高中数学 3_1_3课时同步练习 新人教A版选修2-1

高中数学 3_1_3课时同步练习 新人教A版选修2-1

第3章 ‎‎3.1.3‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)‎ A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0‎ C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；对于C，a2＝b2只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．故选B.‎ 答案：　B ‎2．正方体ABCD－A′B′C′D′中，向量与的夹角是(　　)‎ A．30°　　　　　　　　　　 B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：　BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，‎ ‎∴∠D′AB′＝60°，∴〈，〉＝60°.‎ 答案：　C ‎3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足A·A＝0，A·A＝0，A·A＝0，则△BCD是(　　)‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 解析：　如右图所示，‎ 设A＝a，A＝b，A＝c，‎ ‎∵C·C＝(a－b)·(c－b)‎ ‎＝a·c－b·c－a·b＋b2‎ ‎＝b2>0.‎ 同理B·B>0，D·D>0.故选B.‎ 答案：　B ‎4.如图，平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则AC1的长为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：　∵＝A＋A＋，‎ ‎∴||＝ ‎＝ ‎∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，‎ ‎∠BAD＝90°，‎ ‎∠BAA1＝∠DAA1＝60°，‎ ‎∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.‎ ‎∴|A|＝ ‎＝.故选D.‎ 答案：　D 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．在空间四边形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝________.‎ 解析：　设A＝b，A＝c，A＝d，‎ 则C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.‎ 原式＝0.‎ 答案：　0‎ ‎6．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，m＝a＋b，n＝a＋λb，则m⊥n，则λ＝________.‎ 解析：　m·n＝(a＋b)·(a＋λb)‎ ‎＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2‎ ‎＝18＋λ×3×4×cos 135°＋3×4×cos 135°＋λ×16‎ ‎＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，‎ ‎∵m⊥n，∴6＋4λ＝0，‎ ‎∴λ＝－.‎ 答案：　－ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7.如图所示，已知正三棱锥A－BCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F，G是AB，AD，‎ DC上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，‎ 求下列向量的数量积：‎ ‎(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；‎ ‎(4)E·B.‎ 解析：　(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°，‎ 所以A·D＝|||D|cos 120°＝－a2.‎ ‎(2)因为B＝A－A，‎ 所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A，‎ 又因为|A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，‎ 所以A·B＝a2－a2＝0.‎ ‎(3)因为点F，G是AD，DC上的点，‎ 所以G＝＝－A，‎ 所以G·A＝－，‎ 因为＝a2，‎ 所以G·A＝－a2.‎ ‎(4)因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以E＝B，‎ 所以E·B＝B·B，‎ 结合图形可知〈B，B〉＝60°，‎ 所以E·B＝B·B＝×a×a×cos 60°＝a2.‎ ‎8．在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN ‎|＝|ND|，求|MN|.‎ 解析：　∵M＝M＋B＋C ‎＝A＋(A－A)＋(A－A)‎ ‎＝－A＋A＋A.‎ ‎∴M·M ‎＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)‎ ‎＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋ ‎＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.‎ 故|M|＝＝a.‎ 即|MN|＝a.‎ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)已知正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a.‎ ‎(1)用向量法求A1B和B‎1C的夹角；‎ ‎(2)用向量法证明A1B⊥AC1；‎ ‎(3)用向量法求AC1的长度．‎ 解析：　(1)因为正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为a，‎ 所以||＝||＝a.‎ 因为＝A－，‎ ＝＝A－，‎ 所以·＝(A－)·(A－)＝a2，‎ 所以cos〈，〉＝＝，‎ 即A1B和B‎1C的夹角为60°；‎ ‎(2)证明：因为＝A＋＋A，‎ ＝A－，‎ 所以·＝0，A1B⊥AC1；‎ ‎(3)由(2)知，＝A＋＋A，‎ 所以2＝(A＋＋A)2＝‎3a2，‎ 所以||＝AC1＝a.‎