【数学】2019届一轮复习人教B版离散型随机变量及分布列学案

【数学】2019届一轮复习人教B版离散型随机变量及分布列学案

第7讲　离散型随机变量及分布列 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　离散型随机变量 ‎　 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．‎ 考点2　离散型随机变量的分布列及性质 ‎1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列的性质 ‎(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；‎ ‎(2).‎ 考点3　常见离散型随机变量的分布列 ‎1．两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p ‎，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．‎ ‎2．超几何分布 ‎ 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ ‎ [必会结论]‎ ‎1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．‎ ‎2．分布列性质的两个作用 ‎(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．‎ ‎(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　　)‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　)‎ ‎(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)‎ ‎(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)‎ ‎(5)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×‎ ‎2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是(　　)‎ A．ξ＝4 B．ξ＝5 ‎ C．ξ＝6 D．ξ≤5‎ 答案　C 解析　“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.‎ ‎3．[课本改编]已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2n.‎ ‎(1)求m与n的值；‎ ‎(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列．‎ 解　(1)依题， 解得 ‎(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.‎ 而P(X＝0)＝××＝；P(X＝1)＝××＝；P(X＝2)＝××＝‎ eq f(1,8)；P(X＝3)＝××＋××＝；‎ P(X＝4)＝××＝；P(X＝5)＝××＝；P(X＝6)＝××＝.‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 命题角度3　与统计有关的分布列问题 例　4　[2016·全国卷Ⅰ]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得出下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．‎ ‎(1)求X的分布列；‎ ‎(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值．‎ 解　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2，从而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；‎ P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；‎ P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；‎ P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；‎ P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；‎ P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；‎ P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.‎ 所以X的分布列为 X ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ P ‎0.04‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.2‎ ‎0.08‎ ‎0.04‎ ‎(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.‎ 触类旁通 求随机变量的分布列的三个步骤 ‎(1)找：找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…，n)，并确定ξ＝xi的意义．‎ ‎(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)．‎ ‎(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．‎ 考向　超几何分布问题 例　5　[2017·山东高考]‎ 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．‎ ‎(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；‎ ‎(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．‎ 解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，‎ 则P(M)＝＝.‎ ‎(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 触类旁通 超几何分布的特点 ‎(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．‎ ‎(2)超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．‎ ‎(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．‎ ‎【变式训练2】　某大型汽车城为了了解销售单价(单位：万元)‎ 在[8,20]内的轿车的销售情况，从2016年上半年已经销售的轿车中随机抽取100辆，获得的所有样本数据按照[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．‎ 已知样本中销售单价在[14,16)内的轿车数是销售单价在[18,20]内的轿车数的2倍．‎ ‎(1)求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，求至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率；‎ ‎(3)用分层抽样的方法从销售单价在[8,20]内的轿车中共抽取20辆，再从抽出的20辆轿车中随机抽取2辆，X表示这2辆轿车中销售单价在[10,12)内的轿车的数量，求X的分布列．‎ 解　(1)样本中轿车的销售单价在[14,16)内的轿车数是x·2×100＝200x，‎ 样本中轿车的销售单价在[18,20]内的轿车数是y·2×100＝200y，‎ 依题意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①‎ 根据频率分布直方图可知(0.1×2＋0.025＋x＋0.05＋y)×2＝1，②‎ 由①②得x＝0.15，y＝0.075.‎ 根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为 ×0.025×2＋×0.05×2＋×0.1×2＋×0.15×2＋×0.1×2＋×0.075×2＝0.45＋1.1＋2.6＋4.5＋3.4＋2.85＝14.9(万元)．‎ ‎(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，则至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率为1－C(0.3)0×(0.7)3＝1－0.343＝0.657.‎ ‎(3)因为销售单价在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]的轿车的分层抽样比为1∶2∶4∶6∶4∶3，故在抽取的20辆轿车中，销售单价在[10,12)内的轿车有20×＝2(辆)，‎ X的所有可能取值为0,1,2，‎ 则P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 核心规律 离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：‎ ‎(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；‎ ‎(2)利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；‎ ‎(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．‎ 满分策略 ‎1.求离散型随机变量的分布列的关键，是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率．‎ ‎2.在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解.‎ 板块三　启智培优·破译高考 规范答题系列5——离散型随机变量分布列的答题技巧 ‎[2015·四川高考]某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．‎ 解题视点　对于(1)可利用对立事件的概率；对于(2)先求出每一个随机变量X对应的概率，然后列出分布列，利用公式求数学期望．‎ 解　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．‎ 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.‎ 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.‎ ‎(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 因此，X的数学期望为 E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)‎ ‎＝1×＋2×＋3×＝2.‎ ‎[答题模板]　概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为：‎ 第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；‎ 第二步：利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；‎ 第三步：画出随机变量的分布列；‎ 第四步：明确规范表述结论．‎ 第五步：反思回顾．‎ 易错点主要在于：第一，确定离散型随机变量的取值；第二，写出分布列以后忽略检验这一环节．‎ 跟踪训练 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．‎ ‎(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；‎ ‎(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．‎ 解　(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，‎ 则P(A)＝＝.‎ 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.‎ 则随机变量X的分布列是 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 故随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为(　　)‎ A．25 B．10 ‎ C．7 D．6‎ 答案　C 解析　X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4,1＋4＝5＝2＋3,1＋5＝6＝4＋2,2＋5＝7＝3＋4,3＋5＝8,4＋5＝9.‎ ‎2．若随机变量X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 则当P(X0)＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　D 解析　由已知Y取值为0,2,4,6,8，且P(Y＝0)＝，P(Y＝2)＝，P(Y＝4)＝＝，P(Y＝6)＝，P(Y＝8)＝＝.则P(Y>0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝.‎ ‎3．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________.‎ 答案　 解析　ξ可能取的值为0,1,2,3，‎ P(ξ＝0)＝＝，‎ P(ξ＝1)＝＝，‎ 又P(ξ＝3)＝＝，‎ ‎∴P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－－－＝.‎ ‎4．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：‎ ‎(1)该顾客中奖的概率；‎ ‎(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．‎ 解　(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率P＝＝＝.‎ ‎(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，‎ P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，‎ P(X＝60)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎5．某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：‎ 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 ‎3红1蓝 ‎200元 二等奖 ‎3红0蓝 ‎50元 三等奖 ‎2红1蓝 ‎10元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．‎ ‎(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；‎ ‎(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．‎ 解　设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i＝0,1,2,3)与Bj(j＝0,1)独立．‎ ‎(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能的值为：0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝·＝，‎ P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝·＝，‎ P(X＝10)＝P(A2B1)＝P(A2)P(B1)＝·＝＝，‎ P(X＝0)＝1－－－＝.‎ 综上知X的分布列为 X ‎0‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎200‎ P