高中数学选修2-2课时练习第一章 章末检测

高中数学选修2-2课时练习第一章 章末检测

章末检测 一、选择题 ‎1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．特殊推理 答案　A ‎2．在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为(　　)‎ A．三角形的中位线平行于第三边 B．三角形的中位线等于第三边的一半 C．EF为中位线 D．EF∥BC 答案　A 解析　这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.‎ ‎3．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：‎ ‎22＝1＋3‎ ‎32＝1＋3＋5‎ ‎42＝1＋3＋5＋7‎ ‎23＝3＋5‎ ‎33＝7＋9＋11‎ ‎43＝13＋15＋17＋19‎ 根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n＝(　　)‎ A．10 B．‎11 C．12 D．13‎ 答案　B 解析　∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝×6＝36，‎ ‎∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，‎ ‎43＝13＋15＋17＋19，‎ ‎∴53＝21＋23＋25＋27＋29，‎ ‎∵n3的分解中最小的数是21，‎ ‎∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.‎ ‎4．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设是有理数 B．假设是有理数 C．假设或是有理数 D．假设＋是有理数 答案　D 解析　应对结论进行否定，则＋不是无理数，即＋是有理数．‎ ‎5．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N＋)，猜想f(x)的表达式为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　当x＝1时，f(2)＝＝＝，‎ 当x＝2时，f(3)＝＝＝；‎ 当x＝3时，f(4)＝＝＝，‎ 故可猜想f(x)＝，故选B.‎ ‎6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：‎ ‎①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；‎ ‎②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；‎ ‎③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．‎ 其中判断正确的个数为(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案　B 解析　若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②‎ 不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．‎ ‎7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有(　　)‎ ‎①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 答案　C 解析　类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．‎ ‎8．数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于(　　)‎ A. B．－‎1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　∵a1＝，an＋1＝1－，‎ ‎∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，‎ a5＝1－＝－1，a6＝1－＝2，‎ ‎∴an＋3k＝an(n∈N＋，k∈N＋)‎ ‎∴a2 013＝a3＋3×670＝a3＝2.‎ ‎9．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x 1)＋f(x2)的值(　　)‎ A．恒小于0 B．恒大于0‎ C．可能等于0 D．可正也可负 答案　A 解析　不妨设x1－2<0，x2－2>0，‎ 则x1<2，x2>2，∴2－f(4－x1)，‎ 从而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)，‎ f(x1)＋f(x2)<0.‎ ‎10．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是(　　)‎ A．4n＋2 B．4n－‎2 C．2n＋4 D．3n＋3‎ 答案　A 解　法一　(归纳猜想法)‎ 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，‎ 因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．‎ 故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n＋2‎ 法二　(特殊值代入排除法)‎ 或由图可知，当n＝1时，a1＝6，可排除B答案 当n＝2时，a2＝10，可排除C、D答案．‎ 二、填空题 ‎11．(2013·陕西)观察下列等式： ‎ ‎(1＋1)＝2×1‎ ‎(2＋1)(2＋2)＝22×1×3‎ ‎(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5‎ 按此规律，第n个等式可为________．‎ 答案　(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5…(2n－1)‎ ‎12．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，经计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．‎ 答案　f(2n)>(n≥2)‎ 解析　观测f(n)中n的规律为2k(k＝1,2，…)‎ 不等式右侧分别为，k＝1,2，…，‎ ‎∴f(2n)>(n≥2)．‎ ‎13．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＝时，由n＝k到n＝k＋1左边需要添加的项是________．‎ 答案　 解析　由n＝k到n＝k＋1时，左边需要添加的项是＝.‎ ‎14．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．‎ 答案　＝ 解析　CE平分∠ACB，而面CDE平分二面角A－CD－B.∴可类比成，故结论为＝.‎ 三、解答题 ‎15．已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．‎ 证明　反证法：‎ 假设三个方程中都没有两个相异实根，‎ 则Δ1＝4b2－‎4ac≤0，Δ2＝‎4c2－4ab≤0，Δ3＝‎4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－‎2ac＋a2≤0，‎ ‎(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0.①‎ 由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．‎ ‎∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．‎ ‎16．设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．‎ 证明　当a＋b≤0时，∵≥0，‎ ‎∴≥(a＋b)成立．‎ 当a＋b>0时，用分析法证明如下：‎ 要证≥(a＋b)，‎ 只需证2≥2，‎ 即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，‎ 即证a2＋b2≥2ab.‎ ‎∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，‎ ‎∴≥(a＋b)成立．‎ 综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．‎ ‎17．请你把不等式“若a1，a2是正实数，则有＋≥a1＋a‎2”‎推广到一般情形，并证明你的结论．‎ 解　推广的结论：‎ 若a1，a2，…，an都是正实数，则有 ＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.‎ 证明：∵a1，a2，…an都是正实数，‎ ‎∴＋a2≥‎2a1；＋a3≥‎2a2；…‎ ＋an≥2an－1；＋a1≥2an，‎ ＋＋…＋＋≥a1＋a2＋…＋an.‎ ‎18．设f(n)＝1＋＋＋…＋，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)＋f ‎(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)·[f(n)－1]对于n≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．‎ 解　当n＝2时，由f(1)＝g(2)·[f(2)－1]，‎ 得g(2)＝＝＝2，‎ 当n＝3时，由f(1)＋f(2)＝g(3)·[f(3)－1]，‎ 得g(3)＝＝＝3，‎ 猜想g(n)＝n(n≥2)．‎ 下面用数学归纳法证明：当n≥2时，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1]恒成立．‎ ‎①当n＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n＝k(k∈N＋且k≥2)时，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)成立，‎ 那么当n＝k＋1时，‎ f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ‎＝(k＋1)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，‎ ‎∴当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 由①②知，对一切n≥2的自然数n，等式都成立，故存在函数g(n)＝n，使等式成立．‎