浙江省宁波市鄞州中学2020届高三数学高考冲刺试题(Word版附答案)

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浙江省宁波市鄞州中学2020届高三数学高考冲刺试题(Word版附答案)

2020 浙江高考数学冲刺卷 本试卷分第(Ⅰ)卷(选择题)和第(Ⅱ)卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分 钟 第(Ⅰ)卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.(原创)设全集 {1,2,3,4,5,6,7,8}U  ,集合 {2,3,4,6}A  ,集合 {1,4,7,8}B  ,则 ( )UA C B  ( ) A.{ 4} B.{ 2,3,6} C.{ 2,3,7} D.{ 2,3,4,7} 2.(原创)若双曲线的两条渐近线方程为 2 0x y  ,则双曲线的离心率是( ) A. 5 B. 2 C. 5 2 D. 5 或 5 2 3.(原创)实数 ,x y 满足 3 2 3 1 x y x y y         ,则 2x y 的取值范围是( ) A.[ 4,6] B.[ 4,3] C.[ 6,4] D.[ 6,3] 4.(原创)设 xR ,则“ 2 2 0x x  ”是“ 1 2x   ”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 5.(原创)冶铁技术在我国已有悠久的历史,据史料记载,我国最早的冶铁技术可以追溯到春秋晚 期,已知某铁块的三视图如图所示,若将该铁块浇铸成一个铁球,则铁球的半径是( ) A. 3 222 ( ) B. 3 22( ) C. 3 2  D. 3 1  x y o x y o x y o x y o A B C D 6.(原创)函数 1( ) ( )lnf x x xx   的图象大致为( ) 7.(原创)已知 a b c, , 成等差数列,随机变量 , 的分布列如下,则下列结论正确的是( )  0 1 2 P a b c A. ( ) ( )E E  B. ( ) ( )D D  C. ( ) ( )E E  D. ( ) ( )D D  8.(改编)已知函数 3 1 4 1 ( 0) ( ) ( 0) x x x f x x x       ,若关于 x 的方程 ( ) ( 3)f x a x  恰有 4 个不相 等的实数根,则实数 a 的取值范围是( )  0 1 2 P c b a 正视图 侧视图 俯视图 A.[1, 2) B.[0,1) C. 1[ , 2)3 D. 1[ ,1)3 9.(原创)如图,点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点,将 ABE 沿直线 AE 折起至 AEM ,点 M 在平面 AECD 上的投影为 O ,平面 AEM 与平面 AECD 所成锐二面角为  ,直线 MC 与平面 AECD 所成角为  ,若OB OC ,则下列说法正确的是( ) A. 2  B. 2  C. 2  D.无法确定 10.(改编)数列{ }na 满足 2 1 1 3 2 22 n n na a a a   , ,下列说法正确的是( ) A.存在正整数 k ,使得 3 4ka  B.存在正整数 k ,使得 3ka  C.对任意正整数 k ,都有1 2ka  D.数列{ }na 单调递增 第(Ⅱ)卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题 7 小题,多空题每题 6 分,单空每题 4 分,共 36 分,把答案填在题中的横线上. 11.(原创)复数 z 满足 ( 2) 2 1i z i   ,则 z  _____; z  _____ 12.(原创)点Q 是圆 2 2( 1) 1C x y  : 上的动点,点 P 满足 3OP OQ  (O 为坐标原点),则 点 P 的轨迹方程是_______________;若点 P 又在直线 ( 3 3)y k x  上,则 k 的最小值 是________ 13.(原创)已知在 1(2 )nx x x  的展开式中,只有第四项的二项式系数最大,则 n _____; 4x 项 的系数为______ 14.(原创)四边形 ABCD 内接于圆O ,其中 AB 为直径,若 7, 3BC CD DA   ,则 AB  _______; 四边形 ABCD 的面积是_______ 15 . ( 原 创 ) 函 数 ( ) log 1 ( 0,af x x a   且 1)a  , 若 1 2 3 4x x x x   , 且 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x   , 则 1 2 3 4 1 1 1 1 x x x x     _______ 16.(改编)过点 ( 1,0)P  的直线与抛物线 2y x 相交于 ,A B 两点, ( ,0)M t 为 x 轴上一点,若 ABM 为等边三角形,则 t  _______ 17.(原创) ABC 中, ,D E 依次为 BC 的三等分点,若 2AB AD AC AE      ,则 cos ADC 的 最小值是__ _ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本题 14 分)(原创)已知函数 ( ) cosf x x (1)已知 [0,2 )  ,函数 ( )f x  为奇函数,求 值; (2)求函数 sin ( )6y x f x    的值域. 19.(本题 15 分)(改编)如图,菱形 ABCD 与正 BCE 的边长均为 2 ,且平面 BCE  平面 ABCD , FD  平面 ABCD ,且 3FD  (1)求证: / /EF 平面 ABCD (2)若 60ABC   ,求二面角 A BF E  的余弦值. 20.(本题 15 分)(改编)正项数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,满足对每个 n N  , 11 2n n nS a , , 成等差数列,且 1 2 3 6a a a , , 成等比数列. (1)求 1a 的值;(2)求{ }na 的通项公式;(3)求证: 2 1 2 1 1 1 1 1(13 )10 3n na a a      21.(本题 15 分)(改编)椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1 2,F F ,点 P 在椭圆 上,直线 1 2,PF PF 与椭圆的另一个交点分别为 ,A B . (1)若 P 点坐标为 3(1, )2 ,且 1 2 4PF PF  ,求椭圆的方程; (2)设 1 1PF F A  , 2 2PF F B  ,求证:   为定值. 22.(本题 15 分)(改编)已知函数 ( ) lnf x x a x  (1)若曲线 ( )y f x 在点 2x  处的切线与直线 2y x 平行,求实数 a 的值; (2)若 ( ) a xf x x e   在 (1, ) 上恒成立,求 a 的最小值. P BA 2F y O1F x 数学试卷参考答案与解题提示 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 1.【答案】B 【考查目标】本题考查集合的交、补运算,属于基础题. 【试题解析】 {2,3,4,6}UC B , {2,3,6}UA C B ,故选择 B 2. 【答案】D 【考查目标】本题考查双曲线的几何性质,考查双曲线的渐近线、离心率的概念,考查考生基本运 算求解能力,属于基础题. 【试题解析】易得双曲线方程为 2 24 ( 0)x y     ,当 0  时离心率 5e ,当 0  时离心 率 5 2e  ,故选择 D 3. 【答案】A 【考查目标】本题考查简单的线性规划问题,考查考生的作图能力和直观想象能力,属于基础题. 【试题解析】作图即得平面区域,由几何意义截距可知 2 [ 6,3]z x y    4. 【答案】A 【考查目标】本题考查简易逻辑中的充分条件与必要条件,求解时要转化成集合间的关系进行判断, 考查考生等价转化思想,属于稍难题. 【试题解析】易得 2 2 0 0 2x x x     , 1 2 1 3x x     ,故选 A 5. 【答案】D 【考查目标】本题考查三视图和直观图的关系,考查考生空间想象能力, 四面体、球体的体积的计算和空间图形的识别能力,属于稍难题. 【试题解析】由三视图可得四面体 ABCD ,设球半径为 R ,则 3 31 1 4 12 2 23 2 3V R R         ,故选择 D 6. 【答案】C 【考查目标】本题考查函数的图像和性质,考查考生分析函数性质能力和图像识别能力,属于稍难 题. 【试题解析】 ( ) ( )f x f x  ,函数为奇函数,当 1x  时, ( ) 0f x  故选择 C 7. 【答案】B 【考查目标】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望及方差,考查考生运算求解能力,属于 稍难题. 【试题解析】 1, 2a b c b a c     , 1 2,3 3b a c    2 , 2E b c E b a     , 2 2 2( ) 4 ( 2 )D E E b c b c        , 2 2 2( ) 4 ( 2 )D E E b a b a        , 24( )(1 ) 03D D c a b       ,故选择 B 8. 【答案】D 【考查目标】本题考查函数与方程,考查考生用导数研究三次函数的图像和性质,导数的几何意义, 函数的零点等知识,考查考生用数形结合方法解决问题的能力,属于稍难题. 【试题解析】设 3 2( ) 4 1( 0), ( ) 3 4g x x x x g x x      ,则易得当 2 3(0, )3x 时, ( )g x 单调 递减,当 2 3( , )3x  时, ( )g x 单调递增,数形结合可知, 直线 ( 3)y a x  与 ( )f x 在 0x  处有一个交点,在 2 3( , )3  处有一个交点,故在 2 3(0, )3 处需 2 个交点,直线经过 0,1( )点时 1 3a  ,当直线与 3 4 +1y x x  相切于 (1, 4) 时 1a  ,故选择 D 9. 【答案】A 【考查目标】本题考查空间直线与平面的位置关系、直线与平面所成角,二面角等立体几何知,考 查考生空间想象能力和作图能力,属于难题. 【试题解析】易得当OB OC 时, MBO MCO     设 BO 交 AE 于 F ,则 AE MF , MFO   又由于 BF MF , MBF FMB      2 =  故选择 A 10. 【答案】C 【考查目标】本题考查数列的递推关系、数列的通项、数列的求和、数列与不等式的综合问题,考 查考生的逻辑思维能力,及分析问题、解决问题的能力,属于难题. 【试题解析】 2 2 1 2 2 ( 1) 1 1n n n na a a a        , 2 1 3 2 ( 2)( 1) 0n n n n n na a a a a a         , 11 2n na a    ,故选择 C 二、填空题:本大题 7 小题,多空题每题 6 分,单空每题 4 分,共 36 分. 11.【答案】 4 3 5 5 i ;1 【考查目标】本题考查复数的四则运算,考查考生基本运算求解能力,属于基础题. 【试题解析】 2 1 4 3( 2) 2 1 , 12 5 5 ii z i z i zi         12.【答案】 2 2( 3) 9C x y  : ; 3 【考查目标】本题考查直线与圆的位置关系,动点轨迹方程的求法,直线的倾斜角与斜率,考查考 生用数形结合方法解决问题的能力,属于基础题. 【试题解析】设 0 0( , ), ( , )P x y Q x y ,则 0 0 0 3 3 xx yy     代入方程 2 2 0 0( 1) 1x y   得 2 2( 3) 9x y   ; 数形结合,直线与圆相切时k取得最小值 3 13.【答案】6; 240 【考查目标】本题考查二项式定理展开式的通项,考查基本运算求解能力,属于基础题. 【试题解析】由二项式系数的对称性质得 6n  ,由通项公式 3 6 12 1 6 (2 ) ( )r r r rT C x x     18 5 6 2 6 2 ( 1) r r r rC x    令18 5 4 22 r r    ,故得含 4x 的项系数为 2 4 6 2 240C  14.【答案】9;16 2 【考查目标】本题考查三角形中的边角关系、三角形面积公式、倍角公式的应用,考查考生三角恒 等变形能力、图形识别能力、方程思想,属于稍难题. 【试题解析】连接 BD 得 23 9 49 ( 9)cos cos 0 0 92 3 6 xDAB BCD xx             由面积公式的面积为16 2 15.【答案】2 【考查目标】本题考查对数的运算法则、对数函数的图像和性质,考查考生观察能力、运算求解能 力、画图能力,属于稍难题. 【 试 题 解 析 】 根 据 函 数 图 象 性 质 得 函 数 的 图 象 关 于 直 线 1x  对 称 , 则 易 得 1 4 2 3 1 2 3 42, 2, 4x x x x x x x x         又 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) log ( 1) log ( 1) ( 1)( 1) 1 1a af x f x x x x x x x              同理可得 3 4 1 1 1x x   ,则 1 2 3 4 1 1 1 1 2x x x x     16.【答案】 5 3 【考查目标】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查考生运算求解能力,属于稍难题 【试题解析】由题意可知,直线 AB 的斜率存在且不为 0, 故设直线方程为: ( 1), 0y k x k   代入抛物线方程得 2 2 2 2(2 1) 0k x k x k    ① 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y , 21 4 0k    ② 2 1 2 1 22 1 2 , 1kx x x xk    ,则 AB 中点坐标为 2 2 1 2 1( , )2 k k k  AB 中垂线方程为 2 2 1 1 1 2( )2 ky xk k k     ,令 0y  得 2 1 1 2 2t k   ,则 2 1 1( ,0)2 2M k  ABE 为正三角形, M 到 AB 直线的距离 3 2d AB , 2 2 2 2 1 2 2 1 3 3 1 4 391 12 2 2 13 k kk x x k kk k           代入②满足,则 5 3t  17.【答案】 4 7 【考查目标】本题考查向量的运算、平面向量的基本定理,考查考生综合运用向量、三角、不等式 等知识解决问题的能力,属于难题. 【试题解析】     1 22 1 2 2 AD AB AE AB AD AE AE AE ADAE AD AC                        ,设 , ,AD x AE y DE m   2 2 2 22 2 4 2 4 2AB AD AC AE x AD AE y AD AE AD AE y x                     2 2 2 2 2 2 2 25 14 22 7 7 x y m y x y x m       2 2 2 2 2 2 8 47 7cos 2 2 7 x mx m yADC mx mx       三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分. 18. 【答案】(1) 2  或 3 2  ;(2) 3 1[ , ]4 4  【考查目标】本题考查三角函数的图像和性质、函数的奇偶性,考查考生三角函数的恒等变形能力, 属于基础题. 【试题解析】 (1) ( )f x  奇 ( ) ( ) 0f x f x       恒成立——————2 分 cos( ) cos( ) 0 2 cos cos 0x x x          恒成立————4 分 cos 0  ,又 [0,2 )  ,所以 2   或 3 2  .————————6 分 (2) 3 1sin ( ) sin cos( ) sin ( cos sin )6 6 2 2y x f x x x x x x        ——8 分 23 1 3 1sin cos sin sin2 (1 cos2 )2 2 4 4x x x x x     ——————10 分 1 1 1 1( 3 sin 2 cos 2 ) sin(2 )4 4 2 6 4x x x       ————————12 分 因为 1 sin(2 ) 16x     ,所以 3 1 4 4y   , 所以函数 sin ( )6y x f x    的值域是 3 1[ , ]4 4  .————————14 分 19. 【答案】(1)见解析;(2) 7 8  【考查目标】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理、用向量工具求二面 角的方法,考查考生空间想象能力和运算求解能力,属于基础题. 【试题解析】 (1)如图,作 EH BC 于 H ,连 DH ,————1 分  平面 BCE 平面 ABCD , EH 平面 ABCD , 且 3EH  ————3 分 又 FD平面 ABCD ,且 3FD ,  / /EH FD ,且 EH FD ,四边形 EFDH 是平行四边形, / /EF HD ————5 分, / / / / EF ABCD HD ABCD EF ABCD EF HD      平面 平面 平面 ——————7 分 (2) 60 ABCD ABC AH BC H BC        菱形 是 中点 ,——————8 分 以 H 为原点, , ,HB HA HE 所在直线为 , ,x y z轴建立空 间直角坐标系,如图所示.————9 分 则 (0, 3,0), (1,0,0), (0, 3, 3), (2, 3, 3)A B E F 有 ( 1, 3,0), ( 1,0, 3), ( 3, 3, 3)BA BE BF        ————10 分 设平面 ABF 的一个法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z , 由 1 1 1 1 1 1 1 0 3 3 3 0 0 3 0 n BA x y z n BF x y                    ,令 1 1y  ,取 1 ( 3,1,2)n  ,————11 分 设平面 BEF 的一个法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z , 由 2 2 2 2 2 2 2 0 3 3 3 0 0 3 0 n BE x y z n BF x z                    ,令 2 1z  ,取 2 ( 3,2,1)n  ,————12 分 则 1 2 1 2 1 2 7cos 8 n nn n n n         , ,——————14 分 由题意知二面角 A BF E  是钝二面角,故二面角 A BF E  的余弦值是 7 8  .——15 分 20.【答案】(1) 1 1a  ;(2) 3 2n n na   ;(3)见解析 【考查目标】本题考查等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式,递推数列求通项的方法, 考查考生运用所学的数学方法:数学归纳法,比较法、放缩法解决问题的能力,属于稍难题. 【试题解析】 (1) 1 2 2 2 3 2 2 1 3 2( 2) 1 2( 2 ) 1 ( 6) S a S a a a a            1 2 1 2 3 2 2 1 3 2( 2) 1 2( 4) 1 ( 6) a a a a a a a a             ————————2 分 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2 2 1 3 2 3 6 13 (2 3) (6 19) 2 7 9 0 ( 6) a a a a a a a a a a a a                  ————3 分 因为 1 0a  ,所以 1 1a  ————4 分 (2) 1 1 12( 2 ) 1 2 2 1n n n n n nS a S a          当 2n  时, 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 2 2 2 1 n n n n n n n n n nn n n S a a a a a a S a                    ————6 分 又 1 2 2 11, 5 3 2a a a a     符合上式,所以 1 3 2n n nn N a a    , ————7 分 1 1 3 1 2 2 2 2 n n n n a a      1 1 31 ( 1) { 1}2 2 2 2 n n n n n n a a a       是首项为 3 2 ,公比为 3 2 的等比数列 31 ( ) 3 22 2 n n nn nn a a      ————10 分 (3)因为,当 2n  时, 2 2 25 5(3 2 ) 3 4 3 2 4(3 2 ) 0 3 2 39 9 n n n n n n n n n n               1 9 1 3 2 5 3n n n   ————13 分 易知 1n  时,原不等式成立;当 2n  时: 1 2 3 2 1 2 111 1 1 5 1 1 1 9 1 1 131 ( ) 1 (13 )19 3 3 3 5 9 10 31 3 n n n na a a                     综上,原不等式 n N   成立————15 分 21. 【答案】(1) 2 2 14 3 x y  ;(2) 2 2 12 1 e e   【考查目标】本题考查椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生函数与方程 思想、数形结合思想,逻辑推理能力和运算求解能力. 【试题解析】 (1) 2 2 2 4 2, 31 9 14 a a b a b       ,所以椭圆方程为 2 2 14 3 x y  ——————4 分 (2)法一:坐标法 设 0 0 1 1 2 2( , ) ( , ) ( , )P x y A x y B x y, , , 当 0 0y  时, 2 2 2 2 2 2 2( ) 2(1 ) 1 a c a c a c e a c a c a c e              ——————5 分 当 0 0y  时, PA x my c : , PB x ny c : ,——————7 分 其中: 0 0 0 0 x c x cm ny y   , ,从而 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 02 0 2( ) ( ) 2( )x cm n y m n x cy       ————9 分 由 4 2 2 2 2 2 4 0 1 2 2 22 2 2 2 2 2 ( ) 2 0x my c ba b m y b mcy b y y a b mb x a y a b             —————— 11 分 同理 4 0 2 2 2 2 by y a b n    ,从而 2 2 2 2 4 0 1 0 2 1 1 2 ( )a b m n y y y y b     ——————13 分 2 2 2 2 2 22 2 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 4 4 1 2 0 1 0 2 2 ( )1 1 2 ( )( ) [ ]y y a y b y m na b m ny yy y y y y y b b             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4 4 4 2 2 2 ( ) 2( ) 2 2 2 2a y b x c b x a y b c a b b c a c b b b b           2 2 2 2 2 2 2(1 )2 1 a c e a c e      ——————15 分 法二:三角法 不妨设点 P 在 x轴上方,由余弦定理易得: 2 2 1 1 cos 1 cos b bPF a c a e     , 2 1 1 1 cos bFA a e    2 2 2 1 cos 1 cos b bPF a c a e     , 2 2 1 1 cos bF A a e    ——————8 分 所以 1 1 1 cos 2 11 cos 1 cos PF e F A e e         , 2 2 1 cos 2 11 cos 1 cos PF e F A e e         ——————10 分 又 2 2 1 2 1 12 21 cos 1 cos b bPF PF a aa e a e         2 2 1 1 2 1 cos 1 cos a e e b     ————13 分 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2(2 ) 2( ) 2(1 )2 21 cos 1 cos 1 a a b a c e e e b b a c e                   ————15 分 22. 【答案】(1) 3a  ;(2) e 【考查目标】本题考查利用导数的几何意义求切线方程、讨论函数的单调性、证明不等式,考查考 生函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想的综合运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力, 证明不等式的关键是先将问题进行等价转化,再构造函数利用导数研究新函数的性质. 【试题解析】 (1) ( ) 1 af x x    ————2 分, 由题意知 (2) 1 2 32 af a      ————4 分 (2) ( ) ln ln ln lna x a x x a x x a af x x e x a x x e e x x a x e e x x                  — — ——7 分 设 ( ) lng t t t  ,则原不等式 ( ) ( )x ag e g x  ——————9 分 由 1 1( ) 1 tg t t t     ,易知 0 1t  时, ( ) 0g t  , 1t  时, ( ) 0g t  , 所以 ( ) lng t t t  在 (0,1) 上单调减,在 (1, ) 上单调增——————11 分 因为是求a的最小值,故设 0a  ,又 1x  ,所以 , (0,1)x ae x  ————12 分 所以 1 ln( ) ( )x a x a xg e g x e x a x        ,原不等式恒成立 max 1 ln( )x a x    ————13 分 设 ln( ) ( 1)xh x xx   ,则 2 1 ln( ) xh x x   ,易知1 x e  时, ( ) 0h x  , x e 时, ( ) 0h x  , 所以 ln( ) xh x x  在(1, )e 上单调增,在 ( , )e  上单调减 max 1( ) ( )h x h e e    ———14 分 所以 min 1 1 a e a ea e         ——————15 分
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