2018届二轮复习 　平面向量 学案（全国通用）

2018届二轮复习 　平面向量 学案（全国通用）

专题四　平面向量 ‎———————命题观察·高考定位———————‎ ‎(对应 生用书第12页)‎ ‎1．(2017·江苏高考)如图4－1，在同一个平面内，向量，，的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tan α＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.‎ 图4－1‎ ‎3　[法一　因为tan α＝7，所以cos α＝，sin α＝.‎ 过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D，则＝＋，∠OCD＝45°.‎ 又因为＝m＋n，‎ 所以＝m，＝n，‎ 所以||＝m，||＝n.‎ 在△COD中，由正弦定理得＝＝，‎ 因为sin ∠ODC＝sin (180°－α－∠OCD)‎ ‎＝sin (α＋∠OCD)＝，‎ 即＝＝，‎ 所以n＝，m＝，所以m＋n＝3.‎ 法二　由tan α＝7可得cos α＝，sin α＝，‎ 则＝＝，‎ 由cos∠BOC＝可得＝＝，‎ cos ∠AOB＝cos (α＋45°)＝cos αcos 45°－sin αsin 45°‎ ‎＝×－×＝－，‎ 则·＝－，则m－n＝，－m＋n＝1，‎ 则m＋n＝，则m＋n＝3.]‎ ‎2．(2016·江苏高考)如图4－2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．‎ 图4－2‎ 　[由题意，得·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋)·(－＋)＝2－2‎ ‎＝||2－||2＝－1，①‎ ·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋3)·(－＋3)‎ ‎＝92－2‎ ‎＝9||2－||2＝4.②‎ 由①②得||2＝，||2＝.‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋2)·(－＋2)＝42－2‎ ‎＝4||2－||2＝4×－＝.]‎ ‎3．(2015·江苏高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为______．‎ ‎－3　[∵ma＋nb＝(‎2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，‎ ‎∴∴∴m－n＝2－5＝－3.]‎ ‎4．(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．‎ 　[由题意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.]‎ ‎5．(2014·江苏高考) 如图4－3，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD ‎＝5，＝3，·＝2，则·的值是________. ‎ ‎【导 号：56394021】‎ 图4－3‎ ‎22　[由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·‎ ＝2，即2－·－2＝2.又因为＝25，＝64，所以·＝22.]‎ ‎[命题规律]‎ 平面向量的命题以客观题为主，主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积，考查数形结合的数 思想，在解答题中常与三角函数相结合，或作为解题工具应用到解析几何问题中．‎ ‎———————主干整合·归纳拓展———————‎ ‎(对应 生用书第12页)‎ ‎[第1步▕ 核心知识再整合]‎ ‎1．平面向量的两个重要定理 ‎(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．‎ ‎2．平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3．平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ ‎[第2步▕ 高频考点细突破]‎ 平面向量的线性运算 ‎【例1】　(江苏省南通市如东高中2017届高三上 期第二次调研)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝，则AB的长为________．‎ ‎[解析]　根据条件：·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝(＋)· ‎＝－2＋·＋2‎ ‎＝－||2＋||＋1‎ ‎＝.‎ ‎∴16||2－8||＋1＝0，解得||＝.故答案为.‎ ‎[答案]　 ‎[规律方法]　向量加法：“尾首相接，首尾相连”，向量减法：“共起点，连终点，指向被减向量”．‎ ‎[举一反三] ‎ ‎(江苏省南通中 2017届高三上 期期中考试)如图4－4，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝________.(用和表示)‎ 图4－4‎ －　[＝＋＋＋＝＋＋＋＝－－＋＋＝－.]‎ 向量共线的充要条件 ‎【例2】　(南京市2017届高三年级 情调研)设向量a＝(1，－4)，b＝(－1，x)，c＝a＋3b，若a∥c，则实数x的值是________. ‎ ‎【导 号：56394022】‎ ‎[解析]　由题意得(1，－4)∥(－2，－4＋3x)⇒8＝－4＋3x⇒x＝4.‎ ‎[答案]　4‎ ‎[规律方法]　向量a，b(a≠0)共线的充要条件是b＝λa，λ∈R，用坐标表示就是a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.‎ ‎[举一反三] ‎ ‎(2017届高三七校联考期中考试)如图4－5，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，AD＝DC＝2，若·＝－14，则·＝________.‎ 图4－5‎ ‎－2　[·＝(＋)·(＋)＝·＋(－－)· ‎＝·＋(＋＋)·＝·＋·，‎ ‎∴·－6×2＝－14⇒·＝－2.]‎ 平面向量的数量积 ‎【例3】　(南京市2017届高三年级 情调研)在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，＝，若·＝3，则AC的长是________．‎ ‎[解析]　＝⇒||＝1，||＝2；·＝3⇒cos θ＝，‎ 所以2－2＝22－2⇒||＝.‎ ‎[答案]　 ‎[规律方法]　向量a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.‎ ‎[举一反三]‎ ‎(江苏省泰州中 2017届高三上 期第二次月考)设平面向量a＝(x,4)，b＝(y，－2)，c＝(2,1)(其中x＞0，y＞0)，若(a－c)⊥(b－c)，则|a＋b|的最小值为________．‎ ‎2　[∵a＝(x,4)，b＝(y，－2)，c＝(2,1)，‎ ‎∴a－c＝(x－2,3)，b－c＝(y－2，－3)，‎ 由(a－c)⊥(b－c)，得(x－2)(y－2)－9＝0，‎ 即xy－2(x＋y)－5＝0.‎ 又x＞0，y＞0，∴2(x＋y)＋5＝xy≤，解得x＋y≤－2(舍)，或x＋y≥10.‎ ‎|a＋b|＝≥＝2.]‎ 求两向量的夹角 ‎【例4】　(2017届高三七校联考期中考试)如图4－6，在2×4的方格纸中，若a和b是起点和终点均在格点的向量，则向量‎2a＋b与a－b的夹角余弦值是________．‎ 图4－6‎ ‎[解析]　a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以‎2a＋b＝(7,0)，a－b＝(－1，－3)，因此向量‎2a＋b与a－b的夹角余弦值是＝－.‎ ‎[答案]　－ ‎[规律方法]　cos〈a，b〉＝，a2＝|a|2.‎ ‎[举一反三]‎ ‎(泰州中 2017届高三上 期期中考试)在△ABC中，(－3)·＝0，则角A的最大值为________．‎ 　[由题设可得accos B＋3abcos C＝0，即ccos B＝－3bcos C，也即sin Ccos B＝－3sin Bcos C，故tan C＝－3tan B，由于tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，因此3tan Atan2B－2tan B＋tan A＝0，故4－12tan‎2A≥0，所以－≤tan A≤，所以Amax＝.]‎ 平面向量和平面几何的综合问题 ‎【例5】　(江苏省镇江市丹阳高中2017届高三下 期期中)已知点A(2,3)，点B(6，－3)，点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足等式·＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围是________. ‎ ‎【导 号：56394023】‎ ‎[解析]　由点P在直线3x－4y＋3＝0上，设P，‎ 则＝，＝，‎ ‎∴·＝(x－2)(x－6)＋2－9＝(25x2－110x＋57)，‎ 又·＋2λ＝0，‎ ‎∴(25x2－110x＋57)＋2λ＝0，‎ 化简得25x2－110x＋57＋32λ＝0，‎ 根据题意Δ＝(－110)2－4×25×(57＋32λ)＞0，‎ 解得λ＜2，‎ ‎∴实数λ的取值范围是(－∞，2)．‎ ‎[答案] 　(－∞，2)‎ ‎[规律方法]　平面向量本身就具有代数和几何的双重特征，与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题，在解题过程中要抓住图形的几何特征，充分利用几何元素的几何性质解决问题．‎ ‎[举一反三]‎ ‎(泰州中 2016－2017年度第一 期第一 次质量检测文 )已知点O为△ABC内一点，且＋2＋3＝0，则△AOB，△AOC，△BOC的面积之比等于________．‎ ‎3∶2∶1　[＋2＋3＝0⇒＝＝＋，所以C′为AB三等分点(靠近B)，如图，所以S△AOC＝S△AOC′；S△BOC＝S△BOC′；S△AOC＝2S△BOC′；S△AOB＝S△AOC′＋S△BOC′，即△AOB，△AOC，△BOC的面积之比等于3S△BOC′∶2S△BOC′∶S△BOC′＝3∶2∶1.]‎ ‎[第3步▕ 高考易错明辨析]‎ ‎1．误把两向量数量积大于(小于)0当作两向量夹角为锐角(钝角)的充要条件 已知|a|＝，|b|＝3，a，b的夹角为45°，当向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角时，求实数λ的取值范围．‎ ‎[错解]　a·b＝|a||b|cos 45°＝3，因为向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角，所以(a＋λb)·(a＋b)＞0，由(a＋λb)·(a＋b)＝a2＋(λ＋1)a·b＋λb2＝12λ＋5＞0，得λ＞－，所以λ的取值范围是.‎ ‎[正解]　a·b＝|a||b|cos 45°＝3，因为向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角，所以(a＋λb)·(a＋b)＞0，由(a＋λb)·(a＋b)＝a2＋(λ＋1)a·b＋λb2＝12λ＋5＞0，得λ＞－，当向量a＋λb与a＋b方向相同时，λ＝1，即当λ＝1时，虽然(a＋λb)·(a＋b)＞0，但向量a＋λb与a＋b夹角为0°，所以λ的取值范围是∪(1，＋∞)．‎ ‎2．忽视两向量夹角的概念导致错误 在△ABC中，＝(1，)，＝(3,0)，则角B的大小为________．‎ ‎[错解]　因为cos B＝＝＝，且B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎[正解]　根据向量的夹角的定义，向量与的夹角应是角B补角，所以cos(π－B)＝＝＝，又π－B∈(0，π)，所以π－B＝，从而B＝.‎ ‎3．忽视变量取值范围导致错误 如图4－7，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝2，D为BC边上一点，＝λ，则·的取值范围为________．‎ 图4－7‎ ‎[错解]　·＝||||cos∠BAC＝－1，＝－，‎ ＝＋＝＋＝＋，‎ ·＝2－2＋·＝＝－2，因为＝λ，所以 λ∈[0,1]，当λ＝0时，－2取最大值5，当λ＝1时，－2，所以·的取值范围为.‎ ‎[正解]　·＝||||cos∠BAC＝－1，＝－，‎ ＝＋＝＋＝＋，‎ ·＝2－2＋·＝＝－2，因为＝λ，所以λ∈[0，＋∞)，当λ ‎＝0时，－2取最大值5，当λ→＋∞时，－2→－2取最小值，所以·的取值范围为(－2,5]．‎ ‎———————专家预测·巩固提升———————‎ ‎(对应 生用书第14页)‎ ‎1．(改编题)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．‎ ‎90°　[由＝(＋)，故O，A，C三点共线，且O是线段AC中点，故AC是圆O的直径，从而∠ABC＝90°，因此与的夹角为90°.]‎ ‎2．(改编题)△ABC中，|AB|＝10，|AC|＝15，∠BAC＝，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且＝3，直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为________. ‎ ‎【导 号：56394024】‎ 　[法一　如图，‎ ＝＋ ‎＝＋λ ‎＝＋λ(＋)‎ ‎＝＋λ ‎＝(1－λ)＋，‎ ＝＋ ‎＝＋μ ‎＝＋μ(＋)‎ ‎＝＋μ ‎＝(1－μ)＋，‎ 于是 解得即＝＋，‎ ‎∴||2＝(4×||2＋2×2·＋||2)‎ ‎＝ ‎＝37，故||＝.‎ 法二　因为B、P、N三点共线，有＝x＋(1－x)＝x＋，‎ 同理，因为C、P、M三点共线，有＝y＋(1－y)＝＋(1－y)，‎ 根据向量相等的充要条件，有 解得：x＝，y＝，于是，＝＋.‎ ‎(下同法一)‎ 法三　以A 为原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系：‎ 由已知可得：C(15,0)，N(5,0)，B(5,5)，M，‎ 于是BN所在直线方程为x＝5，‎ CM所在直线方程为y＝－ (x－15)，‎ 解得P(5,2)，‎ 故|AP|＝＝.]‎ ‎3．(新颖题)已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6.若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得＋＝0，则m的取值范围为________．‎ ‎[2,3]　[由＋＝0知A是PQ的中点，设P(x，y)，则Q(‎2m－x，－y)，由题意－2≤x≤0，‎ ‎2m‎－x＝6，解得2≤m≤3.]‎ ‎4．(原创题)△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC 上的一点(包括端点)，则·的取值范围是________．‎ ‎[－5,2]　[∵D是边BC上的一点(包括端点)，‎ ‎∴可设＝λ＋(1－λ)，(0≤λ≤1)．‎ ‎∵∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，‎ ‎∴·＝2×1×cos 120°＝－1.‎ ‎∴·＝[λ＋(1－λ)]·(－)＝(2λ－1)·－λ2＋(1－λ)2＝－(2λ－1)－4λ－λ＋1＝－7λ＋2.‎ ‎∵0≤λ≤1，∴(－7λ＋2)∈[－5,2]．‎ ‎∴·的取值范围是[－5,2]．]‎