【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版9-7抛物线学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版9-7抛物线学案

‎§9.7　抛物线 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ 抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.‎ ‎1．抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0)‎ y2＝－2px(p>0)‎ x2＝2py(p>0)‎ x2＝－2py(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标 O(0,0)‎ 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 概念方法微思考 ‎1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？‎ 提示　过点F且与l垂直的直线．‎ ‎2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？‎ 提示　直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)‎ ‎(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　×　)‎ ‎(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)‎ ‎(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　√　)‎ ‎(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ 答案　B 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.‎ ‎3．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是(　　)‎ A．2 B. C. D．3‎ 答案　A 解析　由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即＝2.故选A.‎ ‎4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，‎ 则该抛物线的标准方程为____________________．‎ 答案　y2＝－8x或x2＝－y 解析　设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)．‎ 将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ 答案　B 解析　如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.‎ ‎6．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)‎ A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 答案　D 解析　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．‎ 设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，‎ 则＝，‎ 所以p＝2，‎ 所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.‎ ‎7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ 答案　[－1,1]‎ 解析　Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，‎ 当k＝0时，符合题意，‎ 当k≠0时，‎ 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，‎ 解得－1≤k≤1且k≠0，‎ 综上，k的取值范围是[－1,1]．‎ 题型一　抛物线的定义和标准方程 命题点1　定义及应用 例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．‎ 答案　4‎ 解析　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，‎ 则|P1Q|＝|P1F|.‎ 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为4.‎ 引申探究 ‎1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．‎ 解　由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．‎ ‎∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，‎ ‎∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为2.‎ ‎2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．‎ 解　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．‎ 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，‎ 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.‎ 易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，‎ 故d2＋|PF|的最小值为＝3，‎ 所以d1＋d2的最小值为3－1.‎ 命题点2　求标准方程 例2　设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 答案　C 解析　由题意知，F，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.‎ 思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．‎ ‎(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．‎ 跟踪训练1 (1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．‎ 答案　 解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，‎ 由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．‎ 于是，问题转化为在抛物线上求一点P，‎ 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，‎ 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，‎ 此时最小值为＝.‎ ‎(2)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为(　　)‎ A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x 答案　D 解析　分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，‎ 所以∠BCB1＝30°.‎ 又|AA1|＝|AF|＝3，‎ 所以|AC|＝2|AA1|＝6，‎ 所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，‎ 所以F为线段AC的中点．‎ 故点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，‎ 故抛物线的标准方程为y2＝3x.‎ 题型二　抛物线的几何性质 例3 (1)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN等于(　　)‎ A.p2 B.p2 C.p2 D.p2‎ 答案　B 解析　不妨设P在第一象限，过Q作QR⊥PM，垂足为R，设准线与x轴的交点为E，‎ ‎∵直线PQ的斜率为，∴直线PQ的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得|PQ|＝|PF|＋|QF|＝＋＝＝p.‎ 在Rt△PRQ中，sin∠RPQ＝，‎ ‎∴|QR|＝|PQ|·sin∠RPQ＝p×＝p，由题意可知|MN|＝|QR|＝p，‎ ‎∴S△MNF＝|MN|·|FE|＝×p×p＝p2.故选B.‎ ‎(2)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 答案　A 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.‎ ‎∵|PA|＝|AB|，‎ ‎∴又得x1＝，‎ 则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.‎ 思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．‎ 跟踪训练2 (1)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由已知得焦点坐标为F，‎ 因此直线AB的方程为y＝，‎ 即4x－4y－3＝0.‎ 方法一　联立直线方程与抛物线方程化简得 ‎4y2－12y－9＝0，‎ 故|yA－yB|＝＝6.‎ 因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.‎ 方法二　联立直线方程与抛物线方程得x2－x＋＝0，‎ 故xA＋xB＝.‎ 根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，‎ 同时原点到直线AB的距离为h＝＝，‎ 因此S△OAB＝|AB|·h＝.‎ ‎(2)抛物线C1：y＝x2(p>0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　经过第一象限的双曲线C2的渐近线方程为y＝x.抛物线C1的焦点为F，双曲线C2的右焦点为F2(2,0)．因为y＝x2，所以y′＝x.所以抛物线C1在点M处的切线斜率为，即x0＝，所以x0＝p.因为F，F2(2,0)，M三点共线，所以＝，解得p＝，故选D.‎ 题型三　直线与抛物线 例4 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3.‎ ‎(1)求抛物线的标准方程；‎ ‎(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．‎ 解　(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，‎ 又AB的中点到x轴的距离为3，‎ ‎∴y1＋y2＝6，∴p＝2，‎ ‎∴抛物线的标准方程是x2＝4y.‎ ‎(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，‎ 由消去y得x2－4kx－24＝0，‎ ‎∴(*)‎ 易知抛物线在点P处的切线方程为 y－＝(x－x3)，‎ 令y＝－1，得 x＝，∴R，‎ 又Q，F，R三点共线，∴kQF＝kFR，又F(0,1)，‎ ‎∴＝，‎ 即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0，‎ 整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0，‎ 将(*)式代入上式得k2＝，∴k＝±，‎ ‎∴直线m的方程为y＝±x＋6.‎ 思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．‎ ‎(4)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，‎ 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎①x1x2＝，y1y2＝－p2.‎ ‎②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．‎ ‎③以弦AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．‎ 跟踪训练3 (2018·丹东质检)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)，圆O：x2＋y2＝1.‎ ‎(1)若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF|；‎ ‎(2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N，求|MN|的最小值及相应p的值．‎ 解　(1)由题意得F(0,1)，从而抛物线C：x2＝4y.‎ 解方程组得yA＝－2，‎ ‎∴|AF|＝－1.‎ ‎(2)设M(x0，y0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，‎ 结合x＝2py0，整理得x0x－py－py0＝0.‎ 由|ON|＝1得＝1，‎ 即|py0|＝＝，‎ ‎∴p＝且y－1>0.‎ ‎∴|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1‎ ‎＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，‎ 当且仅当y0＝时等号成立．‎ ‎∴|MN|的最小值为2，此时p＝.‎ 直线与圆锥曲线问题的求解策略 例 (12分)已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.‎ ‎(1)求抛物线C的焦点坐标；‎ ‎(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；‎ ‎(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 规范解答 解　(1)∵抛物线C：x2＝y，‎ ‎∴它的焦点为F.[2分]‎ ‎(2)∵|RF|＝yR＋，‎ ‎∴2＋＝3，得m＝.[4分]‎ ‎(3)存在，联立方程 消去y得mx2－2x－2＝0(m>0)，‎ 依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)＝8m＋4>0恒成立，‎ 方程必有两个不等实根．[6分]‎ 设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)‎ ‎∵P是线段AB的中点，‎ ‎∴P，‎ 即P，∴Q，[8分]‎ 得＝，‎ ＝.‎ 若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·＝0，‎ 即·＋＝0，[10分]‎ 结合(*)式化简得－－＋4＝0，‎ 即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，‎ ‎∵m>0，∴m＝2.‎ ‎∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形．[12分]‎ 解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；‎ 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；‎ 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；‎ 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．‎ ‎1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)‎ A. B．－ C．4 D．－4‎ 答案　B 解析　由y＝ax2，变形得x2＝y＝2×y，∴p＝.又抛物线的准线方程是y＝1，∴－＝1，解得a＝－.‎ ‎2．(2018·包头诊断)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.‎ ‎3．(2018·辽宁五校联考)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)‎ A．4 B．3 C．4 D．8‎ 答案　C 解析　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率为，∴AF的倾斜角为30°，‎ ‎∵AH垂直于准线，‎ ‎∴∠FAH＝60°，故△AHF为等边三角形．设A，m>0，过F作FM⊥AH于M，则在△FAM中，|AM|＝|AF|，∴－1＝，解得m＝2，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.故选C.‎ ‎4．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p等于(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ 答案　D 解析　∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，‎ ‎∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．‎ ‎∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.‎ 又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝，‎ ‎∴＋＝6，∴p＝8.故选D.‎ ‎5．已知直线l：y＝kx－k(k∈R)与抛物线C：y2＝4x及其准线分别交于M，N两点，F为抛物线的焦点，若2＝，则实数k等于(　　)‎ A．± B．±1 C．± D．±2‎ 答案　C 解析　抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，直线l：y＝kx－k过抛物线的焦点．当k>0时，如图所示，过点M作MM′垂直于准线x＝－1，垂足为M′，由抛物线的定义，得|MM′|＝‎ ‎|MF|，易知∠M′MN与直线l的倾斜角相等，由2＝，得cos∠M′MN＝＝，则tan∠M′MN＝，∴直线l的斜率k＝；当k<0时，可得直线l的斜率k＝－.故选C.‎ ‎6．已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为(　　)‎ A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x 答案　C 解析　由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，直线方程为x＝my＋，联立 消去x得y2－2pmy－p2＝0，显然方程有两个不等实根．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，‎ 得·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12，得p＝4(舍负)，即抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎7．动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，则动点P的轨迹方程为_____．‎ 答案　x2＝8y 解析　∵动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l：y＝－4的距离小2，∴动点P到点A(0,2)的距离与它到直线y＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点，以直线y＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x2＝8y.‎ ‎8．(2018·呼伦贝尔质检)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，A，B是抛物线上两点，若△AFB是等边三角形，则△AFB的边长为_________．‎ 答案　8＋4或8－4 解析　由题意可知点A，B一定关于x轴对称，且AF，BF与x轴夹角均为30°，由于y2＝4x的焦点为(1,0)，由化简得y2－4y－4＝0，解得y1＝2＋4，y2＝2－4，‎ 所以△AFB的边长为8＋4或8－4.‎ ‎9．已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________．‎ 答案　t>0或t<－3‎ 解析　由题意知k≠0.因为直线l与圆相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.由k2>0，得t>0或t<－2，再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是由Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，得t>0或t<－3.综上，实数t的取值范围是t>0或t<－3.‎ ‎10．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝_________.‎ 答案　 解析　方法一　由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，|AF|＝3，由抛物线的定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2.如图所示，不妨设点A在第一象限，将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，所以点A的纵坐标为2，即A(2,2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)．由解得或所以点B的横坐标为，‎ 所以|BF|＝－(－1)＝.‎ 方法二　如图所示，不妨设点A在第一象限，设∠AFx＝θ，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则由抛物线的定义知xA＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝.又|BF|＝xB＋1＝1－|BF|·cos θ＋1＝2－|BF|，所以|BF|＝.‎ ‎11．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，方程必有两个不等实根．‎ 所以x1＋x2＝，由抛物线定义得 ‎|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，‎ 所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎12．(2018·包头模拟)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD过定点，并求出该点的坐标．‎ 解　(1)易知点F的坐标为(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，‎ 由题意知k≠0，且Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)>0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ ‎∴x1＋x2＝，x1x2＝1，‎ 由抛物线定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，‎ ‎∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，‎ ‎∴直线l的方程为y＝±(x－1)．‎ ‎(2)由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，‎ 直线BD的斜率kBD＝＝＝，‎ ‎∴直线BD的方程为y＋y1＝(x－x1)，‎ 即(y2－y1)y＋y2y1－y＝4x－4x1，‎ ‎∵y＝4x1，y＝4x2，x1x2＝1，‎ ‎∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，‎ 即y1y2＝－4(y1，y2异号)，‎ ‎∴直线BD的方程为4(x＋1)＋(y1－y2)y＝0，恒过点(－1,0)．‎ ‎13．如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)‎ A．5 B．6 C. D. 答案　C 解析　方法一　如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝2，所以A(3,2)，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得，3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.‎ 方法二　如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，‎ 所以x1＝3，又x1x2＝＝1，‎ 所以x2＝，‎ 所以|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.‎ 方法三　如图所示，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l并交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝‎ .故选C.‎ ‎14.(2018·广东七校联考)如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则：①若AB的斜率为1，则|AB|＝4；②|AB|min＝2；③yM＝－1；④若AB的斜率为1，则xM＝1；⑤xA·xB＝－4.以上结论正确的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　由题意得，焦点F(0,1)，对于①，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，‎ 得消去x，得y2－6y＋1＝0，‎ 所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则①错误；‎ 对于②，|AB|min＝2p＝4，则②错误；‎ 因为y′＝，则lAM：y－yA＝(x－xA)，‎ 即y＝xAx－，lBM：y－yB＝(x－xB)，‎ 即y＝xBx－，‎ 联立lAM与lBM的方程得 解得M.‎ 设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，‎ 得消去y，得x2－4kx－4＝0，‎ 所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，‎ 所以yM＝－1，③和⑤均正确；‎ 对于④，当AB的斜率为1时，xM＝2，则④错误，故选B.‎ ‎15．已知曲线G：y＝及点A，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|＋|AC|＝________.‎ 答案　15‎ 解析　曲线G：y＝，即为半圆M：(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，由题意得B，C为半圆M与抛物线y2＝2x的两个交点，由y2＝2x与(x－8)2＋y2＝49(y≥0)联立方程组得x2－14x＋15＝0，方程必有两不等实根，设B(x1，y1)，C(x2，y2)．‎ 所以|AB|＋|AC|＝x1＋＋x2＋＝14＋1＝15.‎ ‎16．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是________________．‎ 答案　(2,4)‎ 解析　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，‎ 则 两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．‎ 当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．‎ 当k存在时，x1≠x2，‎ 则有·＝2，‎ 又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.‎ 由CM⊥AB，得k·＝－1，‎ 即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，‎ 即M必在直线x＝3上．将x＝3代入y2＝4x，‎ 得y2＝12，则有－24(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，‎ 所以4

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