2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高一数学参考答案

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2018年达利教育卓越奖初中学科竞赛高一数学参考答案

‎2018年“达利教育卓越奖”高中学科竞赛 高一数学试题参考答案 试卷总分:100分 考试时间:120分钟 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.设点是函数图象上的任意一点,过点分别作直线和轴的垂线段,垂足分别为,则( )‎ A. B. C. D.‎ 答案A. ‎ 解析:设则,所以.‎ ‎2.在边长为1的正方体中,异面直线与间的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案B.‎ 解析:,则异面直线与间的距离转化为与之间的距离,转化为点到的距离。‎ 利用等体积法,易得.‎ ‎3.方程的实数解为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案A.‎ 解析:,考虑,‎ 又,所以取等条件为 ‎4.如图,在中,点为边上的一点,且.过点的直线分别交直线于不同的两点.若,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案C.‎ 解析:,‎ 由三点共线,则 7‎ ‎5.若对所有正数不等式都成立,则的最小值是( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案D.‎ 解析:依题由则.‎ ‎6.设参数,若动直线,则在平面内所围成的封闭区域面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案C.‎ 解析:原点到直线的距离,则动直线表示单位圆的所有切线,因此围城区域面积即为单位圆面积,故为 ‎7.已知上一点,分别是圆与 圆上的点,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 答案C.‎ 解析:由,,‎ 则.‎ 求点关于直线的对称点为,‎ 则 ‎ 当且仅当三点共线时,取得最大值为5‎ ‎8.一个圆锥和一个圆柱,下底面在同一平面上,它们有公共的内切球,记圆锥的体积为,圆柱的体积为,且,则的最小值为( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ 答案D 解析:设内切球的半径为,过球心作轴截面如图. ‎ 则圆柱的底面半径为,高为,‎ 设圆锥的底面半径为,高为,则,‎ 由,则 ‎,故,‎ 7‎ 其中,当取等. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎9.设是定义在上的函数,对任意的,都有≤,‎ ‎≥,如果,则的值为 .‎ 答案2019.‎ 解析:;‎ 则,取等条件为,.‎ 故,则.‎ ‎10.设常数使得方程在平面直角坐标系中表示两条 相交直线,交点为. 若点,分别在这两条直线上,且,则 ‎ .‎ 答案 解析:原方程因式分解为:,则.‎ 直线与直线交于.设直线的倾斜角分别为,则两直线夹角,‎ 则,故 ‎11.若为一个平方数,则正整数 ‎ 答案10.‎ 解析:当,‎ 下证:当时,不可能为平方数.‎ 假设为完全平方数,‎ 则,(其中为奇数,且)整理得,‎ 故,相减可得,其中 方程左边除以4的余数为2,右边除以4的余数为0,矛盾 ‎(此处也可以解得,并说明唯一解,但这与矛盾).‎ ‎12.已知集合,,定义函数:.设点,,,的外接圆圆心为,且,则满足条件的函数有 _______个.‎ 答案16.‎ 7‎ 解析:设中点为,则,所以落在中线上.由为外心,故为中垂线。即.由距离公式可得或.‎ 若,则 ‎,共12种;‎ 若,则 ‎,共4种;‎ 所以共有12+4=16种.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共40分)‎ ‎13.(12分)已知向量,的夹角为,,,,,‎ 在时取得最小值,若<<,求的取值范围.‎ 解析:法一设 ………………………………4分 则, ………………………………8分 据题解得故………………12分 法二:,………………4分 由所以,‎ ‎,则……8分 据题解得故 ………………12分 ‎14.(12分)‎ 过点作抛物线的两条切线,切点分别为, . ‎ ‎(Ⅰ) 证明: 为定值;‎ ‎(Ⅱ) 记的外接圆的圆心为点, 定点,对任意实数,试判断 以为直径的圆是否恒过点?并说明理由.‎ 解:(Ⅰ)解法1: 因为点和在抛物线上, 所以,.‎ 设切线斜率为,则切线方程为:‎ 与抛物线联立,消可得,,‎ 7‎ 则,故 同理 所以直线的方程为. ‎ ‎(此处可利用求导得)…………………………………2分 ‎ 因为点在直线上,‎ 所以,即. ‎ 同理, . ………………………………4分 所以是方程的两个根.‎ ‎ 所以. ‎ ‎ 又, ‎ 所以为定值. ………………………………6分 解法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, ‎ 由消去得, …………………………2分 由, 化简得. ‎ 所以. ……………………………4分 由于的,根据求根公式,‎ 从而,同理 所以, 即. 又, ‎ ‎ 所以为定值. …………………………………………6分 ‎(Ⅱ) 法1:直线的垂直平分线方程为, ……………7分 ‎ 由于,,‎ ‎ 所以直线的垂直平分线方程为. ① ……………8分 ‎ 同理直线的垂直平分线方程为. ② ……………9分 7‎ ‎ 由①②解得, , 所以点. ‎ ‎ 则 ‎ 由于, 所以 ‎ 所以以为直径的圆恒过点 另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分 把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 法2:设点的坐标为,‎ ‎ 则△的外接圆方程为,‎ ‎ 由于点在该圆上,‎ ‎ 则,‎ ‎ .‎ ‎ 两式相减得, ① …………6分 ‎ 由(Ⅰ)知,代入上式得 ‎ , ……………………………………8分 ‎ 当时, 得, ② ‎ ‎ 假设以为直径的圆恒过点,则即,‎ ‎ 得, ③ ‎ ‎ 由②③解得, …………………………………………………10分 所以点. ‎ 当时, 则,点.‎ 所以以为直径的圆恒过点 …………………………………………………12分 7‎ ‎15. (16分)已知函数是定义域和值域都在上的严格增函数,满足,‎ 求的值.‎ 解析:①首先证明:.‎ 若,则,而,矛盾。…………………2分 若,则由函数严格单调递增,可知,矛盾。‎ 综上可知, …………………………………4分 ‎②再证.‎ 由,可得,‎ 故…………………………………6分 所以,则…………8分 由于,且,‎ 所以,其中……………………………12分 ‎③其中……………14分 故…………………………………16分 7‎
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