【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版4-3三角函数的图象与性质学案
§4.3 三角函数的图象与性质
最新考纲
考情考向分析
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在内的单调性.
以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
概念方法微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．思考函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？
提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．( × )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( × )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( × )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
题组二 教材改编
2．函数f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案 π
3．y＝3sin在区间上的值域是________．
答案
解析 当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
4．函数y＝－tan的单调递减区间为________________．
答案 (k∈Z)
解析 由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，
得＋
cos 23°>cos 97°
解析 sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.
题型一 三角函数的定义域
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D.
2．函数y＝的定义域为________．
答案 (k∈Z)
解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．
所以定义域为.
3．函数y＝lg(sin x)＋的定义域为________．
答案
解析 要使函数有意义，则
即
解得
所以2kπ时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴当cos x＝时，f(x)有最小值．
又f(x)＝2sin x＋sin 2x＝2sin x(1＋cos x)，
∴当sin x＝－时，f(x)有最小值，
即f(x)min＝2××＝－.
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是______．
答案
解析 ∵x∈，∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知，≤a＋≤，
∴≤a≤π.
(2)(2018·通辽质检)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为__________．
答案
解析 设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
题型三 三角函数的周期性与对称性
例2 (1)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足10，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案
解析 由0，得
＋<ωx＋<ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
引申探究
本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是_______．
答案
解析 函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝2sin，则函数f(x)的单调递减区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 D
解析 函数的解析式可化为f(x)＝－2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)若函数g(x)＝sin在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，可得
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
又∵函数g(x)在区间和上均单调递增，
∴
解得≤a<.
三角函数的图象与性质
纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
例 (1)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos；④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
答案 A
解析 ①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
答案 D
解析 A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A
项正确；
B项，因为f(x)＝cos的图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，
所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)，
所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．
故选D.
(3)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为________．
答案 ，k∈Z
解析 由图象知，周期T＝2×＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，
得2k－0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
答案 π
解析 记f(x)的最小正周期为T.
由题意知≥－＝，
又f＝f＝－f，
且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)：
∴x1＝×＝，
x2＝×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.
1．函数y＝2sin的图象( )
A．关于原点对称
B．关于点对称
C．关于y轴对称
D．关于直线x＝对称
答案 B
解析 ∵当x＝－时，函数y＝2sin＝0，
∴函数图象关于点对称．
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－ C. D．0
答案 B
解析 由已知x∈，
得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.
3．函数y＝sin x2的图象是( )
答案 D
解析 函数y＝sin x2为偶函数，排除A，C；又当x＝时函数取得最大值，排除B，故选D.
4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
答案 D
解析 y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sin φ＝，
∴sin φ＝，又|φ|<，∴φ＝，
则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，
∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．
6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对任意x∈R恒成立，且f>0，则f(x)的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，故有2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.又f＝sin>0，所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin 2x.令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
7．函数y＝的定义域为________．
答案
解析 要使函数有意义必须有tan≠0，
则
所以x－≠，k∈Z，
所以x≠＋，k∈Z，
所以原函数的定义域为.
8．(2018·赤峰模拟)设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
答案 2
解析 |x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，
又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2.
9．已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
答案
解析 由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，
∴得函数f(x)的最小正周期为＝.
10．已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
答案 ④
解析 函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－0)的最小正周期为π.
(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f(x)在上的单调性．
解 (1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin(ω>0)，且T＝π，
∴ω＝2，f(x)＝sin.
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．因为x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，令k＝0，得f(x)在
上的单调递减区间为.
13．定义运算：a*b＝例如1*2=1，则函数f(x)＝sin x*cos x的值域为( )
A. B．[－1,1]
C. D.
答案 D
解析 根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sin x≥cos x，此时f(x)＝cos x，f(x)∈，当0≤x<或sin x，此时f(x)＝sin x，f(x)∈∪[－1,0]．综上知f(x)的值域为.
14．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，若f(x)>1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为，∴f(x)的周期T＝，∴＝，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)>1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|<可得，当k＝0时，φ的取值范围为.
15．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 [0，＋∞)
解析 f(x)＝cos(2x＋θ)，
当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，
由函数f(x)在上是增函数得k∈Z，
则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．
又0≤θ≤，
∴0≤θ≤，
∵f＝cos，
又≤θ＋≤，
∴fmax＝0，
∴m≥0.
16．设函数f(x)＝2sin＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<.
(1)求函数f(x)的最小正周期．
(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在上的值域．
解 (1)由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，
可得sin＝±1，
∴2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又0<ω<，
∴ω＝，
∴函数f(x)的最小正周期为3π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋m，
∵f(π)＝0，
∴2sin＋m＝0，
∴m＝－2，
∴f(x)＝2sin－2，
当0≤x≤时，－≤x－≤，
－≤sin≤1.
∴－3≤f(x)≤0，
故函数f(x)在上的值域为.
