云南省陆良县联办高级中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（文）试题

云南省陆良县联办高级中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（文）试题

陆良联中2021届高二下4月月考试卷（文数）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．根据中国生态环境部公布的2017年2018年长江流域水质情况监测数据，得到如下饼图 则下列说法错误的是（ ）‎ A．2018年的水质情况好于2017年的水质情况 B．2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质 C．2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加 D．2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过 ‎4.已知，，，则的大小关系为 ‎ ‎ ‎5．圆与圆的公共弦长为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出K的值是（　　）‎ ‎ A．5 ‎ B．6 ‎ C．7 ‎ D．8‎ ‎7．王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁，他们都特别擅长短跑，在某次运动会上，他们四人要组成一个米接力队，王老师要安排他们四个人的出场顺序，以下是他们四人的对话：‎ 甲：我不跑第一棒和第二棒； 乙：我不跑第一棒和第四棒；‎ 丙：我也不跑第一棒和第四棒； 丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒；‎ 王老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求， 据此我们可以断定，在王老师安排的出场顺序中，跑第三棒的人是（ ）‎ A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁 8. 下列说法错误的是（　　）‎ ‎ A．命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题是“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”‎ ‎ B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件 ‎ C．命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则綈p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”‎ ‎ D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题 ‎9．已知等比数列的公比为正数，且，则公比（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎10．函数的图像大致是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点 到焦点的距离为4，则的值为（ ）‎ A．4 B．－2 C．4或－4 D．12或－2‎ ‎12．过双曲线的右焦点作双曲线的一条弦AB，且=0，若以为直径的圆经过双曲线的左顶点，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ 二、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量若，则与的夹角是 .‎ ‎14.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是　　．‎ ‎15.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：‎ x ‎2 ‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ 根据左表可得回归方程，其中=7，据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为　　万元；‎ 16． 如图，公路和在处交汇，且∠＝30°，在处有一所中学，＝160m，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路上沿方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为5m/s，那么学校受影响的时间为________s.‎ 三、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（共10分） ‎ （1） ‎ 已知函数，解关于的不等式；‎ （1） 已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎18.（12分）已知等差数列的前项的和为，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设，记数列的前项和为，求 ‎19．（12分）已知是的内角，分别是角的对边.若,‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，为的中点，求.‎ ‎20．（12分）某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；‎ ‎（Ⅱ）写出该组数据的中位数（只写结果）．‎ ‎（Ⅲ）从当天步数在[11，13），[13，15），[15，17）的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；‎ 21． ‎（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，‎ ‎∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．‎ ‎（1）求证：DE∥平面PBC；‎ ‎（2）求证：AB⊥PE；‎ ‎（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．‎ ‎22.(12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，.椭圆的长轴与焦距之比为，过的直线与交于、两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）当的斜率为时，求的面积；‎ ‎（3）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.‎ 陆良联中2021届高二下4月月考（文数答案）‎ 一、 选择题 D C B D C B C D C A C A 二、填空题 13、 14、 ‎ ‎15、 85 16、 24‎ 三、 解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（共10分）‎ ‎（1）已知函数，解关于的不等式；‎ 解：（1）‎ ‎（2）已知关于的不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；‎ 解：（2）由已知得，解得 ‎18.（12分）已知等差数列的前项的和为，.‎ ‎(1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求 ‎【答案】（1）； （2）； ‎ ‎【解析】（1）由题意得，∴．‎ 设等差数列的公差为，则，‎ ‎∴，∴．‎ （2） 由（1）得，‎ ‎∴．‎ ‎19．（12分）已知是的内角，分别是角的对边.若 ‎,‎ ‎（1）求角的大小； （2）若，的面积为，为的中点，求.‎ ‎【解析】（1）因为 由正弦定理，得，即,‎ 所以,又，则 ‎（2）因为，所以.所以为等腰三角形，且顶角.‎ 因为,所以.在中，，，，‎ 所以 ,解得 .‎ ‎20．（12分）某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；‎ ‎（Ⅱ）写出该组数据的中位数（只写结果）．‎ ‎（Ⅲ）从当天步数在[11，13），[13，15），[15，17）的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；‎ ‎【解答】：（Ⅰ）这1000名会员中健步走的步数在[3，5）内的人数为0.02×2×1000=40；‎ 健步走的步数在[5，7）内的人数为0.03×2×1000=60；‎ 健步走的步数在[7，9）内的人数为0.05×2×1000=100；‎ 健步走的步数在[9，11）内的人数为0.05×2×1000=100；40+60+100+100=300．‎ 所以这1000名会员中健步走的步数少于11千步的人数为300人． ‎ ‎（Ⅱ）中位数为 ‎（Ⅲ）按分层抽样的方法，在[11，13）内应抽取3人，记为a1，a2，a3，每人的积分是90分；‎ 在[13，15）内应抽取2人，记为b1，b2，每人的积分是110分；‎ 在[15，17）内应抽取1人，记为c，每人的积分是130分； ‎ 从6人中随机抽取2人，有：‎ a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a1c，a2a3，a2b1，a2b2，a2c，a3b1，a3b2，a3c，b1b2，b1c，b2c共15种方法． ‎ 所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的有：‎ a1b1，a1b2，a1c，a2b1，a2b2，a2c，a3b1，a3b2，a3c，b1b2，b1c，b2c共12种方法． ‎ 设从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分为事件A，则． ‎ 所以从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于200分的概率为． ‎ ‎21.如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．‎ ‎（1）求证：DE∥平面PBC； （2）求证：AB⊥PE； ‎ ‎（3）求三棱锥P﹣BEC的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，‎ ‎∴DE∥BC，‎ 又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ ‎∴DE∥平面PBC．‎ ‎（2）连接PD，‎ ‎∵DE∥BC，又∠ABC=90°，‎ ‎∴DE⊥AB，‎ 又PA=PB，D为AB中点，‎ ‎∴PD⊥AB，‎ 又PD∩DE=D，PD⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，‎ ‎∴AB⊥平面PDE，又PE⊂平面PDE，‎ ‎∴AB⊥PE．‎ ‎（3）∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，PD⊥AB，PD⊂平面PAB，‎ ‎∴PD⊥平面ABC，‎ ‎∵△PAB是边长为2的等边三角形，∴PD=，‎ ‎∵E是AC的中点，‎ ‎∴．‎ ‎22.(12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，.椭圆的长轴与焦距比为，过的直线与交于、两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程； （2）当的斜率为时，求的面积；‎ ‎（3）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.‎ ‎【解析】（1）依题意，因，又，得，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设、，当时，直线：,将直线与椭圆方程联立，消去得，，解得，，，‎ 所以 .‎ ‎（3）设直线的斜率为，由题意可知，由，消去得，恒成立，，‎ 设线段的中点，设线段的中点，则，‎ 设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.‎ ‎，整理得：， ，等号成立时.故当截距最小为时，，此时直线的方程为.‎