辽宁省实验中学2020届高三数学(文)下学期最后一模试题(Word版附答案)

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辽宁省实验中学2020届高三数学(文)下学期最后一模试题(Word版附答案)

辽宁省实验中学2020届高三下学期学期第下学期五次模拟考试 数学文科试卷 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若复数(是虚数单位),则在复平面内,的共轭复数对应的点在第( )象限。‎ A.一 B.二 C.三 D. 四 ‎3. 已知为正数,则“”是“ ”的 ( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 ‎4.数学家莱布尼茨(1646—1716)发明了对现代计算机系统有着重要意义的二进制,不过他认为在此之前,中国的《易经》中已经提到了有关二进制的初步思想。在二进制中,只需用到两个数字0和1就可以表示所有的自然数,例如二进制中的数11,转化为十进制的数为3,记作,则二进制中的转化为十进制的数为( )‎ A.1023 B.1024 C.2047 D. 2048‎ ‎5. 已知实数满足,则的最大值为( )‎ A.-7 B.-6 C.1 D. 6‎ ‎6. 用随机试验的方式估算圆周率,可以向图中的正方形中随机撒100粒沙粒,统计得到正方形内切圆中有81粒沙粒,则可据此试验结果估算圆周率约为( )‎ A.2.03 B.3.05 ‎ C.3.14 D.3.24‎ ‎7. 如图所示是某多面体的三视图,左上为主视图,右上为左视图,左下为俯视图,且图中小方格单位长度为1,则该多面体的体积为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎8. 如图的框图中,若输入,则输出的的值为( )‎ 数学科试卷(文) 共8页 第8页 A.3 B.4 C.5 D. 6‎ ‎9. 已知实数满足,则的最大值为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10. 已知函数(,,)的图象与轴交于点,在轴右边到轴最近的最高坐标为,则不等式的解集是( )‎ A., B.,‎ C., D.,‎ ‎11. 己知函数的最小值为,最大值为,若,则数列是( )‎ A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 ‎ C.常数列 D.以上都不对 ‎12. 已知函数,若对于任意的,以为长度的线段都可以围成三角形,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在答题纸相应位置上。‎ ‎13. 已知向量,向量,则______.‎ ‎14. 若圆与两条直线和都有公共点,则的范围是______.‎ ‎15. 已知球的直径,,是该球面上的两点,,则三棱锥的体积最大值是______.‎ ‎16. 已知抛物线:上有一动点,则动点到点两定点距离之差的取值范围为______.‎ 数学科试卷(文) 共8页 第8页 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)如图所示,圆锥的侧面积是底面积的2倍,线段为圆锥底面的直径,在底面内以线段为直径作,点为上异于点的动点。‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)已知,当三棱锥的体积最大时,求点到平面的距离。‎ ‎18.(本小题满分12分) 已知中,分别为角的对边,且 ‎(1)求角;‎ ‎(2)若,求的最大值。‎ ‎19.(本小题满分12分) 疫情期间,为支持学校隔离用餐的安排,保证同学们的用餐安全,食堂为同学们提供了送餐盒到班级用餐的服务。运营一段时间后,食堂为了调研同学们对送餐服务的满意程度,从高三年级500名同学中抽取了20名同学代表对送餐服务进行打分,满分100分,同学们打分的分布直方图如下:‎ ‎(1)求频率分布直方图中的值;‎ ‎(2)从成绩在的学生中任选人,求此人的成绩都在中的概率;‎ ‎(3)若打分超过6‎ 数学科试卷(文) 共8页 第8页 ‎0分可视为对送餐服务满意,用样本的统计结果估计总体,请估计全年级有多少同学对送餐服务满意.‎ ‎20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中抛物线的方程为,点在抛物线上,且到抛物线的准线的距离为3。‎ ‎(1)求抛物线的方程,并给出其焦点的坐标;‎ ‎(2)过定点且不经过点的直线与抛物线交于两点,直线与抛物线交于点,直线与抛物线交于点。请问直线的斜率是否为定值?若是,求此定值;若不是,请证明你的结论。‎ ‎21.(本小题满分12分) 已知函数,、‎ ‎(1)讨论函数的单调区间;‎ ‎(2)若对于任意的,不等式,恒成立,求的范围。‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(本小题满分10分)已知曲线的极坐标方程为,直线:,直线:.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.‎ ‎(1)求直线,的直角坐标方程以及曲线的参数方程;‎ ‎(2)已知直线与曲线交于,两点,直线与曲线C交于,两点,求的面积.‎ ‎23.(本小题满分10分)设函数.‎ ‎(1)设的解集为,求集合;‎ ‎(2)已知为(1)中集合中的最大整数,且(其中,,为正实数),‎ 求证:.‎ 数学科试卷(文) 共8页 第8页 辽宁省实验中学2020届高三下学期第下学期五次模拟考试 数学文科试卷答案 一、选择题:BDCABD ACBDCC 二、填空题:13. ; 14. ; 15. 2; 16. ‎ 三、解答题:‎ ‎17. 解:(1)证明:∵垂直于圆锥的底面,∴,又∵为的直径,∴,∴平面,∴平面平面。‎ ‎(2)设圆锥的母线长为,底面半径,∴圆锥的侧面积为,底面积为,∴依题意,∴。∴,∴为正三角形,∴。在三棱锥中,∵,∴面积最大时三棱锥的体积最大,此时,∴。做于点,∴,∵平面平面,为交线,,∴平面,∴即为点到平面的距离,又∵点为中点,∴点到平面的距离为。‎ ‎18. 解:(1)由正弦定理得,∴,‎ ‎∴,∴,∴。‎ ‎(2)取的外接圆半径为,∵,∴,∴,‎ 数学科试卷(文) 共8页 第8页 当时,为最大值。‎ ‎19. 解:(1)∵,∴,∴。‎ ‎(2)成绩在的人数=人,成绩在中的学生人数=人,‎ 用a,b表示成绩在的2名学生,用c,d,e表示成绩在的3名学生,从5人中任取2人,具体是ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de。共有10种情形。符合条件的有3种(cd,ce,de),∴概率。‎ ‎(3)样本20人中有18人打分成绩超过60分,即有的学生对送餐服务满意。用样本的统计结果估计总体,则全年级500人中,约有人对送餐服务满意。‎ ‎20. 解:(1)∵点到抛物线的准线的距离为3,∴准线方程为,∴抛物线的方程为,其焦点坐标为。‎ ‎(2)依题意直线不与坐标轴垂直,故可取其方程为,代入可得 ‎,其判别式为,∴或,‎ 取为与的交点,∴‎ ‎∵都在曲线上,∴可设其坐标为。∵直线过点,∴可设其方程为,代入得,∴,∴,∴点的坐标为,同理点的坐标为,∴直线的斜率为定值。‎ ‎21.解:(1)∵,定义域为 若,则成立,∴在区间单调递增;‎ 若,则在区间单调递减,在区间单调递增。‎ ‎(2)原命题可化为,恒成立。取,‎ ‎∴,∴。‎ 若,即,∴存在使得,,所以 数学科试卷(文) 共8页 第8页 在单调递减,‎ 又∵,所以,∴在单调递减,又∵,∴,不合题意,∴‎ 若,则成立,若,可知在单调递增,∴,。∴时,,,∴在单调递增,‎ ‎∴,,∴在单调递增,∴,。‎ 综上,的范围为。‎ ‎22. 解:(1)依题意,直线的直角坐标方程为,的直角坐标方程为,‎ 由,得,,,,‎ ‎,即,∴曲线的参数方程为(为参数).‎ ‎(2)由,得,‎ 由,得,又∵‎ 所以的面积.‎ ‎23.解:(1)即 当时,不等式化为,∴;‎ 当时,不等式化为,不等式恒成立;‎ 当时,不等式化为,∴.‎ 综上,集合 ‎(2)由(1)知,∴.∴,同理 数学科试卷(文) 共8页 第8页 ‎,‎ ‎∴,即.‎ 数学科试卷(文) 共8页 第8页
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