【数学】2019届一轮复习人教A版几何证明选讲单元测试

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几何证明选讲 ‎1．如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若C M＝2，MD＝4，CN＝3，则线段NE的长为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：令AB＝3a(a>0)，因为CM·MD＝AM·MB，即2×4＝2a2，所以a＝2，‎ 又因为CN·NE＝AN·NB，即3NE＝4×2，‎ 所以NE＝.故选A.‎ ‎2．如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.‎ 答案：8‎ 解析：易得AC＝＝，‎ 由OP∥BC，且O为AB的中点可知CP＝AC＝，OP＝BC＝，‎ ‎∠CPO＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠CPD＝90°.‎ 因为EC是切线，所以∠DCP＝∠CBA，‎ 从而△CPD∽△BCA，故＝，‎ ‎∴DP＝，‎ 故OD＝DP＋OP＝＋＝8.‎ ‎3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.‎ ‎(1)证明：∠D＝∠E；‎ ‎(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．‎ 证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，‎ 所以∠D＝∠CBE.‎ 由已知CB＝CE得∠CBE＝∠E，‎ 故∠D＝∠E.‎ ‎(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．‎ 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，‎ 故OM⊥AD，即MN⊥AD.‎ 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.‎ 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.‎ 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．‎ ‎4．如图，AE是圆O的切线，A是切点，AD⊥OE于D，割线EC交圆O于B，C两点．‎ ‎(1)证明：O，D，B，C四点共圆；‎ ‎(2)设∠DBC＝50°，∠ODC＝30°，求∠OEC的大小．‎ 解：(1)证明：连接OA，OC，则OA⊥EA.‎ 由射影定理得，EA2＝ED·EO.‎ 由切割线定理得，EA2＝EB·EC，‎ 故ED·EO＝EB·EC，‎ 即＝，又∠OEC＝∠OEC，‎ 所以△BDE∽△OCE，所以∠EDB＝∠OCE，‎ 因此O，D，B，C四点共圆．‎ ‎(2)连接OB.因为∠OEC＋∠OCB＋∠COE＝180°，‎ 结合(1)得∠OEC＝180°－∠OCB－∠COE ‎＝180°－∠OBC－∠DBE ‎＝180°－∠OBC－(180°－∠DBC)‎ ‎＝∠DBC－∠ODC＝20°.‎ ‎5．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．‎ ‎(1)证明：EF∥BC；‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．‎ 解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，‎ 所以AD是∠CAB的平分线．‎ 又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，‎ 所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.‎ ‎(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，‎ 故AD所在直线是EF的垂直平分线．‎ 又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．‎ 连接OE，OM，则OE⊥AE.‎ 由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，‎ 所以∠OAE＝30°.‎ 因此△ABC和△AEF都是等边三角形．‎ 因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.‎ 因为OM＝OE＝2，‎ DM＝MN＝，‎ 所以OD＝1.‎ 于是AD＝5，AB＝.‎ 所以四边形EBCF的面积为 ×2×－×(2)2×＝.‎ ‎6．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C，D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与AB交于点E.‎ ‎(1)求证：PA·PB＝PO·PE；‎ ‎(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．‎ 解：(1)证明：连接OD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在⊙O上，‎ ‎∴∠DOA＝∠DCF，‎ ‎∴∠POD＝∠PCE.‎ 又∵∠DPO＝∠EPC，∴△PDO∽△PEC，‎ ‎∴＝，即PD·PC＝PO·PE.‎ 由割线定理得PA·PB＝PD·PC，‎ ‎∴PA·PB＝PO·PE.‎ ‎(2)由已知，直径AB是弦DF的垂直平分线，‎ ‎∴ED＝EF，∴∠DEH＝∠FEH.‎ ‎∵DE⊥CF，∴∠DEH＝∠FEH＝45°.‎ 由∠PEC＝∠FEH＝45°，∠P＝15°得 ‎∠DCF＝60°.‎ 由∠DOA＝∠DCF得∠DOA＝60°.‎ 在Rt△DHO中，OD＝2，DH＝ODsin∠DOH＝，‎ ‎∴DE＝EF＝＝，‎ CE＝＝，‎ ‎∴CF＝CE＋EF＝＋.‎