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2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高一数学参考答案
2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛 高一数学试题参考答案 试卷总分:100分 考试时间:120分钟 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.设点是函数图象上的任意一点,过点分别作直线和轴的垂线段,垂足分别为,则( ) A. B. C. D. 答案A. 解析:设则,所以. 2.在边长为1的正方体中,异面直线与间的距离为( ) A. B. C. D. 答案B. 解析:,则异面直线与间的距离转化为与之间的距离,转化为点到的距离。 利用等体积法,易得. 3.方程的实数解为( ) A. B. C. D. 答案A. 解析:,考虑, 又,所以取等条件为 4.如图,在中,点为边上的一点,且.过点的直线分别交直线于不同的两点.若,则的值为( ) A. B. C. D. 答案C. 解析:, 由三点共线,则 7 5.若对所有正数不等式都成立,则的最小值是( ) A. B. C. D. 答案D. 解析:依题由则. 6.设参数,若动直线,则在平面内所围成的封闭区域面积为( ) A. B. C. D. 答案C. 解析:原点到直线的距离,则动直线表示单位圆的所有切线,因此围城区域面积即为单位圆面积,故为 7.已知上一点,分别是圆与 圆上的点,则的最大值为( ) A. B. C. D. 答案C. 解析:由,, 则. 求点关于直线的对称点为, 则 当且仅当三点共线时,取得最大值为5 8.一个圆锥和一个圆柱,下底面在同一平面上,它们有公共的内切球,记圆锥的体积为,圆柱的体积为,且,则的最小值为( ) A. B. C. 1 D. 答案D 解析:设内切球的半径为,过球心作轴截面如图. 则圆柱的底面半径为,高为, 设圆锥的底面半径为,高为,则, 由,则 ,故, 7 其中,当取等. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 9.设是定义在上的函数,对任意的,都有≤, ≥,如果,则的值为 . 答案2019. 解析:; 则,取等条件为,. 故,则. 10.设常数使得方程在平面直角坐标系中表示两条 相交直线,交点为. 若点,分别在这两条直线上,且,则 . 答案 解析:原方程因式分解为:,则. 直线与直线交于.设直线的倾斜角分别为,则两直线夹角, 则,故 11.若为一个平方数,则正整数 答案10. 解析:当, 下证:当时,不可能为平方数. 假设为完全平方数, 则,(其中为奇数,且)整理得, 故,相减可得,其中 方程左边除以4的余数为2,右边除以4的余数为0,矛盾 (此处也可以解得,并说明唯一解,但这与矛盾). 12.已知集合,,定义函数:.设点,,,的外接圆圆心为,且,则满足条件的函数有 _______个. 答案16. 7 解析:设中点为,则,所以落在中线上.由为外心,故为中垂线。即.由距离公式可得或. 若,则 ,共12种; 若,则 ,共4种; 所以共有12+4=16种. 三、解答题(本大题共3小题,共40分) 13.(12分)已知向量,的夹角为,,,,, 在时取得最小值,若<<,求的取值范围. 解析:法一设 ………………………………4分 则, ………………………………8分 据题解得故………………12分 法二:,………………4分 由所以, ,则……8分 据题解得故 ………………12分 14.(12分) 过点作抛物线的两条切线,切点分别为, . (Ⅰ) 证明: 为定值; (Ⅱ) 记的外接圆的圆心为点, 定点,对任意实数,试判断 以为直径的圆是否恒过点?并说明理由. 解:(Ⅰ)解法1: 因为点和在抛物线上, 所以,. 设切线斜率为,则切线方程为: 与抛物线联立,消可得,, 7 则,故 同理 所以直线的方程为. (此处可利用求导得)…………………………………2分 因为点在直线上, 所以,即. 同理, . ………………………………4分 所以是方程的两个根. 所以. 又, 所以为定值. ………………………………6分 解法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, 由消去得, …………………………2分 由, 化简得. 所以. ……………………………4分 由于的,根据求根公式, 从而,同理 所以, 即. 又, 所以为定值. …………………………………………6分 (Ⅱ) 法1:直线的垂直平分线方程为, ……………7分 由于,, 所以直线的垂直平分线方程为. ① ……………8分 同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分 7 由①②解得, , 所以点. 则 由于, 所以 所以以为直径的圆恒过点 另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分 把点代入上方程,知点的坐标是方程的解. 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 法2:设点的坐标为, 则△的外接圆方程为, 由于点在该圆上, 则, . 两式相减得, ① …………6分 由(Ⅰ)知,代入上式得 , ……………………………………8分 当时, 得, ② 假设以为直径的圆恒过点,则即, 得, ③ 由②③解得, …………………………………………………10分 所以点. 当时, 则,点. 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 7 15. (16分)已知函数是定义域和值域都在上的严格增函数,满足, 求的值. 解析:①首先证明:. 若,则,而,矛盾。…………………2分 若,则由函数严格单调递增,可知,矛盾。 综上可知, …………………………………4分 ②再证. 由,可得, 故…………………………………6分 所以,则…………8分 由于,且, 所以,其中……………………………12分 ③其中……………14分 故…………………………………16分 7查看更多