福建省三明市三地三校2019-2020学年高二上学期联考协作卷数学试题

福建省三明市三地三校2019-2020学年高二上学期联考协作卷数学试题

‎2019-2020学年第一学期三明市三地三校联考期中考试 高二数学 ‎（满分：150 分，完卷时间120分钟）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，把正确结果写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎1.已知a,b,c都是实数,则在命题“若a>b,则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是(　　)‎ A. 4 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】原命题是一个假命题,因为当c=0时,不等式的两边同乘上0得到的是一个等式，所以逆否命题也为假命题;原命题的逆命题是一个真命题,因为当ac2>bc2时,一定有c2≠0,所以必有c2>0,不等式两边同除一个正数,不等号方向不变,即若ac2>bc2,则a>b成立.所以否命题是也真命题,四个命题中有2个真命题.故选B.‎ ‎2.已知且， ，则是的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.‎ ‎【详解】当“且”时，“”；当“”时，不能得到“且”.故是的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎3.设命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.‎ ‎4.在平面直角坐标系中，已知动点到两定点的距离之和是10，则点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义判断出点的轨迹为椭圆，并由此求得椭圆方程.‎ ‎【详解】由于动点到两定点的距离之和为，故点的轨迹为椭圆，所以，所以，所以点的轨迹方程为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据椭圆的定义求椭圆方程，属于基础题.‎ ‎5.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的几何性质，求得其焦点坐标.‎ ‎【详解】依题意抛物线开口向上，且，所以抛物线的焦点坐标是.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，属于基础题.‎ ‎6.若椭圆与双曲线有公共焦点，则m取值为（ ）‎ A. －2 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线方程判断，由此判断交点在轴上，根据双曲线和椭圆的焦点相同列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】由双曲线可知，椭圆和双曲线的焦点在轴上，.依题意椭圆与双曲线有公共焦点，所以，即，由于，故上式解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的焦点，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎7.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线离心率求得，进而求得，从而求得双曲线渐近线方程.‎ ‎【详解】依题意，即，解得，故双曲线的渐近线方程为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据双曲线离心率求双曲线渐近线方程，属于基础题.‎ ‎8.已知向量，则等于（ ）‎ A. 1 B. C. 3 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的坐标，然后根据空间向量模的运算，求得.‎ ‎【详解】依题意，故.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间向量减法的坐标运算，考查空间向量模的坐标表示，属于基础题.‎ ‎9.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在使得，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】不妨设.‎ 对于A选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故A选项错误.‎ 对于B选项，，由于竖坐标，故不在平面上，故B选项错误.‎ 对于C选项，，由于的竖坐标，故不在平面上，故C选项错误.‎ 对于D选项，，由于的竖坐标为，故在平面上，也即四点共面.下面证明结论一定成立：‎ 由，得，‎ 即，故存在，使得成立，也即四点共面.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10.如图，空间四边形OABC中，，点M是OA的中点，点N在BC上，且，设，则x，y，z的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将表示为以为基底的向量，由此求得的值.‎ ‎【详解】依题意 ‎，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.‎ ‎11.已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像，根据直线过定点，且与双曲线右支交于两点，得到，由此得出正确选项.用判别式求得的取值范围.‎ ‎【详解】双曲线渐近线为，直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则，结合选项可知只有D选项符合.由消去得，化简得，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，解得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据直线和双曲线右支交点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎12.已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若|MD|=，则抛物线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像，根据直线的斜率，证得三角形是等边三角形，根据中位线证得是中点，结合求得的坐标，进而求得的值，从而求得抛物线方程.‎ ‎【详解】画出图像如下图所示，由于直线的斜率为，故，由于，故，根据抛物线的定义得，故三角形是等边三角形.由于是的中点，，所以是中点，而，根据等边三角形的性质可知，在直角三角形中，，所以，解得，故抛物线方程为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义，直线和抛物线的位置关系，考查等边三角形的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确结果写在答题卡相应的位置上．）‎ ‎13.椭圆的焦点在x轴上，焦距为8，则该椭圆的离心率为_______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦距求得，由此求得的值，进而求得椭圆离心率.‎ ‎【详解】由于椭圆焦距，椭圆焦点在上，故，所以椭圆离心率.‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，属于基础题.‎ ‎14.已知命题p：；命题q：．若命题p∨q为真命题，﹁p为真命题，则实数m的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“p∨q为真命题，﹁p为真命题”判断出假真，写出﹁p并根据﹁p为真命题求得的取值范围.根据为真命题求得的取值范围，由此求得满足“p∨q为真命题，﹁p为真命题”时的取值范围.‎ ‎【详解】由于“p∨q为真命题，﹁p为真命题”，故“假真”.而为真命题，故，解得.对于命题，由于为真命题，故，解得.综上所述，的取值范围是.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据含有逻辑连接词命题的真假性求参数的取值范围，考查一元二次方程没有实数根、一元二次不等式恒成立问题的求解，属于基础题.‎ ‎15.已知椭圆的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，点P是椭圆上的一点，若PF1 ⊥PF2 ，则△F1PF2的面积是___________．‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用勾股定理和椭圆的定义列方程，由化简的结果求得三角形的面积.‎ ‎【详解】根据椭圆方程可知，设，依题意有，所以，所以三角形 的面积为.‎ 故答案为 ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，考查椭圆焦点三角形的面积的求法，属于基础题.‎ ‎16.设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围是________．‎ ‎【答案】(，1)‎ ‎【解析】‎ 本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力．‎ 以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，则＝(1,1，－1)，得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于·<0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得<λ<1，因此λ的取值范围是(，1)．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.已知，，若是 的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式分别求得、中的取值范围，根据是的充分不必要条件可知对应的的取值范围是对应的的取值范围的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】解不等式 得或.‎ ‎∴ 或， ‎ 解不等式 ( x－a－1 ) ( x－a＋1 ) > 0，得x﹤a－1或x > a+1.‎ ‎∴ q：B={ x | x﹤a－1或x > a+1 } ‎ ‎∵ p是q的充分不必要条件，‎ ‎∴ p⇒q但推不出，所以，‎ ‎∴ 或 ， ‎ 解得 或 ，于是 .‎ 所以，实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据充分不必要条件求参数，属于基础题.‎ ‎18.已知空间三点．‎ ‎（1）求向量与的夹角；‎ ‎（2）若，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）60°.‎ ‎（2）3或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出，根据向量夹角的公式求得 夹角的余弦值，由此求得这两个向量的夹角.‎ ‎（2）先求得的坐标，根据两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】（1）由已知得：＝（0，3，3），＝（－1，1，0），‎ ‎，‎ 所以，向量与的夹角为60°． ‎ ‎（2）， ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴ k×(－k)＋(3－k)×(3＋k)＋3×3＝0，‎ 解得 k＝3或k＝－3 ．‎ ‎∴ 实数k的值是3或－3．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用平面向量的坐标运算求得向量夹角，考查两个向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，M，N分别为A1B，AC的中点．‎ ‎（1）证明：MN//B1C；‎ ‎（2）求A1B与平面A1B1CD所成角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）与平面所成角为．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过坐标运算求得，由此证得.‎ ‎（2）利用直线的方向向量和平面的法向量，求得线面角的正弦值，由此求得线面角的大小.‎ ‎【详解】（1）如图，以点D为坐标原点，DA为x轴， DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系．‎ 则，，， ，，．‎ ‎∴ ， ．‎ ‎∴ ，∴ ，‎ 即 ．‎ ‎（2）易得，， ∴ ，．‎ 设平面ADE的一个法向量为，‎ 则 即 令，则，所以． ‎ 设A1B与平面A1 B1CD所成角为θ ，‎ 则． ‎ ‎∴ A1B与平面A1 B1CD所成角为30°．‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用空间向量法证明两条直线垂直，考查利用空间向量法求线面角的大小，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎20.如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．‎ ‎（1）证明：DO⊥底面ABC；‎ ‎（2）求二面角D-AE-C的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等腰三角形的性质得到，在根据面面垂直的性质定理，证得平面.‎ ‎（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：∵ AD＝CD＝，O是AC中点，‎ ‎∴ DO⊥AC．‎ ‎∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，‎ ‎∴ DO⊥底面ABC．‎ ‎（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．‎ OA＝OC＝OD＝2， OB＝‎ 如图，以点O为坐标原点，OA为x轴， OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．‎ 则，，，‎ ‎，，‎ ‎，，．‎ 设平面ADE的一个法向量为，‎ 则 即 令，则，所以． ‎ 同理可得平面AEC的一个法向量．‎ ‎．‎ 因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为．‎ ‎【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎21.已知抛物线的经过点．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用点坐标，求得的值，进而求得抛物线方程.‎ ‎（2）由（1）求得点的坐标.当与轴垂直时，求得；当直线与轴不垂直时，设出直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，根据抛物线的弦长公式列方程，解方程求得直线的斜率，从而求得直线的方程.‎ ‎【详解】（1）把点带入方程得，‎ 所以，抛物线方程为． ‎ ‎（2）抛物线方程得焦点坐标为F（1，0 ），‎ 若直线l与x轴垂直，易得A（1，2 ），B（1，－2 ），此时|AB|≠8．‎ 若直线l不与x轴垂直，设直线l的斜率为k，‎ 则直线l的方程为．‎ 由消y整理得：，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，解得，即． ‎ ‎∴直线的方程为或，即或．‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查根据直线和抛物线相交所得弦长求得参数，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎22.已知椭圆C: 的右焦点为，离心率．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点M ，使得恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）x轴上存在点，使得恒成立，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据焦点坐标、离心率结合列式，求得的值，从而求得椭圆的标准方程.‎ ‎（2）假设轴上存在，使.当直线斜率为时，求得两点的坐标，利用列方程，解方程求得的值.当直线斜率不存在时，求得两点的坐标，利用列方程，解方程求得的值.由此判断，由此求得点坐标，再证当直线斜率存在时，即可.当直线斜率存在时，设出直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，计算得，由此求得符合题意的点的坐标.‎ ‎【详解】（1）∵ ，， ∴，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ 椭圆方程为． ‎ ‎（2）假设x轴上存在点M(m,0),使得,‎ ‎①当直线l的斜率为0时, ,,‎ 则, 解得 ． ‎ ‎②当直线l的斜率不存在时, ,,‎ 则, ‎ 解得 ,． ‎ 由①②可得．‎ 下面证明时 恒成立.‎ 直线l斜率存在时,设直线方程为.‎ 由 消y整理得: ,‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎.‎ 综上,轴上存在点，使得恒成立.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆相交交点坐标的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎