数学理卷·2017届广西桂林市、百色市、崇左市高三上学期第一次联合调研考试（2017

数学理卷·2017届广西桂林市、百色市、崇左市高三上学期第一次联合调研考试（2017

‎ ‎ 数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数的虚部为 （ ）‎ A． -1 B．-3 C．1 D．2‎ ‎3. 若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的3倍，则等于（ ）‎ A． B．1 C． D． 2‎ ‎4.已知向量满足与的夹角的余弦值为，则等于 （ ）‎ A． 2 B．-1 C. -6 D．-18‎ ‎5.已知，且，则等于 （ ）‎ A． B． C. 3 D．-3‎ ‎6.如图是一个程序框图，则输出的的值是 （ ）‎ A． 18 B． 20 C. 87 D．90‎ ‎7. 某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：‎ 使用时间（单位：天）‎ 个数 ‎10‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎20‎ 若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）‎ A． 6 B． 9 C. 12 D．18‎ ‎9.已知是函数图象的一条对称轴，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数在上的最小值为 （ ）‎ A． -2 B．-1 C. D．‎ ‎10.已知函数，则不等式的解集为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且.若直线与圆 相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. 2 D．3‎ ‎12.已知函数.若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13. 的展开式中常数项为 ．‎ ‎14.如果实数满足条件，则的最大值为 ．‎ ‎15.设三个内角所对的边分别为，若，则的面积为 ．‎ ‎16.已知长方体内接于球，底面是边长为2的正方形，为的中点，平面，则球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知等比数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响.‎ ‎（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；‎ ‎（2）请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又，点是的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知右焦点为的椭圆过点，且椭圆关于直线对称的图形过坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作直线与椭圆交于两点，线段的中点为，点是椭圆的右顶点，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）设函数，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）.‎ ‎（1）若为直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最大值；‎ ‎（2）若直线被圆截得的弦长为，求的值.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CBDDA 6-10: CDBBC 11、12：BA 二、填空题 ‎13. 60 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）∵，‎ ‎∴当时，，……………………………1分 当时，，……………………………2分 ‎（2）由（1）得，………………………7分 ‎∴…………………………9分 ‎………………………………11分 ‎……………………12分 ‎18.解：（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值分别为1，2，3……………………1分 ‎；；；………………3分 应聘者甲正确完成题数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎………………………………………4分 设乙正确完成面试的题数为，则取值分别为0，1，2，3……………………………5分 ‎，‎ ‎……………………………7分 应聘者乙正确完成题数的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.（或∵，∴）…………8分 ‎（2）因为，……………………9分 ‎……………………………………10分 所以……………………………………………11分 综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当；‎ 从做对题数的方差考查，甲较稳定；‎ 从至少完成2道题的概率考查，甲获得面试通过的可能性大…………………………12分 ‎19.（1）证明：在正三角形中，，‎ 在中，∵，易证，∴为中点，………………………1分 ‎∵点是的中点，∴.‎ ‎∵面，∴，…………………………………2分 ‎∵，∴，…………………………3分 ‎∵，∴，即，‎ ‎∵，∴平面，………………………………4分 ‎∴平面，又平面，∴平面平面………………………5分 ‎（2）解：‎ 分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ ‎∴.‎ 由（1）可知，为平面的一个法向量，………………………6分 ‎，………………………7分 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，……………………………8分 令，解得，…………………………………………………9分 则平面的一个法向量为，…………………………10分 ‎，…………………………………11分 由题知二面角为锐二面角，∴二面角余弦值为…………………………12分 ‎20.(1)解:∵椭圆过点，∴，①…………………………1分 ‎∵椭圆关于直线对称的图形过坐标原点，∴，………………………2分 ‎∵，∴，②…………………………3分 由①②得，……………………………………4分 ‎∴椭圆的方程为………………………………5分 ‎（2）依题意，直线过点且斜率不为零，故可设其方程为…………………7分 由方程组消去，并整理得………………………8分 设，‎ ‎∴，‎ ‎∴………………………………9分 ‎∴，∴.‎ ‎①当时，；‎ ‎②当时，，……………………………………………10分 ‎∵，∴.‎ ‎∴，∴且.‎ 综合①、②可知，直线的斜率的取值范围是………………………12分 ‎21.解：（1），‎ ‎，…………………………1分 ‎①当时， 即时，在上，在上，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增；……………………………3分 ‎②当，即时，在上，‎ 所以，函数在上单调递增…………………………………………4分 ‎（2）若存在，使得成立，即存在，使得，即函数在上的最小值小于零……………………………………5分 由（1）可知：‎ ‎①当，即时，在上单调递减，‎ 所以的最小值为，‎ 由可得，‎ 因为，所以………………………………7分 ‎②当，即时，在上单调递增，‎ 所以最小值为，由可得…………………9分 ‎③当，即时，可得的最小值为，‎ 因为，所以，，故，不合题意，…………………………………11分 综上可得所求的范围是………………………………12分 ‎22.解：（1）由得圆可化为，……………………1分 将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，…………………………2分 令，得，即点的坐标为………………………………3分 又圆的圆心坐标为，半径，则，………………………………4分 所以的最大值为…………………………………5分 ‎（2）因为圆，直线，………………………………6分 所以圆心到直线的距离，………………………………7分 所以，即，………………………………………9分 解得……………………………………10分 ‎23.解：（1）由得，‎ 则，………………………………………2分 即，…………………………………………………3分 解得，∴不等式的解集为…………………………………5分 ‎（2）∵，……………………7分 又对任意恒成立，即对任意恒成立，………………8分 ‎∴，解得或，‎ ‎∴实数的取值范围是………………………………10分