高中数学必修1公开课教案1_3_1 单调性与最大（小 )值 第1课时

高中数学必修1公开课教案1_3_1 单调性与最大（小 )值 第1课时

‎1.3 函数的基本性质 ‎1.3.1 单调性与最大（小）值 整体设计 教学分析 在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.‎ 由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解.‎ 三维目标 ‎1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.‎ ‎2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.‎ ‎3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.‎ ‎4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.‎ 重点难点 教学重点:函数的单调性和最值.‎ 教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.‎ 课时安排 ‎2课时 设计方案（一）‎ 教学过程 第1课时 函数的单调性 导入新课 思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.‎ 时间间隔t ‎0分钟 ‎20分钟 ‎60分钟 ‎8~9小时 ‎1天 ‎2天 ‎6天 一个月 记忆量y(百分比)‎ ‎100%‎ ‎58.2%‎ ‎44.2%‎ ‎35.8%‎ ‎33.7%‎ ‎27.8%‎ ‎25.4%‎ ‎21.1%‎ 观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）‎ 图1-3-1-1‎ 学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.‎ 遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.‎ 思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？‎ 学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 ‎①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?‎ 图1-3-1-2‎ ‎②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？‎ ‎③如何理解图象是上升的？‎ ‎④对于二次函数y=x2，列出x,y的对应值表(1).完成表(1)并体会图象在y轴右侧上升.‎ x ‎-4‎ ‎-3‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f(x)=x2‎ 表(1)‎ ‎⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？‎ ‎⑥增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?‎ ‎⑦增函数的定义中，“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.‎ ‎⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.‎ ‎⑧从左向右看,图象是上升的.‎ ‎⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.‎ ‎⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.‎ 应用示例 思路1‎ 例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？‎ 图1-3-1-3‎ 活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.‎ 解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.‎ 点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.‎ 图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.‎ 变式训练 课本P32练习1、3.‎ 例2物理学中的玻意耳定律p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.‎ 活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V减少时，压强p将增大是指函数p=是减函数；刻画体积V减少时，压强p将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.‎ 解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=在区间(0,+∞)上是减函数即可.‎ 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.‎ 定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x10.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)2m-x2≥a,‎ f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).‎ 又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.‎ ‎∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).‎ ‎∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.‎ ‎∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.‎ 因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.‎ 点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.‎ 变式训练 函数y=f(x)满足以下条件:‎ ‎①定义域是R;‎ ‎②图象关于直线x=1对称;‎ ‎③在区间［2,+∞)上是增函数.‎ 试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).‎ 活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.‎ 解：定义域是R的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-1)2+b(a>0).‎ 结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：‎ 形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.‎ 知能训练 课本P32练习2.‎ ‎【补充练习】‎ ‎1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.‎ 解：①正比例函数：y=kx(k≠0)‎ 当k>0时，函数y=kx在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx在定义域R上是减函数.‎ ‎②反比例函数：y=(k≠0)‎ 当k>0时，函数y=的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间.‎ ‎③一次函数：y=kx+b(k≠0)‎ 当k>0时，函数y=kx+b在定义域R上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b在定义域R上是减函数.‎ ‎④二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0)‎ 当a>0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是(-∞,］，单调递增区间是［,+∞)；‎ 当a<0时，函数y=ax2+bx+c的单调递减区间是［,+∞)，单调递增区间是(-∞,］.‎ 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.‎ ‎2.已知函数y=kx+2在R上是增函数，求实数k的取值范围.‎ 答案：k∈(0,+∞).‎ ‎3.二次函数f(x)=x2-2ax+m在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a的值.‎ 答案：a=2.‎ ‎4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)1.‎ ‎∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，‎ ‎∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.‎ ‎∴00)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？‎ 图1-3-1-10‎ 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.‎ 问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数？‎ 设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.‎ 问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?‎ 设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.‎ 活动：‎ 先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.‎ 引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.‎ 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识.‎ 学生的困难是难以确定分界点的确切位置.‎ 问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.‎ 问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1、x2.‎ 问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.‎ 归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增（减）函数，那么在区间D上的图象是上升的（下降的）.‎ ‎2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.‎ 讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在［0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.(3)函数y=，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增大而减小.‎ ‎②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.‎ ‎③不能.‎ ‎④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.‎ ‎(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在［0,+∞)上为增函数.‎ ‎(3)任取x1、x2∈［0,+∞),且x10，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗?‎ 活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x在［0,+∞)上是增函数.‎ 讨论结果：能.‎ 例2用计算机画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明.‎ 思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.‎ 教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间.‎ 点评：讨论函数单调性的三部曲：‎ 第一步，画函数的图象；‎ 第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；‎ 第三步，利用定义加以证明.‎ 答案：略.‎ 变式训练 画出函数y=的图象，根据图象指出单调区间.‎ 活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明.‎ 答案：略.‎ 知能训练 课本P32练习2.‎ 拓展提升 试分析函数y=x+的单调性.‎ 活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.‎ 答案：略.‎ 课堂小结 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.‎ ‎(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.‎ ‎(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.‎ ‎(3)数学思想方法：数形结合.‎ ‎(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.‎ 设计感想 本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.‎ 考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.‎ 作业:课本P39习题1.3A组2、3、4.‎ ‎(设计者：张新军)‎