【数学】2019届一轮复习人教A版数列与不等式的相结合问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版数列与不等式的相结合问题学案

专题五 数列 问题五 数列与不等式的相结合问题 一、考情分析 数列与不等式的交汇题,是高考数 的常见题型. 对数列不等式综合题的解答,往往要求能够熟练应用相关的基础知识和基本技能,同时还应具备比较娴熟的代数变换技能和技巧. ‎ 近年数列与不等式交汇题考查点 ‎ ‎1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.‎ ‎2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇,还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等,深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数 归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数 思想,试题新颖别致,难度相对较大.‎ ‎3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查,主要考查转化及方程的思想.‎ 数列求和是历年高考命题的热点,可以以客观题形式考查,也可以以解答题形式考查数列,公式求和、裂项求和、错位相减法求和是常考问题.‎ 二、经验分享 常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关,‎ 其基本结构形式有如下4种 ‎ ‎①形如（为常数）；②形如；③形如；④形如（为常数）.‎ 依据---不等式的性质 ‎ ‎（1）不等式的传递性 若,则（此性质为放缩法的基础,即若要证明,但无法直接证明,则可寻找一个中间量,使得,从而将问题转化为只需证明即可）‎ ‎（2）等量加不等量为不等量 若,则,此性质可推广到多项求和 ]‎ 若,则 ‎ ‎（3）若需要用到乘法,则对应性质为 若,则 ‎,此性质也可推广到多项连乘,但要求涉及的不等式两侧均为正数 常用的放缩手段 ‎ 增加（或减少）某些项；增大分子（或减小分母）；增大（或减小）被开方数；利用二项式定理；利用基本不等式；利用函数的单调性.‎ 常用的放缩技巧 ‎ ‎（1）常见的数列求和方法和通项公式特点 ‎ ‎①等差数列求和公式 ,（关于的一次函数或常值函数）‎ ‎②等比数列求和公式 ,（关于的指数类函数）‎ ‎③错位相减 通项公式为“等差等比”的形式 ‎④裂项相消 通项公式可拆成两个相邻项的差,且原数列的每一项裂项之后正负能够相消,进而在求和后式子中仅剩有限项 ‎（2）与求和相关的不等式的放缩技巧 ‎ ‎①在数列中,“求和看通项”,所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 ‎②在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向,这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）‎ ‎③在放缩时,对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢,常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.‎ ‎④若放缩后求和发现放“过”了,即与所证矛盾,通常有两条道路选择 第一个方法是微调 看能否让数列中的一些项不动,其余项放缩.从而减小放缩的程度,使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩,重新进行设计,选择放缩程度更小的方式再进行尝试.‎ ‎（3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧 ‎ ‎①裂项相消 在放缩时,所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点,即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）‎ ‎②等比数列 所面对的问题通常为“常数”的形式,所构造的等比数列的公比也要满足,如果题目条件无法体现出放缩的目标,则可从所证不等式的常数入手,,常数可视为 的形式,然后猜想构造出等比数列的首项与公比,进而得出等比数列的通项公式,再与原通项公式进行比较,看不等号的方向是否符合条件即可.例如常数,即可猜想该等比数列的首项为,公比为,即通项公式为. ‎ 注 此方法会存在风险,所猜出的等比数列未必能达到放缩效果,所以是否选择利用等比数列进行放缩,受数列通项公式的结构影响 ‎（4）与数列中的项相关的不等式问题 ‎ ‎①此类问题往往从递推公式入手,若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形 ‎②在有些关于项的不等式证明中,可向求和问题进行划归,即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式,即或（累乘时要求不等式两侧均为正数）,然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为,另一侧为求和的结果,进而完成证明 三、知识拓展 常见的放缩变形 - ‎ ‎（1）,其中 可称为“进可攻,退可守”,可依照所证不等式不等号的方向进行选择.‎ 注 对于,可联想到平方差公式,从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特征的数列,例如 ,这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的,如 ‎ ‎（2）,从而有 ‎ 注 对于还可放缩为 ‎ ‎（3）分子分母同加常数 ‎ 此结论容易记混,通常在解题时,这种方法作为一种思考的方向,到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系.‎ ‎（4）‎ 可推广为 ‎ 同类放缩常见的有 ‎ ‎（1）或 ‎（2）；‎ ‎（3）或；‎ ‎（4）‎ 或（平方型、立方型、根式型都可放缩为裂项相消模型）‎ ‎（5）或、（指数型可放缩为等比模型）‎ ‎（6）；（7）；‎ ‎（8）（奇偶型放缩为可求积）.‎ 补充 ‎ 一般地,形如或(这里)的数列,在证明（为常数）时都可以提取出利用指数函数的单调性将其放缩为等比模型.‎ 四、题型分析 ‎(一) 最值问题 求解数列中的某些最值问题,有时须结合不等式 解决,其具体解法有 （1）建立目标函数,通过不等式确定变量范围,进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性,然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值.‎ ‎【例1】设等差数列的前项和为,若,, 则的最大值为______.‎ ‎【分析】根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项与公差的不等式,然后利用此不等关系确定公差的范围,由此可确定的最大值.‎ ‎【点评】本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系 求最值的,其中确定数列的公差是解答的关键,同时解答中要注意不等式传递性的应用.‎ ‎【小试牛刀】【天津市耀华中 2018届高三12月月考】等差数列的前项和为,已知,,则的最小值为（ ）．‎ A. B. C. D. 无最小值 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得,得．‎ ‎∴,．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 则 ‎．‎ ‎∴当时,．‎ 当时,．‎ ‎∴为最小项,．故选．‎ ‎(二) 恒成立问题 求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略 （1）若函数在定义域为,则当时,有恒成立；恒成立；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式,再通过解不等式解得. ‎ ‎【例2】【2017江西吉安一中上 期段考】设不等式组所表示的平面区域为,记内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为．‎ ‎（1）求的值及的表达式； - ‎ ‎（2）记数列的前项和为,若对任意正整数恒成立,求的取值范围．‎ ‎【分析】（1）易得,当时,取值为,共有个格点,当时,取值为,共有个格点；（2）由（1）可得 ,原命题等价于．‎ ‎【解析】（1）,‎ 当时,取值为,共有个格点,‎ 当时,取值为,共有个格点．‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由（1）可得 ,‎ ‎∵对任意正整数恒成立,‎ ‎∴,化为,‎ ‎∴． [ ]‎ ‎【点评】解决数列恒成立问题一般会涉及到基本不等式及数列单调性.‎ ‎【小试牛刀】【广东省华南师范大 附属中 2018届高三综合测试】等比数列的前项和 ‎（为常数）,若恒成立,则实数的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,‎ ‎,所以,得,‎ 所以,得,‎ 所以时,.故选C.‎ ‎(三) 证明问题 此类不等式的证明常用的方法 （1）比较法,特别是差值比较法是最根本的方法；（2）分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析；（3）放缩法,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.‎ ‎【例3】设数列满足,,其中为实数.‎ ‎（Ⅰ）证明 对任意成立的充分必要条件是；‎ ‎ (Ⅱ)设,证明 ；‎ ‎（Ⅲ）设,证明 .‎ ‎20090318‎ ‎【分析】第（Ⅰ）小题可考虑用数 归纳法证明； 第 (Ⅱ)小题可利用综合法结合不等关系的迭代； 第 （Ⅲ）小题利用不等式的传递性转化等比数列,然后利用前项和求和,再进行适当放缩.‎ ‎【解析】（Ⅰ）必要性 ∵,,‎ 又∵,∴,即,‎ 充分性 设,对用数 归纳法证明.‎ ‎（1）当时,.‎ ‎（2）假设当时成立,‎ 则,且,‎ ‎∴,这就是说时,.‎ 由（1）、（2）知,当时,知对所有成立.‎ 综上所述, 对任意成立的充分必要条件是.‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)设,当时,,结论成立.‎ 当时,由（Ⅱ）知,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎ .‎ ‎∴,不等式恒成立.‎ ‎【点评】本题是数列与不等式、数 归纳法的知识交汇题,属于难题,此类试题在高考中点占有一席之地.应用放缩法证明不等式的关键. 其一,选择适当的放缩因子（即放缩的对象）,其二,放大或缩小的幅度,这时幅度要合适,且力求计算量不要太大.‎ ‎【小试牛刀】【2017届云南曲靖一中高三上 期月考】已知数列满足在直线上（）,且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设是数列的前项和,数列满足,数列的前项和为,求证 ．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析. ‎ ‎【解析】（1）由题意得,即,‎ 所以是首项为,公差为的等差数列,‎ ‎∴．‎ ‎（2）证明 由（1）知,所以,‎ ‎,所以原不等式成立．‎ ‎ (四) 探索性问题 数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型,解答的一般策略 先假设所探求对象存在或结论成立,以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理,若由此推出矛盾,则假设不成立,从而得到“否定”的结论,即不存在.若推理不出现矛盾,能求得在范围内的数值或图形,就得到肯定的结论,即得到存在的结果.‎ ‎【例4】已知等差数列满足 ,且、、成等比数列.‎ ‎ （Ⅰ）求数列的通项公式.‎ ‎ （Ⅱ）记为数列的前项和,是否存在正整数,使得若存在,求的最小值；若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】（Ⅰ）设数列的公差为,根据成等比数列求得的值,从而求得数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的,根据等差数列的求和公式求出,解不等式求出满足条件的的.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设数列的公差为,依题意,,,成等比数列,‎ 故有, ‎ 化简得,解得或. ‎ 当时,；‎ 当时,,‎ 从而得数列的通项公式为或. ‎ ‎【点评】本题的表示式有两种,需要对着两种情况讨论,再确定是否存在满足题意的. 解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件,综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．‎ 与数列有关的探索问题 第一步 假设符合条件的结论存在；第二步 从假设出发,利用题中关系求解；第三步,确定符合要求的结论存在或不存在；第四步 给出明确结果；第五步 反思回顾,查看关键点.‎ ‎【小试牛刀】已知Sn是等比数列{an}的前n项和,S4,S2,S3成等差数列,且a2＋a3＋a4＝－18.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数n,使得Sn≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n的集合；若不存在,说明理由．‎ ‎【解析】(1)设数列{an}的公比为q,则a1≠0,q≠0.‎ 由题意得即 解得故数列{an}的通项公式为an＝3×(－2)n－1.‎ ‎(2)由(1)有Sn＝＝1－(－2)n.‎ 若存在n,使得Sn≥2 013,则1－(－2)n≥2 013,即(－2)n≤－2 012.‎ 当n为偶数时,(－2)n>0,上式不成立；‎ 当n为奇数时,(－2)n＝－2n≤－2 012,即2n≥2 012,则n≥11.‎ 综上,存在符合条件的正整数n,且所有这样的n的集合为{n|n＝2 ＋1, ∈N*, ≥5}．‎ ‎(五) 新定义题型 ‎【例5】【2016届北京市海淀区高三上 期期中考试】对于数列,都有为常数）成立,则称数列具有性质．‎ ‎（1）若数列的通项公式为,且具有性质,则t的最大值为 ；‎ ‎（2）若数列的通项公式为,且具有性质,则实数a的取值范围是 ．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)‎ 所以数列是递增数列 即 因为,所以上式化简为,得 故的最大值 ‎（2）由已知条件得 所以数列是递增数列 即 因为,所以上式化简为,‎ 令 由三次函数的图像性质可知为或或或 ‎ ‎,,, ‎ 所以 所以 故的取值范围为 ‎【点评】高考数 创新题型是通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型 创设全新的问题情景, 解答新颖性的数 ‎ 题,一是通过转化,化“新”为“旧”；二是通过深入分析,多方联想,以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数 思想方法,以“新”制“新”,应特别关注创新题型的切入点和生长点. 创新题型大致有结构形式新、问题情境新、表达方式新、设问角度新、思维方式新、知识交汇新等. 新颖的题目难度在“新”上,只要心态平和认真读题,按题目要求,运用所 知识分析问题、解决问题,应该能顺利完成.‎ ‎【小试牛刀】若有穷数列（是正整数）,满足,即 ‎（是正整数,且）,就称该数列为“对称数列”.‎ ‎（Ⅰ）已知数列是项数为7的对称数列,且成等差数列,,试写出的每一项.‎ ‎（Ⅱ）已知是项数为的对称数列,且构成首项为50,公差为的等差数列,数列的前项和为,则当为何值时,取到最大值？最大值为多少？‎ ‎（Ⅲ）对于给定的正整数,试写出所有项数不超过的对称数列,使得成为数列中的连续项；当时,试求其中一个数列的前2008项和.‎ ‎【解析】（1）设的公差为,则,解得 ,‎ 数列为． ‎ ‎（Ⅱ）,‎ ‎, ‎ ‎ 当时,取得最大值．的最大值为626． ‎ ‎（Ⅲ）所有可能的“对称数列”是 ‎ ‎ ① ；‎ ‎ ② ；‎ ‎③ ；‎ ‎④ ． ‎ 对于①,当时,． ‎ 当时,‎ ‎ ． ‎ 对于②,当时,． ‎ 当时,．‎ 对于③,当时,． ‎ 当时,．‎ 对于④,当时,． ‎ 当时,．‎ 五、迁移运用 ‎1．【安徽省宿州市2018届高三上 期第一次教 质量检测】在等差数列中, ,若它的前项和有最大值,则当时, 的最大值为（ ）‎ A. 11 B. 12 C. 13 D. 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列为等差数列,若,则,可得[ ]‎ ‎, , ‎ ‎, ‎ ‎, ‎ 则当时, 的最大值为,故选 ‎2．【2018湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校联考】设,令 ‎, ,若,则数列的前项和为,当时, 的最小整数值为（ ）‎ A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021‎ ‎【答案】B ‎【解析】f1（x）=f′（x）=ex（x2+4x+2）,f2（x）=f1′（x）=ex（x2+6x+6）,‎ f3（x）=f2′（x）=ex（x2+8x+12）,f4（x）=f3′（x）=ex（x2+10x+20）,…,‎ 可得C1=2=1×2,C2=6=2×3,C3=12=3×4,‎ C4=20=4×5,…,Cn=n（n+1）,‎ ‎==﹣,‎ Sn=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣,‎ 则|Sn﹣1|≤,即为≤,‎ 解得n≥2019,即n的最小值为2019．故选 B．‎ ‎3.【2017届云南曲靖一中高三上 期月考】已知点在曲线上,且,且,则的最大值等于（ ）‎ A．9 B．10 C．6 D．11‎ ‎【答案】A ‎【解析】由点在曲线是等差数列 的最大值为,故选A.‎ ‎4．【2017届广西陆川县中 高三上 期二模】设等差数列的前项和为,已知,则下列结论正确的是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令,则,得到在上单调递增,且为奇函数.由条件,有,,即.,从而,则,,,在上单调递增,,即,所以A选项是正确的.‎ ‎5. 已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若成等比数列,则（ ）．‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为成等比数列,所以,‎ 即,所以．因为,所以,所以．又 ,[ ]‎ 所以．故选B．‎ ‎6.【天津市耀华中 2018届高三12月月考】已知函数若数列满足,且是递增数列,那么实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】是递增数列．则单调递增．‎ ‎∴,即．∴．故选．‎ ‎7．【2017届云南曲靖一中高三上 期月考】已知数列为等差数列,为的前项和,若,,则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,.‎ ‎8．【2017届山西晋中榆社中 高三11月月考】已知数列的通项公式,若对任意恒成立,则的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得,,由条件得,解之得.‎ ‎9．【2017届湖南师大附中高三上 期月考】对于数列,若对任意,都有成立,则称数列为“减差数列”.设,若数列是“减差数列”,则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由数列是“减差数列”,得,即 ‎,即,化简得,当时,若恒成立,则恒成立,又当时,‎ 的最大值为,则的取值范围是.‎ ‎10．【山西省太原市2018届高三3月模拟】数列中,,若数列满足,则数列的最大项为第__________项．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】因为,所以根据叠加法得 ,‎ 所以 当时, ,当时,,因此数列的最大项为第6项.‎ ‎11．【甘肃省2018届高三第一次诊断性考试】已知数列满足,,则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,∵,‎ ‎∴‎ ‎.∴,‎ 令,得,‎ ‎∴当n取1,2,3时,减小,当n取大于等于4的自然数时的值增大.‎ ‎∵n=3时;n=4时,.‎ ‎∴的最小值为.故答案为 .‎ ‎12．【广西陆川县中 2018届高三开 考试】已知函数,点O为坐标原点, 点,向量i=(0,1),是向量与i的夹角,则使得 恒成立的实数t的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意得,﹣θn是直线OAn的倾斜角,‎ ‎∴ ‎ ‎=tan（﹣θn）= = ‎ ‎∴= ‎ ‎ ‎ 要使恒成立,‎ 则实数t的取值范围是t≥．故答案为 t≥．‎ ‎13．【天一大联考2017—2018 年高中毕业班阶段性测试（四）】已知等差数列的通项公式为,前项和为,若不等式恒成立,则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎14．【2017湖南衡阳县四中12月联赛】各项均为正数的等比数列满足,,‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设,数列前项和,在（1）的条件下,证明不等式.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）设等比数列的公比为,由得, ‎ 解得或,∵数列为正项数列,∴ ‎ ‎∴首项,∴ ‎ ‎（2）由（1）得 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎15.【河南省豫南九校2018届高三下 期第一次联考】设正项等比数列, ,且的等差中项为. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若,数列的前项和为,数列满足, 为数列的前项和,若恒成立,求的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设等比数列的公比为,由题意,得 解得,所以 ‎ ‎（2）由（1）得,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ 若恒成立,则恒成立,‎ 则,所以.‎