2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．‎ ‎【详解】‎ 图中的阴影部分是： M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是CUS的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁US).‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．‎ ‎2．下列各组函数中,表示同一函数的是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对应关系都相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数．‎ 对于B选项，f（x），（x≤﹣2，或x≥2）和g（x）‎ ‎，（x≥2）定义域不同，∴不是同一函数；‎ 对于C选项，当x=0时，对应关系不同，∴不是同一函数 对于D选项，f（x）的定义域与g（x）的定义域均为{1}，且f（x）g（x）‎ ‎∴是同一函数 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属基础题．‎ ‎3．已知是R上的偶函数,且当 ,则时, ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由x＜0得﹣x＞0，代入已知式子得f（﹣x），由偶函数f（﹣x）＝f（x），可得f（x）的解析式．‎ ‎【详解】‎ 设x＜0，则﹣x＞0， ‎ ‎∴，‎ 又∵y＝f（x）是R上的偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）＝f（x），‎ ‎∴，‎ ‎∴当x＜0时，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式的基础知识，是基础题目．‎ ‎4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）‎ A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，‎ ‎∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；‎ 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，‎ ‎∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；‎ 对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，‎ 即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；‎ 对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，‎ ‎∴用丙车比用乙车更省油，故D正确 故选：D．‎ ‎【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.‎ 二、填空题 ‎5．集合有_______个子集.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】集合{a，b，c ‎}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集得到结论．‎ ‎【详解】‎ 集合{a，b，c}的子集有：‎ ‎∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{c，b}，{a，b，c}共8个．‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．‎ ‎6．不等式的解集是 　　　　　　　　　 　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由.‎ ‎7．已知命题P是“若实数a、b满足且，则”,则命题P的否命题是________.‎ ‎【答案】若实数a、b满足或，则 ‎【解析】直接由否命题的定义得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由否命题的定义既否条件又否结论得：‎ ‎“若且，则”的否命题为“若a≤1或b≤2，则a+b≤3”，‎ 故答案为：若实数a、b满足或，则 ‎【点睛】‎ 本题考查四种命题的关系，考查了否命题的形式，注意含“且”的命题，否定时要变为“或”，是易错题．‎ ‎8．已知集合，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出集合A,B，即可得到.‎ ‎【详解】‎ 由题集合 ‎ 集合 ‎ 故.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，属基础题 ‎9．已知，则“”是“”的_________条件(填:充分非必要、必要非充分、充分且必要、非充分非必要)‎ ‎【答案】必要非充分 ‎【解析】当c＝0时，a>b⇏ac2>bc2；当ac2＞bc2时，说明c≠0，有c2＞0，得ac2>bc2⇒a>b．显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边．‎ ‎【详解】‎ 必要不充分条件 当c＝0时，a>b⇏ac2>bc2；‎ 反之当ac2＞bc2时，说明c≠0，‎ 则c2＞0，得ac2>bc2⇒a>b．‎ 显然左边不一定推导出右边，但右边可以推出左边，所以“”是“”的必要非充分条件.‎ 故答案为：必要非充分．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件的判断，解题的关键是充分利用不等式的基本性质是推导不等关系，是基础题．‎ ‎10．已知，则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出可行域，目标函数z=a-b可化为b=a-z，经平移直线可得结论．‎ ‎【详解】‎ 作出所对应的可行域，即 （如图阴影）， 目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线， 平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2， 当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0， ∴a-b的取值范围是 ‎， 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．‎ ‎11．已知函数，且=3，则= ．‎ ‎【答案】－1‎ ‎【解析】试题分析：设，则是奇函数，，所以，即，．‎ ‎【考点】函数的奇偶性．‎ ‎12．已知不等式的解集是，则不等式的解集是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据不等式的解集是，求得的值，从而求解不等式的解集，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为不等式的解集是，‎ 可得，解得，‎ 所以不等式为，‎ 即，解得，‎ 即不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎13．某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A 项，没有参加B项的学生有__人 ‎【答案】9‎ ‎【解析】利用方程思想，设A、B都参加的同学为x人，则可分别得到只参加A，不参加B，只参加B，不参加A，以及AB都不参加的人数，然后利用人数关系建立方程，求解即可．‎ ‎【详解】‎ 设A、B都参加的同学为x人，则只参加A，不参加B的为，只参加B，不参加A的为，‎ 则AB都不参加的人数为．‎ 因为A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，‎ 所以，解得．‎ 所以只参加A项，没有参加B项的学生有．‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合元素关系的运算，利用维恩图是解决此类问题的基本方法，比较基础．‎ ‎14．若关于x的不等式的解集是R,则实数a的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对x2的系数分类讨论：当a＝2时，直接得出；当a≠2时，根据二次函数的图象性质，得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 当a＝2时，不等式化为﹣4＜0对于任意实数x都成立，因此a＝2满足题意；‎ 当a≠2时，要使关于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，‎ 则，‎ 化为，‎ 解得﹣2＜a＜2．‎ 故答案为（﹣2，2]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的恒成立问题，考查二次函数的图象与性质、分类讨论的基础知识与基本技能方法，属于基础题．‎ ‎15．已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 由f（x）＞1，得＞1，化简整理得 ，解得 即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}． 由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}． 由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0， 故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．‎ 即答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎16．已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】利用ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎①数集中，，故数集不具有性质；‎ ‎②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质； ‎ ‎③若数列A具有性质P，则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3， 而2an不是该数列中的项，∴0是该数列中的项， ∴a1=0；故③正确；‎ ‎④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，ai+a5＞a5， 由A具有性质P，a5-ai∈A，又i=1时，a5-a1∈A， ∴a5-ai∈A，i=1，2，3，4，5 ∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0， 则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3， 从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，‎ 即答案为②③④.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，7，，，且，求集合B．‎ ‎【答案】1，4，‎ ‎【解析】由，得到或舍，从而得，分别代入集合A和B，利用集合中元素的互异性能求出集合B．‎ ‎【详解】‎ 集合，‎ ‎7，，，且，‎ 或舍，‎ 解得，‎ 当时，5，，不成立；‎ 当时，5，，7，1，，成立．‎ 集合1，4，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的求法，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎18．“,求证”除了用比较法证明外,还可以有如下证法: (当且仅当时等号成立), 学习以上解题过程,尝试解决下列问题:‎ ‎(1)证明:若，则,并指出等号成立的条件；‎ ‎(2)试将上述不等式推广到个正数的情形,并加以证明.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）根据题设例题证明过程，类比bca可得证明，‎ ‎（2）根据题设例题证明过程，类比bca可得证明 ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，当且仅当a＝b＝c时等号成立；‎ ‎（2）∵a2a3a1≥2a1+2a2+…+2an﹣1+2an，‎ ‎∴．当且仅当a1＝a2＝…＝an﹣1＝an时取等号 ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题 ‎19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：① 与和的乘积成正比；② 当时，；③，其中为常数，且.‎ ‎（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；‎ ‎（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）列出f（x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性． （2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，当 时，可得k=4，∴ ∴定义域为，t为常数，；‎ ‎（2）因为定义域中 ‎ 函数在上单调递减，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．‎ ‎20．对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．‎ ‎（）设函数，求集合和．‎ ‎（）求证：．‎ ‎（）设函数，且，求证：．‎ ‎【答案】（），；（）证明见解析；（证明见解析．‎ ‎【解析】（）由，解得，；由，解得，，；（）若，则成立；若，设为中任意一个元素，则有，可得，故，从而可得结果；（）①当时，的图象在轴的上方，可得对于，恒成立，则．②当时，的图象在轴的下方，可得对于任意，恒成立，则．‎ ‎【详解】‎ ‎（）由，‎ 得，‎ 解得，‎ 由，得，‎ 解得，‎ ‎∴，．‎ ‎（）若，‎ 则成立，‎ 若，‎ 设为中任意一个元素，‎ 则有，‎ ‎∴，‎ 故，‎ ‎∴．‎ ‎（）由，得方程无实数解，‎ ‎∴．‎ ‎①当时，的图象在轴的上方，‎ 所以任意，恒成立，‎ 即对于任意，恒成立，‎ 对于，则有成立，‎ ‎∴对于，恒成立，‎ 则．‎ ‎②当时，的图象在轴的下方，‎ 所以任意，恒成立，‎ 即对于，恒成立，‎ 对于实数，则有成立，‎ 所以对于任意，恒成立，‎ 则，‎ 综上知，对于，‎ 当时，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的性质以及二次函数的性质、意在考查转化与划归思想、数形结合思想的应用，考查了分类讨论思想，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.‎ ‎21．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.‎ ‎（1）若，试证明中还有另外两个元素；‎ ‎（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；‎ ‎（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.‎ ‎【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证； （2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断； （3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：若x∈A，则 ‎ 又∵2∈A， ∴ ∵-1∈A，∴ ∴A中另外两个元素为，；‎ ‎（2），，，且，，‎ ‎，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；‎ ‎（3）由，，可得 ‎ ‎，所有元素积为1，∴，‎ ‎、、，∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．‎