重庆市梁平区2021届高三上学期第一次调研考试数学试题

重庆市梁平区2021届高三上学期第一次调研考试数学试题

高 2021 届第一次调研考试 数 学 试 题 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1．已知集合 2{ | 1}M x x  ． N 为自然数集，则下列表示不正确的是（ ） A． M N B． { 1,1}M   C． M  D．1 M 2．复数 1 1 3i 的虚部是（ ） A． 3 10  B． 3 10 C． 1 10 D． 1 10  3．已知命题 p：∀x∈R，cosx＞1，则 p 是（ ） A．∃x∈R ，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1 4．函数  f x = 3log 3x x  的零点所在的区间是（ ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) 5．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠 肺炎累计确诊病例数 I(t)（t 的单位：天）的 Logistic 模型： 0.23( 53)( )= 1 e tI Kt   ，其中 K 为最大确诊病 例数．当 I( *t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则（ *t －53）的值约为（ln19≈3）（ ） A．10 B．13 C．63 D．66 6. 某人在 A 处向正东方向走 xkm 后到达 B 处，他沿南偏西 60°方向走 3km 到达 C 处，结果他离出发点 恰好 3km，那么 x 的值为（ ） A． 3 或3 2 B． 3 或 2 3 C． 2 或3 2 D． 2 2 7．如图，长方形 ABCD 的边 AB=2，BC=1，O 是 AB 的中点，点 P 沿着 边 BC，CD 与 DA 运动，∠BOP=x．将动点 P 到 A，B 两点距离之和 表示为 x 的函数 ( )f x ，则 ( )y f x 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 8．已知 函数 2( ) 2020 ln( 1 ) 2020 1x xf x x x       ，则关于 x 的不等式 (2 1) (2 ) 2f x f x   的 解集为（ ） A． 1( , )4  B． 1( , )2  C． 1( , )4  D． 1( , )2  二、选择题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分） 9. 下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ） A． ( )f x x 与 2( )g x x B． ( ) | 1|f t t  与 ( ) | 1|g x x  C． ( )f x x 与 2( ) log 2xg x  D． 2 1( ) 1 xf x x   与 ( ) 1g x x  10．已知向量      2,1 , 1, 1 , 2, ,a b c m n        其中 ,m n 均为正数，且  / /a b c   ，下列说法正确 的是（ ） A． a  ·b  =1 B． a  与b  的夹角为钝角 C．向量 a  在b  方向上的投影为 5 5 D． 2 4m n  11. 已知符号函数 1, 0 sgn( ) 0, 0 1, 0 x x x x      下列说法正确的是（ ） A．函数 sgn( )y x 是偶函数 B．对任意的 1,sgn(ln ) 1x x  C． 0x  时，函数 sgn( )xy e x ＝ 的值域为 (0,1) D．对任意的 , sgn( )x R x x x ＝ 12．已知函数 ( ) 2sin( )6f x x   的图象的一条对称轴为 x  ，其中 为常数，且 (0,1)  ，则以 下结论正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的最小正周期为 3 B． 3( ) 34f   C．将函数 ( )f x 的图象向左平移 6  所得图象关于原点对称 D．函数 ( )f x 在区间 (0,100 ) 上有 67 个零点 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 13. 已知向量 1 2(6, ), ( 3,2)e e    ，若 1 2e e  ，则  的值为_____________. 14．复数 z 满足 2z z i   ，则 z  ______________. 15．公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值 约为 0.618，这一数值也可以表示为 2sin18m   . 若 2 4m n  ，则 21 2cos 27 m n   ＝__________．（用 数字作答） 16． 对 于三 次函 数 3 2( ) ( 0)f x ax bx cx d a     ， 定义 ：设  ''f x 是 函数  y f x 的 导数  'y f x 的导数，若方程  '' 0f x  有实数解 0x ，则称点   0 0,x f x 为函数  y f x 的“拐点”．有 同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．” 请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数   3 23 132 4f x x x x    ，则  f x 的对称中心 为____________；计算 1 2 3 2020 2021 2021 2021 2021f f f f                         =______________． 四、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 已知全集为 R . 函数 ( ) log ( 1)f x x  的定义域为集合 A ，集合  2 2 0B x x x    . （1）求 A B ；（2）若  1C x m x m    ，  RC B ð ，求实数 m 的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 从① 4B  ，② 3 2 sina B 这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答. 已知 ABC 中， a ，b ， c 分别是内角 A ， B ，C 所对的边，且 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C   . （1）求角 A ； （2）已知 6b  ，且_________，求sinC 的值及 ABC 的面积.（注：如果选择多个条件分别解 答，按第一个解答计分） 19.（本小题满分 12 分）已知函数    2cos 3sin cos 1f x x x x   ． （Ⅰ）求  f x 在区间 0, 上的单调递增区间； （Ⅱ）若  0,  ， 2 2 3f      ，求sin 3     的值． 20.（本小题满分 12 分）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水 果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料 x （单位：千 克）满足如下关系：  25 3 , 0 2 ( ) 50 , 2 51 x x W x x xx         ，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如 培育管理、施肥等人工费） 20x 元．已知这种水果的市场售价大约为 15 元／千 克，且销路畅通供 不应求．记该水果树的单株利润为 ( )f x （单位：元）． （Ⅰ）求 ( )f x 的函数关系式； （Ⅱ）当施用肥料 为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 21．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， (1,cos )A x ， (1 sin ,cos )B x x ，且 0, 2x      ，A，B，C 三点满足 2 1 3 3OC OA OB    . （1）求证：A，B，C 三点共线； （2）若函数 21( ) 2 | |3f x OA OC m AB m            的最小值为14 3 ，求实数 m 的值. 22.（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) x xf x e e  ，其中 e 是自然对数的底数． （1）若关于 x 的不等式 )(xmf ≤ 1xe m   在 ),0(  上恒成立，求实数 m 的取值范围； （2）已知正数 a 满足：存在 ),1[0 x ，使得 )3()( 0 3 00 xxaxf  成立．试比较 1ae  与 1ea  的大小， 并证明你的结论． 高 2021 届第一次调研考试·数学试题参考答案·第 1页（共 3 页） 高 2021 届第一次调研考试 数学试题参考答案 1—5. ABDCB 6—8. BDA 9. BC 10. AD 11. BCD 12. ABD 13. 9 14. 3 4 i 15. 1 2  16. 1 ,12      2020 17. 解：（1）由 1 0x   得，函数  f x 的定义域  1A x x  ， 又 2 2 0x x   ， 得  2B x x  或 1x   ， ∴  2A B x x   .………………………………………………………………………………5 分 （2）∵  1 2C x x    ， ①当C   时，满足要求， 此时1 m m  ， 得 1 2m  ；………………………………………7 分 ②当C   时，要  1 2C x x    ，则 1 1 1 2 m m m m         ，解得 1 22 m  ； 由①② 得， 2m  ，∴ 实数 m 的取值范围 ,2 .……………………………………………10 分 18. 解：（1）因为 2 2 2sin sin sin sin sinA B C B C   ， 由正弦定理得 2 2 2a b c bc   ， 即 2 2 2 1 2 2 b c a bc     ， 得 1cos 2A   ， 又 0 A   ， 所以 2 3A  ；…………………………………………………………………………………………6 分 （2）选择①时： 4B  ， 2 3A  ， 故 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 4C A B A B A B      ； 根据正弦定理 sin sin a b A B  ，故 3a  ， 故 1 9 3 3sin2 4S ab C   .…………………………………………………………………………12 分 选择②时： 3 2 sina B ，根据正弦定理 sin sin a b A B  ， 故 6 sin3 2 3 2 sin B B  ， 解得 2sin 2B  ， 6 2sin sin( ) sin cos cos sin 4C A B A B A B      ， 根据正弦定理 sin sin a b A B  ，故 3a  ， 故 1 9 3 3sin2 4S ab C   .…………………………………………………………………………12 分 19. 解：（Ⅰ）     22cos 3sin cos 1 2 3sin cos 2cos 1f x x x x x x x      3sin 2 cos2 2sin 2 6        x x x ． 令 2 2 22 6 2k x k         ， k Z ，得 3 6k x k       ， k Z ． 令 0k  ，得 3 6x    ；令 1k  ，得 2 7 3 6x   . 因此，函数  y f x 在区间 0, 上的单调递增区间为 0 6,     ， 2π ,π3      ；……………………6 分 高 2021 届第一次调研考试·数学试题参考答案·第 2页（共 3 页） （Ⅱ）由 2 2 3f      ，得 1sin 6 3      ．  0,  ， 7,6 6 6          ， 又 π 1 1sin 6 3 2       ， ,6 2         ， 2 2 2cos 1 sin6 6 3                    ． 因此，sin sin sin cos cos sin3 6 6 6 6 6 6                                          1 3 2 2 1 3 2 2 3 2 3 2 6            ．……………………………………………………………12 分 20. 解：（Ⅰ）由已知      15 20 10 15 30f x W x x x W x x      215 5 3 30 ,0 2, 5015 30 , 2 51 x x x x x xx             275 30 225,0 2, 750 30 , 2 5.1 x x x x x xx           ……………………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得     2 2 175 222,0 2,75 30 225,0 2, 5=750 30 , 2 5. 25780 30 1 , 2 5.1 1 x xx x x f x x x x x xx x                                 当 0 2x  时，    max 2 465f x f  ； 当 2 5x  时，    25780 30 11f x xx         25780 30 2 1 4801 xx       当且仅当 25 11 xx   时，即 4x  时等号成立． 因为 465 480 ，所以当 4x  时，  max 480f x  ． 答：当施用肥料为 4 千克时，种植该果树获得的最大利润是 480 元．……………………………12 分 21. 解：证明：（1）∵在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， (1,cos )A x ， (1 sin ,cos )B x x ，且 0, 2x      ， A，B，C 三点满足 2 1 3 3OC OA OB    . ∴ 2 1 1 1( )3 3 3 3AC OC OA OA OB OA OB OA AB                ， ∴ AC AB  ∥ . 又 AC  ， AB  有公共点 A，∴A，B，C 三点共线.……………………………………………………5 分 （2）∵ (1,cos )OA x ， (1 sin ,cos )OB x x  ， 0, 2x      ， ∴ 2 1 2 1(1,cos ) (1 sin ,cos )3 3 3 3OC OA OB x x x       11 sin ,cos3 x x     ， ∴ 211 sin cos3OA OC x x     ， 2| | sin sinAB x x  ， ∴函数 21( ) 2 | |3f x OA OC m AB m            2 21 11 sin cos 2 sin3 3x x m x m         ， 即 2 22( ) 1 2 sin cos3f x m x x m        2 22sin 2 3 sin 2= x m x m        2 21 2 19sin 23 3 9x m m m             . ∵ 0, 2x      ，∴sin [0,1]x . ①当 1 2 1 3m+  ，即 1 6m  时，当sin 1x  时， 高 2021 届第一次调研考试·数学试题参考答案·第 3页（共 3 页） 2 2 min 2 5 14( ) 1 2 2 23 3 3f x m m m m          ， 解得 3m   或 1m  ，又 1 6m  时，∴ 3m   . ②当 1 1 3 2m   ，即 1 6m  时，当sin 0x  时， 2 min 14( ) 2 3f x m   ，解得 2 6 3m   ， 又 1 6m  ，∴ 2 6 3m  ， ∴综上所述，m 的值为 3m   或 2 6 3m  ………………………………………………………12 分 22. 解：（1）由题意， (e e ) e 1x x xm m   ≤ ，即 (e e 1) e 1x x xm    ≤ ∵ (0 )x  ， ，∴ e e 1 0x x   ，即 e 1 e e 1 x x xm     ≤ 对 (0 )x  ， 恒成立 令 e ( 1)xt t  ，则 2 1 1 tm t t   ≤ 对任意 (1 )t   ， 恒成立 ∵ 2 2 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 31 11 t t t t t t t t               ≥ ， 当且仅当 2t  时等号成立 ∴ 1 3m ≤ ………………………………………………………………………………………………5 分 （2） '( ) e ex xf x   ，当 1x  时 '( ) 0f x  ，∴ ( )f x 在 (1 ) ， 上单调增 令 3( ) ( 3 )h x a x x   ， '( ) 3 ( 1)h x ax x   ∵ 0 1a x ， ，∴ '( ) 0h x  ，即 ( )h x 在 (1 )x  ， 上单调减 ∵存在 0 [1 )x   ， ，使得 3 0 0 0( ) ( 3 )f x a x x   ，∴ 1(1) e 2ef a   ， 即  1 1e2 ea   ∵ e-1 e 1 1 1ln ln ln e (e 1)ln 1e a a a a a a         设 ( ) (e 1)ln 1m a a a    ，则  e 1 e 1 1 1'( ) 1 e2 e am a aa a       ， 当  1 1e e 12 e a    时， '( ) 0m a  ， ( )m a 单调增； 当 e 1a   时， '( ) 0m a  ， ( )m a 单调减 而 (1) (e) 0m m  且 1 11 2 e e      ∴当 ea  时， ( ) 0m a  ， e 1 1eaa   ； 当  1 1e e2 e a   时， ( ) 0m a  ， e 1 1eaa   ； 当 ea  时， ( ) 0m a  ， e 1 1eaa   ．…………………………………………………………………12 分