宁夏银川市第二中学2020届高三下学期统练(七)数学(文)试题

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宁夏银川市第二中学2020届高三下学期统练(七)数学(文)试题

银川市第二中学2020届高三下学期统练(七)数学(文)试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知集合,则集合中的元素个数为( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解分式不等式化简集合,即可得答案.‎ ‎【详解】∵.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的描述法和列举法表示,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎2.设复数,则复数的虚部为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的乘法运算化简复数,即可得答案.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∴复数的虚部为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查复数虚部的概念,考查运算求解能力和对概念的理解,属于基础题.‎ ‎3.为了调查不同年龄段女性的平均收入情况,研究人员利用分层抽样的方法随机调查了地岁的名女性,其中地各年龄段的女性比例如图所示.若年龄在岁的女性被抽取了40人,则年龄在岁的女性被抽取的人数为( )‎ A. 50 B. ‎10 ‎C. 25 D. 40‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据比例关系求出的值,再利用比例关系,即可得答案.‎ ‎【详解】∵年龄在岁的女性被抽取了40人,‎ ‎∴,‎ ‎∵年龄在岁的女性被抽取的人数为占,‎ ‎∴人数为(人).‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查统计中对图表数据的处理,考查基本运算求解能力,属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的焦距为8,则双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对双曲线的焦点位置进行讨论,利用焦距为8,得到关于的方程,在双曲线方程中右边的1为0,即可得答案.‎ ‎【详解】(1)双曲线的焦点在轴上时,‎ ‎∴∴,‎ ‎∴双曲线方程为,其渐近线方程为:;‎ ‎(2)双曲线的焦点在轴上时,‎ ‎∴∴,‎ ‎∴双曲线方程为,其渐近线方程为:;‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程、焦距的概念、渐近线的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查运算求解能力,求解时注意对焦点的位置的讨论.‎ ‎5.运行如图所示的程序框图,若输出的值为35,则判断框中可以填( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图一步一步执行,即可得到答案.‎ ‎【详解】,进入判断框,执行循环体;‎ ‎,进入判断框,执行循环体;‎ ‎,进入判断框,执行循环体;‎ ‎,进入判断框,执行循环体;‎ ‎,进入判断框,终止循环,输出的值;‎ ‎∴判断框中可以填.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查补全程序框图中的条件,考查逻辑推理能力、运算求解能力,属于基础题.‎ ‎6.欧拉三角形定义如下:的三个欧拉点(顶点与垂心连线的中点)构成的三角形称为的欧拉三角形.如图,在中,的垂心为的中点分别为即为的欧拉三角形,则向中随机投掷一点,该点落在内的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算三角形阴影部分的面积,再利用几何概型计算概率,即可得答案.‎ ‎【详解】如图所示,以所在的直线为轴,所在的直线为轴建立直角坐标系,‎ ‎∵,‎ ‎∴的方程为,‎ ‎∵,∴,∴的方程为,‎ 当时,得,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查几何概型的概率求法,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用坐标法进行求解.‎ ‎7.如图,网格小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据根据几何体的三视图可以还原几何体的直观图为:正方体削去一个三棱柱和一个的圆柱,在计算几何体的表面积,即可得答案.‎ ‎【详解】几何体的上下底面面积为:,‎ 几何体的上下底面面积为:,‎ ‎∴该几何体的表面积为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、并进行表面积的求解,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意割补思想的应用.‎ ‎8.某抽奖箱中放有2个红球,2个蓝球,1个黑球,则从该抽奖箱中随机取3个球,有3种颜色的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算该抽奖箱中随机取3个球的等可能结果,同时计算有3种颜色的等可能结果,再利用古典概型的概率计算公式,即可得答案.‎ ‎【详解】∵从该抽奖箱中随机取3个球共有种等可能结果,‎ 有3种颜色共有种等可能结果,‎ ‎∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型概率计算公式,考查基本运算求解能力,属于基础题.‎ ‎9.已知抛物线的焦点,过点作斜率为1的直线与抛物线交于两点,线段的垂直平分线与轴交于点,若,则( )‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 14 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用抛物线的弦长公式得,再利用,求出点,进而利用点差法可得关于的方程,解方程即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意得直线的倾斜角为,‎ ‎∴,‎ 设直线与直线的交点为,则为等腰直角三角形,‎ ‎∵,∴,‎ 设,∴‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、点差法的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎10.已知函数,则( )‎ A. 函数的图像关于对称 B. 函数的图像关于对称 C. 函数的图像关于对称 D. 函数的图像关于对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的解析式,易得函数过原点,从而根据选项进行一一验证,即可得答案.‎ ‎【详解】∵函数过点,‎ 对A,若函数的图像关于对称,则,显然不成立,故A错误;‎ 对B,若函数的图像关于对称,则,显然不成立,故B错误;‎ 对D,若函数的图像关于对称,则,显然不成立,故D错误;‎ 利用排除法可得C正确;‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用排除法进行解题.‎ ‎11.已知函数的部分图像如图所示,其中为图像上两点,将函数图像的横坐标缩短到原来的,再向右平移个单位长度后得到函数的图像,则函数的单调递增区间为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图像得到,在于图像的平移得到,将带入正弦函数的递减区间,即可得答案.‎ ‎【详解】由图像得,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵图像过点,∴,即,解得:,‎ ‎∴,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴函数的单调递增区间为.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的图像和性质、平移变换、单调区间、诱导公式等知识的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎12.已知函数仅有唯一极值点,则实数的取值范围( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化为方程在仅有一个变号根,进一步将问题转化为方程在不存在变号根,由得在单调递增,利用导数即可得答案.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∵在仅有一个变号根,显然为一个变号根,‎ ‎∴恒大于等于0或恒小于等于0,‎ ‎∵,‎ ‎∴当时,在恒成立,‎ ‎∴在单调递增时,且,‎ ‎∴在恒成立,‎ 故满足题意.‎ 当时,,‎ ‎,‎ ‎∴在单调递减,在单调递增,‎ 且,‎ ‎∴在恒大于等于0或恒小于等于0均不成立,‎ ‎∴不合题意;‎ 综上所述:.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用、利用导数研究函数的单调性、极值、恒成立问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意参变分离的应用.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.已知向量,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据向量的坐标运算,求向量的数量积,即可得答案.‎ ‎【详解】∵,,‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎14.设实数满足,则的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 作出线性约束条件所表示的可行性,如图所示,根据直线截距的几何意义,即可得答案.‎ ‎【详解】作出线性约束条件所表示的可行性,如图所示,‎ 当直线过点B和过点C时,分别取到最小值和最大值,‎ 此时,,∴‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划的应用,考查数形结合思想和运算求解能力,求解时注意直线截距几何意义的应用.‎ ‎15.已知三棱锥外接球的体积为,在中,,则三棱锥体积的最大值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出三棱锥的直观图,当三棱锥体积的最大时,面,设为外接球的球心,且半径为,利用球的体积求得的值,再利用勾股定理求得三棱锥的高,即可得答案.‎ ‎【详解】由题意得中,,‎ ‎∴,取的中点,连结,‎ 当三棱锥体积的最大时,面,设为外接球的球心,且半径为,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题、三棱锥体积的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力,求解时注意球心位置的确定.‎ ‎16.若面积为2的中,,则的最小值为____________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要据三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理,将表示成关于的三角函数,再利用导数求最小值,即可得答案.‎ ‎【详解】∵,∴,‎ ‎∵的面积为,∴,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ 显然的最小值时,只需考虑时,‎ 令,则,‎ 当得,此时,‎ ‎∵在存在唯一的极值点,‎ ‎∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、导数在解三角形中的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用导数求函数的最值.‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.已知首项为1的数列满足:当时,.‎ ‎(1)求数列的通项公式; ‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用累加法可求得数列的通项公式;‎ ‎(2)利用等比数列前项和公式,可求得.‎ ‎【详解】(1)∵,∴,,‎ ‎,‎ ‎∴,整理得:,‎ 当时,也符合上式,∴.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴数列是首项为,公比为的等比数列,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式、等比数列前项和公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎18.人们随着生活水平的提高,健康意识逐步加强,健身开始走进人们生活,在健身方面投入越来越多,为了调查参与健身的年轻人一年健身的花费情况,研究人员在地区随机抽取了参加健身的青年男性、女性各50名,将其花费统计情况如下表所示:‎ 分组(花费)‎ 频数 ‎6‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎8‎ ‎4‎ 男性 女性 合计 健身花费不超过2400元 ‎23‎ 健身花费超过2400元 ‎20‎ 合计 ‎(1)完善二联表中的数据;‎ ‎(2)根据表中的数据情况,判断是否有99%的把握认为健身的花费超过2400元与性别有关;‎ ‎(3)求这100名被调查者一年健身的平均花费(同一组数据用该区间的中点值代替).‎ 附:‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)没有99%的把握;(3)元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据频数表提取数据,并填入列联表中;‎ ‎(2)将数据代入卡方系数计算公式中,并与6.635进行比较,即可得答案;‎ ‎(3)根据题意直接计算样本数据的平均值,即可得答案.‎ ‎【详解】(1)‎ 男性 女性 合计 健身花费不超过2400元 ‎23‎ ‎30‎ ‎53‎ 健身花费超过2400元 ‎27‎ ‎20‎ ‎47‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴没有99%把握认为健身的花费超过2400元与性别有关.‎ ‎(3)平均费用为,则 ‎.‎ ‎∴这100名被调查者一年健身的平均花费元.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验、平均数的计算,考查数据处理能力,求解时注意运算的准确性.‎ ‎19.如图,四棱锥的底面为矩形,平面平面,点在线段上,且平面.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)若点是线段上靠近的三等分点,点在线段上,且平面,求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)证明AS垂直面SBC内的两条相交直线BC、BE,即可证得结论;‎ ‎(2)取N,O分别为AB,AS的三等分点,且NOSB,连结ON,OM,利用面面平行证得线面平行,再利用勾股定理,即可得答案.‎ ‎【详解】(1)∵平面SAB平面ABCD,面SAB面ABCDAB,BCAB,BC面ABCD,‎ ‎∴BC面SAB,又AS面SAB,∴ASBC.‎ ‎∵BE面SAC,AS面SAC,‎ ‎∴ASBE,又BCBEB,‎ ‎∴AS面SBC.‎ ‎(2)取N,O分别为AB,AS的三等分点,且NOSB,连结ON,OM,‎ ‎∵ONSB,ON面SBC,SB面SBC,‎ ‎∴ON面SBC,同理OM面SBC,‎ ‎∵OM,ON面OMN,OMONO,‎ ‎∴面OMN面SBC,‎ ‎∵MN面OMN,∴MN面SBC.‎ 由(1)得:OMON,‎ ‎∴在直角三角形OMN中,ON1,OM4,‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面平行性质定理、线面平行判定定理的应用,考查转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎20.已知点在圆上运动,轴,垂足为,点满足.‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)过点的直线与曲线交于两点,记的面积为,求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据相关点代入求轨迹方程;‎ ‎(2)显然直线的斜率存在,设直线的方程为,将直线方程代入椭圆方程中得,得,再利用一元二次函数的性质求最大值.‎ ‎【详解】(1)设,,‎ ‎∵,∴为的中点,‎ ‎∴∴,即.‎ ‎∴点的轨迹的方程.‎ ‎(2)显然直线的斜率存在,设直线的方程为,‎ 将直线方程代入椭圆方程中得,‎ ‎∴.‎ 设,‎ ‎∴‎ 令,则,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴时,,‎ ‎∴的最大值.‎ ‎【点睛】本题考查相关点带的话求椭圆的轨迹方程、直线与椭圆位置关系中三角形的面积最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意一元二次函数的性质求最值.‎ ‎21.已知函数,其中. ‎ ‎(1)讨论函数的单调性;‎ ‎(2)记函数的极小值为,若成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)在单调递增,在单调递减;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数进行求导得到,在解不等式即可得到单调区间;‎ ‎(2)利用导数求出函数的极小值为,从而得到恒成立,再利用导数研究的单调性,从而求得答案.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ ‎∵,‎ ‎∴,,‎ ‎∴在区间单调递增,在区间单调递减.‎ ‎(2)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴或,,‎ ‎∴在单调递减,单调递增,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 令,‎ 在恒成立,‎ 单调递减,且,‎ ‎∴时,成立,‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用不等式恒成立求参数的取值范围,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.‎ ‎22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点,求的值.‎ ‎【答案】(1);;(2).‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)消参即可得到直线的普通方程,再利用可得直线的极坐标方程;进一步可得曲线的普通方程;‎ ‎(2)利用参数方程中参数的几何意义,可求得弦长.‎ ‎【详解】(1)∵;‎ ‎∵,‎ ‎∴直线的极坐标方程为.‎ ‎∵‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)把直线的参数方程化简为标准式为(t为参数),代入x2+4y2=4,‎ 得到:3t2﹣4t﹣4=0,‎ 所以,,‎ 则:|PQ|.‎ ‎【点睛】本题考查普通方程、参数方程、极坐标方程之间的互化、参数方程中参数几何意义的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)若,求不等式的解集;‎ ‎(2)若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)m≥3或m≤﹣1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用零点分段法进行求解,即可得答案;‎ ‎(2)由题意可得|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立,设g(x)=|x﹣m|+2|x﹣1|,由题意可得只需g(x)min≥2,运用绝对值不等式的性质和绝对值的性质,以及绝对值不等式的解法,可得所求范围..‎ ‎【详解】(1)若,不等式①‎ 当时,不等式①等价于,∴;‎ 当时,不等式①等价于,∴;‎ 当时,不等式①等价于,∴;‎ 综上所述,不等式的解集为.‎ ‎(2)关于x的不等式|x﹣1|≥1恒成立,即为|x﹣m|+2|x﹣1|≥2恒成立,‎ 设g(x)=|x﹣m|+2|x﹣1|,由题意可得只需g(x)min≥2,‎ 而g(x)=|x﹣m|+|x﹣1|+|x﹣1|≥|x﹣m﹣x+1|+0=|1﹣m|,当且仅当x=1取得等号,‎ 则g(x)的最小值为|1﹣m|,‎ 由|1﹣m|≥2,‎ 解得m≥3或m≤﹣1.‎ ‎【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式、绝对值函数的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意讨论的完整性.‎
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