2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题(解析版)

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文档介绍

2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题(解析版)

‎2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1.如图,为全集,、、是的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集,但不属于集合S,属于集合S的补集,然后用关系式表示出来即可.‎ ‎【详解】‎ 图中的阴影部分是: M∩P的子集,不属于集合S,属于集合S的补集,即是CUS的子集则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁US).‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算,同时考查了识图能力,属于基础题.‎ ‎2.下列各组函数中,表示同一函数的是( )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】若两个函数是同一个函数,则函数的定义域以及函数的对应关系都相同,所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),∴不是同一函数.‎ 对于B选项,f(x),(x≤﹣2,或x≥2)和g(x)‎ ‎,(x≥2)定义域不同,∴不是同一函数;‎ 对于C选项,当x=0时,对应关系不同,∴不是同一函数 对于D选项,f(x)的定义域与g(x)的定义域均为{1},且f(x)g(x)‎ ‎∴是同一函数 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数三要素的判断,只有三要素都相同,两函数才为同一函数,属基础题.‎ ‎3.已知是R上的偶函数,且当 ,则时, ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由x<0得﹣x>0,代入已知式子得f(﹣x),由偶函数f(﹣x)=f(x),可得f(x)的解析式.‎ ‎【详解】‎ 设x<0,则﹣x>0, ‎ ‎∴,‎ 又∵y=f(x)是R上的偶函数,‎ ‎∴f(﹣x)=f(x),‎ ‎∴,‎ ‎∴当x<0时,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识,是基础题目.‎ ‎4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )‎ A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油 D.某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 解:对于A,由图象可知当速度大于40km/h时,乙车的燃油效率大于5km/L,‎ ‎∴当速度大于40km/h时,消耗1升汽油,乙车的行驶距离大于5km,故A错误;‎ 对于B,由图象可知当速度相同时,甲车的燃油效率最高,即当速度相同时,消耗1升汽油,甲车的行驶路程最远,‎ ‎∴以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最少,故B错误;‎ 对于C,由图象可知当速度为80km/h时,甲车的燃油效率为10km/L,‎ 即甲车行驶10km时,耗油1升,故行驶1小时,路程为80km,燃油为8升,故C错误;‎ 对于D,由图象可知当速度小于80km/h时,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,‎ ‎∴用丙车比用乙车更省油,故D正确 故选:D.‎ ‎【考点】1、数学建模能力;2、阅读能力及化归思想.‎ 二、填空题 ‎5.集合有_______个子集.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】集合{a,b,c ‎}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合,包括空集得到结论.‎ ‎【详解】‎ 集合{a,b,c}的子集有:‎ ‎∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{c,b},{a,b,c}共8个.‎ 故答案为:8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的子集个数问题,对于集合M的子集问题一般来说,若M中有n个元素,则集合M的子集共有2n个.‎ ‎6.不等式的解集是            .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ ‎7.已知命题P是“若实数a、b满足且,则”,则命题P的否命题是________.‎ ‎【答案】若实数a、b满足或,则 ‎【解析】直接由否命题的定义得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由否命题的定义既否条件又否结论得:‎ ‎“若且,则”的否命题为“若a≤1或b≤2,则a+b≤3”,‎ 故答案为:若实数a、b满足或,则 ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题的关系,考查了否命题的形式,注意含“且”的命题,否定时要变为“或”,是易错题.‎ ‎8.已知集合,,则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出集合A,B,即可得到.‎ ‎【详解】‎ 由题集合 ‎ 集合 ‎ 故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算,属基础题 ‎9.已知,则“”是“”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)‎ ‎【答案】必要非充分 ‎【解析】当c=0时,a>b⇏ac2>bc2;当ac2>bc2时,说明c≠0,有c2>0,得ac2>bc2⇒a>b.显然左边不一定推导出右边,但右边可以推出左边.‎ ‎【详解】‎ 必要不充分条件 当c=0时,a>b⇏ac2>bc2;‎ 反之当ac2>bc2时,说明c≠0,‎ 则c2>0,得ac2>bc2⇒a>b.‎ 显然左边不一定推导出右边,但右边可以推出左边,所以“”是“”的必要非充分条件.‎ 故答案为:必要非充分.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件的判断,解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系,是基础题.‎ ‎10.已知,则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出可行域,目标函数z=a-b可化为b=a-z,经平移直线可得结论.‎ ‎【详解】‎ 作出所对应的可行域,即 (如图阴影), 目标函数z=a-b可化为b=a-z,可看作斜率为1的直线, 平移直线可知,当直线经过点A(1,-1)时,z取最小值-2, 当直线经过点O(0,0)时,z取最大值0, ∴a-b的取值范围是 ‎, 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划,准确作图是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎11.已知函数,且=3,则= .‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】试题分析:设,则是奇函数,,所以,即,.‎ ‎【考点】函数的奇偶性.‎ ‎12.已知不等式的解集是,则不等式的解集是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据不等式的解集是,求得的值,从而求解不等式的解集,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意,因为不等式的解集是,‎ 可得,解得,‎ 所以不等式为,‎ 即,解得,‎ 即不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法,其中解答中根据三个二次式之间的关键,求得的值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎13.某班有50名学生报名参加A、B两项比赛,参加A项的有30人,参加B项的有33人,且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人,则只参加A 项,没有参加B项的学生有__人 ‎【答案】9‎ ‎【解析】利用方程思想,设A、B都参加的同学为x人,则可分别得到只参加A,不参加B,只参加B,不参加A,以及AB都不参加的人数,然后利用人数关系建立方程,求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设A、B都参加的同学为x人,则只参加A,不参加B的为,只参加B,不参加A的为,‎ 则AB都不参加的人数为.‎ 因为A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人,‎ 所以,解得.‎ 所以只参加A项,没有参加B项的学生有.‎ 故答案为:9‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合元素关系的运算,利用维恩图是解决此类问题的基本方法,比较基础.‎ ‎14.若关于x的不等式的解集是R,则实数a的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对x2的系数分类讨论:当a=2时,直接得出;当a≠2时,根据二次函数的图象性质,得到关于a的不等式组,解出即可.‎ ‎【详解】‎ 当a=2时,不等式化为﹣4<0对于任意实数x都成立,因此a=2满足题意;‎ 当a≠2时,要使关于x的不等式(a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0的解集为R,‎ 则,‎ 化为,‎ 解得﹣2<a<2.‎ 故答案为(﹣2,2].‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的恒成立问题,考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法,属于基础题.‎ ‎15.已知函数,(),若不存在实数使得和同时成立,则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过f(x)>1和g(x)<0,求出集合A、B,利用A∩B=∅,求出a的范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由f(x)>1,得>1,化简整理得 ,解得 即的解集为A={x|-2<x<-1或2<x<3}. 由g(x)<0得x2-3ax+2a2<0,即(x-a)(x-2a)<0,g(x)<0的解集为B={x|2a<x<a,a<0}. 由题意A∩B=∅,因此a≤-2或-1≤2a<0, 故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a<0}.‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法,二次不等式的解法,集合的交集运算,考查分析问题解决问题的能力.‎ ‎16.已知数集(,)具有性质:对任意、(),与两数中至少有一个属于集合,现给出以下四个命题:①数集具有性质;②数集具有性质;③若数集具有性质,则;④若数集()具有性质,则;其中真命题有________(填写序号)‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】利用ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A.即可判断出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎①数集中,,故数集不具有性质;‎ ‎②数集满足对任意、(),与两数中至少有一个属于集合,故数集具有性质; ‎ ‎③若数列A具有性质P,则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项, ∵0≤a1<a2<…<an,n≥3, 而2an不是该数列中的项,∴0是该数列中的项, ∴a1=0;故③正确;‎ ‎④当 n=5时,取j=5,当i≥2时,ai+a5>a5, 由A具有性质P,a5-ai∈A,又i=1时,a5-a1∈A, ∴a5-ai∈A,i=1,2,3,4,5 ∵0=a1<a2<a3<a4<a5,∴a5-a1>a5-a2>a5-a3>a5-a4>a5-a5=0, 则a5-a1=a5,a5-a2=a4,a5-a3=a3, 从而可得a2+a4=a5,a5=2a3,故a2+a4=2a3,‎ 即答案为②③④.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的综合应用,此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力,侧重于对能力的考查,属中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知集合,7,,,且,求集合B.‎ ‎【答案】1,4,‎ ‎【解析】由,得到或舍,从而得,分别代入集合A和B,利用集合中元素的互异性能求出集合B.‎ ‎【详解】‎ 集合,‎ ‎7,,,且,‎ 或舍,‎ 解得,‎ 当时,5,,不成立;‎ 当时,5,,7,1,,成立.‎ 集合1,4,.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的求法,考查元素与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.‎ ‎18.“,求证”除了用比较法证明外,还可以有如下证法: (当且仅当时等号成立), 学习以上解题过程,尝试解决下列问题:‎ ‎(1)证明:若,则,并指出等号成立的条件;‎ ‎(2)试将上述不等式推广到个正数的情形,并加以证明.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)根据题设例题证明过程,类比bca可得证明,‎ ‎(2)根据题设例题证明过程,类比bca可得证明 ‎【详解】‎ ‎(1)∵,‎ ‎∴,当且仅当a=b=c时等号成立;‎ ‎(2)∵a2a3a1≥2a1+2a2+…+2an﹣1+2an,‎ ‎∴.当且仅当a1=a2=…=an﹣1=an时取等号 ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用,考查了不等式的证明和类比的思想,属于中档题 ‎19.某公司有价值10万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值,假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足:① 与和的乘积成正比;② 当时,;③,其中为常数,且.‎ ‎(1)设,求出的表达式,并求出的定义域;‎ ‎(2)求出附加值的最大值,并求出此时的技术改造投入的的值.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】(1)列出f(x)的表达式,求函数的定义域时,要注意条件③的限制性. (2)本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值,结合二次函数的图象及单调性解决,注意分类讨论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设,当 时,可得k=4,∴ ∴定义域为,t为常数,;‎ ‎(2)因为定义域中 ‎ 函数在上单调递减,故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的应用问题,函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想,牵扯字母太多,容易出错.‎ ‎20.对于函数,若,则称为的“不动点”;若,则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,.‎ ‎()设函数,求集合和.‎ ‎()求证:.‎ ‎()设函数,且,求证:.‎ ‎【答案】(),;()证明见解析;(证明见解析.‎ ‎【解析】()由,解得,;由,解得,,;()若,则成立;若,设为中任意一个元素,则有,可得,故,从而可得结果;()①当时,的图象在轴的上方,可得对于,恒成立,则.②当时,的图象在轴的下方,可得对于任意,恒成立,则.‎ ‎【详解】‎ ‎()由,‎ 得,‎ 解得,‎ 由,得,‎ 解得,‎ ‎∴,.‎ ‎()若,‎ 则成立,‎ 若,‎ 设为中任意一个元素,‎ 则有,‎ ‎∴,‎ 故,‎ ‎∴.‎ ‎()由,得方程无实数解,‎ ‎∴.‎ ‎①当时,的图象在轴的上方,‎ 所以任意,恒成立,‎ 即对于任意,恒成立,‎ 对于,则有成立,‎ ‎∴对于,恒成立,‎ 则.‎ ‎②当时,的图象在轴的下方,‎ 所以任意,恒成立,‎ 即对于,恒成立,‎ 对于实数,则有成立,‎ 所以对于任意,恒成立,‎ 则,‎ 综上知,对于,‎ 当时,.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用,考查了分类讨论思想,属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰,进而顺利解答,希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎ ‎21.设数集由实数构成,且满足:若(且),则.‎ ‎(1)若,试证明中还有另外两个元素;‎ ‎(2)集合是否为双元素集合,并说明理由;‎ ‎(3)若中元素个数不超过8个,所有元素的和为,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合.‎ ‎【答案】(1) ,;(2)见解析;(3).‎ ‎【解析】(1)根据集合的互异性进行求解,注意条件2∈A,把2代入进行验证; (2)可以假设A为单元素集合,求出其等价条件,从而进行判断; (3)先求出集合A中元素的个数,=1,求出x的值,从而求出集合A.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:若x∈A,则 ‎ 又∵2∈A, ∴ ∵-1∈A,∴ ∴A中另外两个元素为,;‎ ‎(2),,,且,,‎ ‎,故集合中至少有3个元素,∴不是双元素集合;‎ ‎(3)由,,可得 ‎ ‎,所有元素积为1,∴,‎ ‎、、,∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了元素和集合的关系,考查集合的含义,分类讨论思想,是一道中档题.‎
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