湖北省宜昌市长阳县第一高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

湖北省宜昌市长阳县第一高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

湖北省宜昌市长阳县第一高级中学2019-2020高一下学期期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（每小题5分，共12小题60分）‎ ‎1. 的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若都是锐角，且，，则= ( )‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎3. 已知的内角,,的对边分别为,,,且,,,则的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 如图是一个正方体的表面展开图，则图中“”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）‎ A. B. C. 快 D. 乐 ‎5. 在中，若，若满足条件的三角形有两种，则的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 已知中,,则为()‎ A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等边三角形 ‎7. 已知集合,,若,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知均为正实数，若，，且，则的最小值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知半径为的球的两个平行截面的周长分别为和，则两平行截面间的距离是（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎11. 如图是正方体的展开图,则在这个正方体中:①与是异面直线; ②与平行; ③与成角; ④与平行. 以上四个命题中,正确命题的序号是（ ）‎ A. ①②③ B. ②④ C. ③④ D. ②③④‎ ‎12. 对一切实数,不等式恒成立, 则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）‎ ‎13. 设当时,函数取得最大值,则__________.‎ ‎14. 在地平面上有一旗杆(在地面),为了测得它的高度,在地平面上取一长度为的基线,在处测得点的仰角为,在处测得点的仰角为,又测得,则旗杆的高等于__________.‎ ‎15. 若函数，则不等式的解集为__________.‎ ‎16. 关于函数. ①的最大值为; ②最小正周期是; ③在区间上是减函数; ④将函数的图象向左平移个单位后,将与原函数图象重合. 其中说法正确的有__________.‎ 三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）‎ ‎17. 函数. (1)求函数的单调递减区间; (2)当时,求函数的值域.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18. 高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,、、为山脚两侧共线的三点,在山顶处测得这三点的俯角分别为、、,计划沿直线开通穿山隧道,现已测得、、三段线段的长度分别为、、. (1)求出线段的长度; (2)求出隧道的长度.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. 已知向量(1)求的最小值及相应的t值； (2)若与共线，求实数t的值．‎ ‎ ‎ ‎20. 如图,在四边形中,,,,,,求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21. 如图，在正三棱柱中，底面边长为，为的中点，三棱柱体积. ‎ ‎（1）求三棱柱的表面积； ‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎22. 已知,为常数,函数. (1)当时,求关于的不等式的解集; (2)当时,若函数在上存在零点,求实数的取值范围; (3)对于给定的,且,,证明:关于的方程在区间内有一个实数根.‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎ 第1题： ‎ ‎【答案】C ‎【解析】原式=cos4〖5〗^∘ cos7〖5〗^∘ +sin4〖5〗^∘ sin7〖5〗^∘ =cos(〖-30〗^∘ )= (√3 )/2.‎ ‎ 第2题： ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为0<α<π/2，0<β<π/2，且sin(α-β)= (√10 )/10，所以0<α-β<π/2，所以cos(α-β)= (3√10 )/10. 根据sinα= (2√5 )/5，得cosα= (√5 )/5， ∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)= (√5 )/5 ×(3√10 )/10 + (2√5 )/5 ×(√10 )/10 = (√2 )/2.‎ ‎ 第3题： ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为〖(a+b)〗^2 =〖c〗^2 +ab,即〖a〗^2 +〖b〗^2 -〖c〗^2 =-ab. 所以cosC= (〖a〗^2 +〖b〗^2 -〖c〗^2)/2ab =- 1/2,所以〖C=120〗^∘,又〖B=30〗^∘, 所以〖A=B=30〗^∘,即a=b=4,故ΔABC的面积S= 1/2 absinC= 1/2 ×4×4×(√3 )/2 =4√3 .‎ ‎ 第4题： ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将展开图还原成正方体即可知“2”在正方体中所在的面的对面上的是0. 故选A.‎ ‎ 第5题： ‎ ‎【答案】C ‎【解析】要使满足条件的三角形有两种，则a>b，且sinA<1，由正弦定理，得sinA= asinB/b = (√2 x)/4，∴x>2，且(√2 )/4 x<1，∴22时,x∈(-∞,1]∪[b-1,+∞); 当b<2时,x∈(-∞,b-1]∪[1,+∞). (2)若a=2b-1,f(x)=〖x〗^2 -bx+2b-1在(-2,1)上存在零点, 即b= (〖x〗^2 -1)/(x-2)在(-2,1)上有解. 令g(x)= (〖x〗^2 -1)/(x-2),即y=b的图像与g(x)的图像在(-2,1)上有交点,g(x)= (〖x〗^2 -1)/(x-2) =x-2+ 3/(x-2) +4, 故g(x)在(-2,2-√3 )上单调递增,在(2-√3 ,1)上单调递减. 又g(-2)=- 3/4,g(2-√3 )=4-2√3 ,g(1)=0, ∴当- 3/4

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