 故选：A ‎6.已知函数的最小正周期为，则函数的一个对称中心可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题可得 ‎，‎ 最小正周期为，即 所以，‎ 令，‎ 所以其对称中心为，结合选项可得，B选项符合题意.‎ 故选：B.‎ ‎7.已知非零实数a，x，y满足，则下列关系式恒成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意非零实数a，x，y满足，则，所以.‎ 不妨设，‎ 则，所以A选项错误；‎ ‎，所以B选项错误；‎ 由于，根据指数函数的性质可知：，所以C选项错误.‎ 依题意，要证明，只需证明，即证，即证，构造函数，，由于，所以，所以在区间上恒成立，所以区间上递增，所以，所以.故D选项正确.‎ 故选：D.‎ ‎8.已知图象连续不断的函数的定义域为R，是周期为2的奇函数，在区间上恰有5个零点，则在区间上的零点个数为（ ）‎ A. 5050 B. ‎4041 ‎C. 4040 D. 2020‎ ‎【答案】B ‎【解析】由函数的定义域为R上的奇函数，可得，‎ 又由在区间上恰有5个零点，‎ 可得函数在区间和内各有2个零点， ‎ 因为是周期为2，所以区间内有两个零点，且，‎ 即函数在区间内有4个零点，‎ 所以在区间上的零点个数为个零点.‎ 故选：B.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.已知曲线方程为，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 当时，曲线为椭圆，其焦距为 B. 当时，曲线为双曲线，其离心率为 C. 存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线 D. 当时，曲线为双曲线，其渐近线与圆相切 ‎【答案】B ‎【解析】对于A，当时，曲线的方程为，轨迹为椭圆，‎ 焦距，A错误；‎ 对于B，当时，曲线的方程为，轨迹为双曲线，‎ 则，，离心率，B正确；‎ 对于C，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解集为空集，‎ 不存在实数使得曲线为焦点在轴上的双曲线，C错误；‎ 对于D，当时，曲线的方程为，其渐近线方程为，‎ 则圆的圆心到渐近线的距离，‎ 双曲线渐近线与圆不相切，D错误.‎ 故选：B.‎ ‎10.已知的面积为3，在所在的平面内有两点P，Q，满足，，记的面积为S，则下列说法正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】由，，‎ 可知点P为的三等分点，点Q 为延长线的点，‎ 且为的中点，如图所示：‎ 对于A，点P为的三等分点，点为的中点，‎ 所以与不平行，故A错误； ‎ 对于B，,‎ 故B正确；‎ 对于C，，故C错误；‎ 对于D，设的高为，，即，‎ 则的面积，故D正确；‎ 故选：BD.‎ ‎11.如图，正方形的边长为1，E，F分别是，的中点，交EF于点D，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则在四面体中必有（ ）‎ A. 平面EFG B. 设线段SF的中点为H，则平面SGE C. 四面体的体积为 D. 四面体的外接球的表面积为 ‎【答案】ABD ‎【解析】对选项，在折前正方形中，，，‎ 折成四面体后，，，‎ 又， 平面，平面．‎ 所以选项A正确.‎ 对选项B,‎ 对选项,连接因为,,‎ 所以,‎ 因为平面,平面,‎ 所以平面SGE.‎ 所以选项B正确.‎ 对选项C,‎ 前面已经证明平面,‎ 所以是三棱锥的高，且.‎ 由题得，，‎ 所以.‎ 所以，‎ 所以四面体的体积为.‎ 所以选项C错误.‎ 对选项D,由于,‎ 所以可以把三棱锥放到长方体模型之中，长方体的三条棱为,‎ 所以三棱锥的外接球的直径.‎ 所以选项D正确.‎ 故选：ABD.‎ ‎12.某同学在研究函数的性质时，受两点间距离公式的启发，将变形为，则下列关于函数的描述正确的是（ ）‎ A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的图象是中心对称图形 C. 函数的值域是 D. 方程无实数解 ‎【答案】ACD ‎【解析】设，，表示轴上点到两点的距离之和，‎ 设，以为焦点，为短轴上一个端点，作椭圆，轴与此椭圆相切于点，当从向右移动时，逐渐增大，‎ 即函数在区间上单调递增，A正确；当与重合时，最小，最小值为，因此的值域是，C正确；‎ 函数图象关于直线对称，不是中心对称是，B错误；当或时，，由于，‎ 因此和都无解，D正确．‎ 故选：ACD．‎ 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】圆的圆心为，即，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，其准线方程为，则A到抛物线焦点F的距离等于到抛物线准线的距离，即距离为.‎ 故答案为：.‎ ‎14.已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】题.‎ 故答案为：.‎ ‎15.已知函数（为自然对数的底数）的图象恒过定点，‎ ‎（1）则点的坐标为__________；‎ ‎（2）若在点处的切线方程，则__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】当时，，点的坐标为；‎ ‎，，解得：.‎ 故答案为：；.‎ ‎16.已知，设；数列的前n项和为，当时，n的最小整数值为__________.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】因为，‎ 令，得，所以，‎ 所以，所以即为，‎ 所以，‎ 故答案为：11.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，在平面四边形ABCD中，，，，.‎ ‎（1）若，求四边形ABCD的面积；‎ ‎（2）若，，求.‎ 解：（1）连接BD，在中，‎ 由勾股定理得：，‎ 所以，‎ 在中，由余弦定理知：，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以ABCD的面积.‎ ‎（2）在中，由正弦定理知：，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，.‎ 在中，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎18.试在①，②，③三个条件中选两个条件补充在下面的横线处，使得面ABCD成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题：‎ 如图，在四棱锥中，，底ABCD为菱形，若__________，且，异面直线PB与CD所成的角为，求二面角的余弦值.‎ 解：若选②：由平面ABCD知，又，‎ 所以面PAC，所以，‎ 所以，，‎ 这与底面ABCD为菱形矛盾，所以②必不选，故选①③.‎ 下面证明：平面ABCD，‎ 因为四边形ABCD为菱形，所以.‎ 因为，，‎ 所以平面APC.‎ 又因为平面APC，所以.‎ 因为，O为AC中点，所以.‎ 又，所以平面ABCD，‎ 因为面ABCD，以O为坐标原点，以，，的方向分别作为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，‎ 因为，所以为异面直线PB与CD所成的角，‎ 所以.‎ 在菱形ABCD中，设，‎ 因为，所以，，‎ 设，则，.‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎，‎ 所以，解得，‎ 所以，，，.‎ 设为平面ABP的法向量，‎ ‎，，‎ 由可得：，‎ 令得.‎ 设为平面CBP的法向量，‎ ‎，，‎ 由可得：，‎ 令得：.‎ 设二面角平面角为，‎ 所以，所以二面角的余弦值为.‎ ‎19.已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，.‎ ‎（1）证明：当时，；‎ ‎（2）若是与的等比中项，求数列的前n项和.‎ ‎（1）证明：因，可得当时，，‎ 两式相减得：，‎ 所以，即.‎ 因为数列的各项均为正数，所以当时，.‎ ‎（2）解：由（1）得：，，‎ 因为是与等比中项，所以，即，‎ 解得，‎ 又，所以，‎ 所以，从而对恒成立，‎ 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，‎ 所以，‎ 所以 两式相减得：，‎ 所以.‎ ‎20.已知为坐标原点，椭圆的离心率为，双曲线的渐近线与椭圆的交点到原点的距离均为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点为椭圆上的动点，三点共线，直线的斜率分别为.‎ ‎（i）证明：；‎ ‎（ii）若，设直线过点，直线过点，证明：为定值.‎ 解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意知：，…①，‎ 双曲线的渐近线方程为，‎ 可设双曲线的渐近线与椭圆在第一象限的交点为，‎ ‎，解得：.‎ 在椭圆上，，即：…②，‎ 由①②解得：，，‎ 椭圆标准方程为：.‎ ‎（2）由题意知：关于原点对称，则可设，，.‎ ‎（i）点在椭圆上，，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎（ii）不妨设，，‎ ‎，，，，‎ 直线过点，直线过点，‎ 直线，，‎ 由得：，，‎ 由得：，，‎ ‎，即，‎ 为定值.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若是的极大值点，求正实数a的取值范围.‎ 解：（1）由题知，，‎ 令，则，‎ 若，当时，‎ ‎，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，所以在上单调递增；‎ 所以.‎ ‎（2）①若，由（1）知：在上单调递增；‎ 因此不可能是的极大值点.‎ ‎②若，令，‎ 因为当时，，所以即在上单调递增.‎ 又因为，，‎ 因此存在满足：，所以当时，，‎ 所以在上单调递减，，‎ 所以当时，；当时，；‎ 所以在上单调递增；在上单调递减；‎ 综上，当是的极大值点时，.‎ ‎22.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.‎ ‎（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 体重超重的人数y ‎640‎ ‎540‎ ‎420‎ ‎300‎ ‎200‎ 若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？‎ ‎（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.‎ ‎（i）若，B队员控制球的次数为X，求；‎ ‎（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.‎ 附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.‎ 附2：参考数据：，.‎ 解：（1）由已知可得：，‎ ‎，‎ 又因为，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下.‎ ‎（2）（i）由题知X的可能取值为：0，1，2；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ 的分布列为：‎ 所以.‎ ‎（ii）（法一）由，，‎ 两式相加得：.‎ 因为，‎ 所以，，‎ 代入等式得，即 所以，‎ 因为，，‎ 所以，所以，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以，‎ 即，‎ 因此经过200次传球后A队员控制球的概率 ‎.‎ ‎（法二）由题知：，所以，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为，所以，‎ 所以数列是首项为，公比为的等比数列，‎ 所以，即，‎ 因此经过200次传球后A队员控制球的概率.‎