【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第八章第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程学案
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan_α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝
不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2)
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0
平面内所有直线都适用
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( )
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.( )
(3)直线的倾斜角越大，斜率k就越大．( )
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．若直线x＝2的倾斜角为α，则α为( )
A．0 B.
C. D．不存在
答案：C
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A 由k＝＝1，得m＝1.
4．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
5．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析：令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－，则有－＝2，所以k＝－24.
答案：－24
[考什么·怎么考]
1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
解析：选B 因为直线xsin α＋y＋2＝0的斜率k＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是∪.
2．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析：因为kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案：4
3．已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．
解析：如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，kl＝－.
结合图象知，若直线l与PQ有交点，
应满足－≤－2或－≥.
解得0
0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C ∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)
＝2＋＋≥2＋2 ＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B.
C．[0,1] D.
解析：选A 由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，
则k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0≤k≤1，
即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.
3．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当00，
故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第二象限．
4．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( )
A．m≠－ B．m≠0
C．m≠0且m≠1 D．m≠1
解析：选D 由解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．
5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
解析：选D 由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2.当y＝0时，x＝.故＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.
6．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0
C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0
解析：选A 由于直线ax＋by＋c＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y＝－x－.易知－＜0且－＞0，故ab＞0，bc＜0.
7．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，
所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
8．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，直线l在x轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式得k>或k<－1.
答案：(－∞，－1)∪
9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
解析：若直线过原点，则直线方程为3x＋2y＝0；
若直线不过原点，则斜率为1，方程为y＋3＝x－2，即为x－y－5＝0，故所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.
答案：3x＋2y＝0或x－y－5＝0
10．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
B级——中档题目练通抓牢
1．两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是( )
解析：选B 直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同正，同负，故选B.
2．已知点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是( )
A．8 B．2
C. D．16
解析：选A ∵点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，∴y＝4－x，∴x2＋y2＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8，当x＝2时，x2＋y2取得最小值8.
3．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( )
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
4．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是____________________．
解析：∵直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，
∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，
代入半圆方程得B.
所以直线AB的方程为＝，
即x＋y－－1＝0.
答案：x＋y－－1＝0
5．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0
与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
答案：5
6．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，
则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
7.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
C级——重难题目自主选做
1．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选B 法一：(1)当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时，如图①所示．易求得：xM＝－，yN＝.由已知条件得：·＝1，
∴a＝.∵点M在线段OA上，∴－1<－<0，
∴0.
又00，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM<－.
所以的取值范围是∪(0，＋∞)．
答案：∪(0，＋∞)
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
解析：选B 由题意l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0，－b＜0.选项B符合．
2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－＜0，所以倾斜角的取值范围是.
3．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C.∪ D．(－∞，－1)∪
解析：选D 设直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式得k>或k<－1.
4．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0,0)，M(－1,3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为( )
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
解析：选C 因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.
5．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，
则有解得a＝－5，b＝－3，
从而可知直线l的斜率为＝－.
6．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为________．
解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，
因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan α＝，
所以直线l的斜率k＝tan 2α＝＝＝，
所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
7．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
解析：若直线过原点，则直线方程为3x＋2y＝0；
若直线不过原点，则斜率为1，方程为y＋3＝x－2，即为x－y－5＝0，故所求直线方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.
答案：3x＋2y＝0或x－y－5＝0
8．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．
解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．
答案：[－2,2]
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4
，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，
则直线l的方程为y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)的直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45°＝1，
kOB＝tan(180°－30°)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
B级——拔高题目稳做准做
1．(2018·南昌一模)已知A(1,2)，B(2,11)，若直线y＝x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是( )
A．[－2,0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0,6]
C．[－2，－1]∪[3,6] D．[－2,0)∪(0,6]
解析：选C 由题意得，A(1,2)，B(2,11)两点分布在直线y＝x＋1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，∴≤0，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.
2．若a，b，p(a≠0，b≠0，p>0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )
A.＋＝ B.－＝
C.＋＝ D.＝
解析：选A 由题意设直线方程为＋＝1，则p2＝，∴＋＝，故选A.
3．已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0,1) B.
C. D.
解析：选B 法一：(1)当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时，如图①所示．易求得：xM＝－，yN＝.由已知条件得：·＝1，
∴a＝.∵点M在线段OA上，∴－1<－<0，
∴0.
又00，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM<－.
所以的取值范围是∪(0，＋∞)．
答案：∪(0，＋∞)
5.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积取最小值时，求直线l的方程．
解：法一：设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则直线l的方程为＋＝1.
因为l过点P(3,2)，所以＋＝1.
因为1＝＋≥2 ，整理得ab≥24，
所以S△ABO＝ab≥12，
当且仅当＝，即a＝6，b＝4时取等号．
此时直线l的方程是＋＝1，即2x＋3y－12＝0.
法二：依题意知，直线l的斜率k存在且k<0，
可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
则A，B(0,2－3k)，
S△ABO＝(2－3k)
＝
≥
＝×(12＋12)＝12，
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
6．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．
(2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.
(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
∴A，B(0,1＋2k)．
又－<0且1＋2k>0，∴k>0.
故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)
＝≥(4＋4)＝4，
当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
