2018-2019学年广东省湛江市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省湛江市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省湛江市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设扇形的圆心角为α，则∵扇形的面积为，半径为1， ∴ ‎ 故选B ‎2．甲、乙、丙、丁4名田径选手参加集训，将挑选一人参加400米比赛，他们最近10次测试成绩的平均数和方差如下表；根据表中数据，应选哪位选手参加比赛更有机会取得好成绩？（ ）‎ 甲 乙 丙 丁 平均数 ‎59‎ ‎57‎ ‎59‎ ‎57‎ 方差 ‎12‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎10‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】D ‎【解析】由平均数及方差综合考虑得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由四位选手的平均数可知，乙与丁的平均速度快；‎ 再由方差越小发挥水平越稳定，可知丙与丁稳定，‎ 故应选丁选手参加比赛更有机会取得好成绩．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数与方差，熟记结论是关键，属于基础题．‎ ‎3．定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则式子 的值是 A．－1 B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知的程序框图可知，本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，由此计算可得结论.‎ ‎【详解】‎ 由已知的程序框图可知:‎ 本程序的功能是:计算并输出分段函数的值，‎ 可得，‎ 因为，‎ 所以，，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查条件语句以及算法的应用，属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.‎ ‎4．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：‎ 指数值 ‎0～50‎ ‎51～100‎ ‎101～150‎ ‎151～200‎ ‎201～300‎ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：‎ 下列叙述错误的是（　　）‎ A．这20天中指数值的中位数略高于100‎ B．这20天中的中度污染及以上的天数占 C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好 D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 ‎【答案】C ‎【解析】根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.‎ ‎【详解】‎ 对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；‎ 对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；‎ 对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；‎ 对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎ ‎5．在平行四边形中，,,则点的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求,再求,即可求D坐标 ‎【详解】‎ ‎，∴，则D(6,1)‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查向量的坐标运算，熟记运算法则，准确计算是关键，是基础题 ‎6．某社区义工队有24名成员，他们年龄的茎叶图如下表所示，先将他们按年龄从小到大编号为1至24号，再用系统抽样方法抽出6人组成一个工作小组，则这个小组年龄不超过55岁的人数为（ ）‎ ‎3‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过55岁的有8人，然后进行计算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：样本间隔为，年龄不超过55岁的有8人，‎ 则这个小组中年龄不超过55岁的人数为人．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎7．在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为,若,则,‎ ‎，故选A.‎ ‎8．已知函数，则 A．的最小正周期为，最大值为 B．的最小正周期为，最大值为 C．的最小正周期为，最大值为 D．的最小正周期为，最大值为 ‎【答案】B ‎【解析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据题意有，‎ 所以函数的最小正周期为，‎ 且最大值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.‎ ‎9．已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，，‎ ‎，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，可先求得三个人都没有被录取的概率，接下来求至少有一人被录取的概率，利用对立事件的概率公式，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 甲、乙、丙三人都没有被录取的概率为，‎ 所以三人中至少有一人被录取的概率为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关概率的求解问题，关键是掌握对立事件的概率加法公式，求得结果.‎ ‎10．在中，为的中点，，则（ ）‎ A． B． C．3 D．-3‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题中、长度已知，故可以将、作为基底，将向量用基底表示，从而解决问题．‎ ‎【详解】‎ 解：在中，因为为的中点，‎ 所以，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 向量数量积问题常见解题方法有1.基底法，2.坐标法．基底法首先要选择两个不共线向量作为基向量，然后将其余向量向基向量转化，然后根据数量积公式进行计算；坐标法则要建立直角坐标系，然后将向量用坐标表示，进而运用向量坐标的运算规则进行计算．‎ ‎11．将的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的图象，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，‎ 因此，选D.‎ 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.‎ ‎12．已知在中，两直角边，，是内一点，且，设，则（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．‎ 详解：如图以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），‎ 因为∠DAB=60°，设D点坐标为（m，），‎ ‎=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）⇒λ=m，μ=，‎ 则．‎ 故选A．‎ 点睛：本题主要考察平面向量的坐标表示，根据条件建立平面直角坐标系，分别写出各点坐标，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知向量，，若，则实数__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据平面向量时，列方程求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：向量，，‎ 若，则，‎ 即，‎ 解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的坐标运算应用问题，属于基础题．‎ ‎14．若、是方程的两根，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意利用韦达定理求得、 的值，再利用两角差的正切公式，求得要求式子的值．‎ ‎【详解】‎ 解：、是方程的两根，‎ ‎，，‎ ‎，或，，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查韦达定理，两角差的正切公式，属于基础题．‎ ‎15．两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为和，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解．‎ ‎【详解】‎ 解：两个实习生加工一个零件，产品为一等品的概率分别为和，‎ 这两个零件中恰有一个一等品的概率为：‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎16．函数，函数，若对所有的总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求得f（x）、g（x）在[0，]上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），‎ 当x∈[0，]，2x+∈[，]，∴2sin（2x+）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．‎ 对于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，‎ ‎∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]．‎ 由于对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，‎ 可得[﹣+3，3﹣m]⊆[1，2]，‎ 故有 3﹣m≤2，﹣+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，]．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立”的含义，转化为f（x）的值域是g（x）的子集．‎ 三、解答题 ‎17．已知角的终边经过点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）直接利用任意角的三角函数的定义，求得的值．‎ ‎（2）利用诱导公式化简所给的式子，再把 代入，求得结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为角的终边经过点 由三角函数的定义可知．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．‎ ‎18．已知函数（）的一段图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由函数的一段图象求得、、和的值即可；‎ ‎（2）由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求得的最大和最小值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由函数的一段图象知，‎ ‎，，‎ ‎，解得，‎ 又时，，，，解得，；‎ ‎，‎ 函数的解析式为；‎ ‎（2）当时，，‎ 令，解得，此时取得最大值为2；‎ 令，解得，此时取得最小值为；‎ 函数的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的图象和性质的应用问题，属于基础题．‎ ‎19．某科研小组对冬季昼夜温差大小与某反季节作物种子发芽多少之间的关系进行分析，分别记录了每天昼夜温差和每100颗种子的发芽数，其中5天的数据如下，该小组的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，再用方程对其余的2组数据进行检验.‎ 日期 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 温度（℃）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数（颗）‎ ‎23‎ ‎26‎ ‎32‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎（1）求余下的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；‎ ‎（2）若选取的是第2、3、4天的数据，求关于的线性回归方程；‎ ‎（3）若由线性回归方程得到的估计数据与2组检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？‎ ‎（参考公式；线性回归方程中系数计算公式：，，其中、表示样本的平均值）‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）线性回归方程是可靠的.‎ ‎【解析】（1）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；‎ ‎（2）由已知数据求得与，则线性回归方程可求；‎ ‎（3）利用回归方程计算与8时的值，再由已知数据作差取绝对值，与1比较大小得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设“余下的2组数据恰好是不相邻2天数据为事件”，‎ 从5组数据中选取3组数据，余下的2组数据共10种情况：‎ ‎，，，，，，，，，．‎ 其中事件的有6种，‎ ‎；‎ ‎（2）由数据求得，，‎ 且，．‎ 代入公式得：，‎ ‎．‎ 线性回归方程为：；‎ ‎（3）当时，，，‎ 当时，，．‎ 故得到的线性回归方程是可靠的．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查古典概型的概率计算问题，属于中档题．‎ ‎20．已知点、、（），且.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）如果当时，两个函数与的图象有两个交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据向量坐标以及向量的数量积公式求出，利用辅助角公式即可求的解析式；‎ ‎（2），求出的范围，令，，则画函数图象，由两个函数与的图象有两个交点，建立不等关系即可求的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1），，，‎ ‎，，‎ 则 ‎ ‎，‎ 即；‎ ‎（2）因为，，‎ 令，，则画函数图象如下所示：‎ ‎，‎ 要使两个函数与的图象有两个交点，‎ 则，，解得 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的化简和求值，利用向量的数量积公式结合三角函数的辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）若，求函数有零点的概率；‎ ‎（2）若，求成立的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）求得有零点的条件，运用古典概率的公式，计算可得所求；‎ ‎（2）若， 即，画出不等式组表示的区域，计算面积可得所求．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）函数有零点的条件为，即，‎ ‎，可得事件的总数为，‎ 而有零点的个数为，，，，，，共7个，‎ 则函数有零点的概率为；‎ ‎（2）若，即，‎ 画出的区域，可得成立的概率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概率和几何概率的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量，又点，，，.‎ ‎（1）若，且，求向量；‎ ‎（2）若向量与向量共线，常数，求的值域.‎ ‎【答案】（1）或；（2）当时的值域为.‎ 时的值域为.‎ ‎【解析】分析：（1）由已知表示出向量，再根据，且，建立方程组求出，即可求得向量；‎ ‎ （2）由已知表示出向量，结合向量与向量共线，常数，建立的表达式，代入 ，对分类讨论，综合三角函数和二次函数的图象与性质，即可求出值域.‎ 详解：（1），∵，且，‎ ‎∴，，‎ 解得，时，；时，.‎ ‎∴向量或.‎ ‎（2），∵向量与向量共线，常数，‎ ‎∴，‎ ‎∴ .‎ ‎①当即时，当时，取得最大值，‎ 时，取得最小值，此时函数的值域为.‎ ‎②当即时，当时，取得最大值，‎ 时，取得最小值，此时函数的值域为.‎ 综上所述，当时的值域为.‎ 时的值域为.‎ 点睛：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直和共线的定理、模的计算、三角函数的值域等问题，考查了分类讨论方法、推理与计算能力.‎