2018届二轮复习导数及其应用学案（全国通用）

2018届二轮复习导数及其应用学案（全国通用）

‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探 ‎ 考查频率 导数的概念及计算 从近三年高考情况 看，导数的概念及计算一直是高考中的热点，对本知识的考查主要是导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则.‎ 导数的应用也一直是高考的热点，尤其是导数与函数的单调性、极值、最值问题是高考考查的重点内容，一般以基本初等函数为载体，考查导数的相关知识及应用，题型有选择题、填空题，也有解答题中的一问，难度一般较大，常以把关题的位置出现．解题时要熟练运用导数与函数单调性、极值与最值之间的关系，理解导数工具性的作用，注重数 思想和方法的应用.‎ ‎2017课标全国I 14[ : ]‎ ‎2015课标全国I 14‎ ‎2016课标全国III 16[ : ][ :Z|xx|k.Com]‎ ‎2015课标全国II 16‎ ‎2016课标全国II 20（I）‎ ‎★★★★★‎ 导数的应用 ‎ ‎2017课标全国I、II、III 21‎ ‎2016课标全国I 12、21‎ ‎2016课标全国II 20、III 21‎ ‎2015课标全国I、II 21‎ ‎★★★★★‎ 考点1 导数的概念及计算 题组一 导数的计算 调研1 已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)＝‎ A．−e B．−1‎ C．1 D．e ‎【答案】B ‎【解析】∵f(x)＝2xf ′(1)＋ln x，∴f ′(x)＝[2xf ′(1)]′＋(ln x)′＝‎2f ‎′(1)＋，∴f ′(1)＝‎2f ‎′(1)＋1，即f ′(1)＝−1.故本题选B． ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．导数计算的原则和方法 ‎（1）原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．‎ ‎（2）方法：‎ ‎①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；‎ ‎②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；‎ ‎③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；‎ ‎④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；‎ ‎⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.‎ ‎2．运用基本初等函数求导公式和运算法则求函数在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：‎ ‎（1）分析函数的结构和特征；‎ ‎（2）选择恰当的求导公式和运算法则求导；‎ ‎（3）整理得结果.‎ ‎3．求较复杂函数的导数的方法 对较复杂的函数求导数时，先化简再求导.如对数函数的真数是根式或分式时，可用对数的性质将真数转化为有理式或整式求解更为方便；对于三角函数，往往需要利用三角恒等变换公式，将函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导.‎ 题组二 导数的几何意义 调研2 曲线y＝在点(1，0)处的切线方程为________．‎ ‎【答案】y＝x−1‎ ‎【解析】设f(x)＝，则f ′(x)＝，所以f ′(1)＝1.所以曲线y＝在点(1，0)处的切线方程为y＝x−1.‎ 调研3 若在曲线y＝e−x上的点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．‎ ‎【答案】(−ln 2，2)‎ ‎【解析】设P(x0，y0)，∵，∴y′＝−e−x，∴点P处的切线斜率为k＝−e−x0＝−2，‎ ‎∴−x0＝ln 2，∴x0＝−ln 2，∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(−ln 2，2)． ‎ 调研4 已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴.‎ ‎∵ex>0，∴，当且仅当，即x＝0时等号成立．‎ ‎∴y′∈[−1，0)，∴tanα∈[−1，0)．又α∈[0，π)，∴α∈.‎ 调研5 已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x−ln x存在与直线x＋y−1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是 A． B． C．[−1，＋∞) D．(−∞，−1]‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知曲线上存在某点的导数为1，所以y′＝2ax＋3−＝1有正根，即2ax2＋2x−1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a<0时，需满足Δ≥0，解得−≤a<0.综上，a≥−.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 导数的几何意义是每年高考的重点内容，考查题型多为选择题或填空题，有时也会作为解答题中的第一问，难度一般不大，属中低档题型，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，常见的类型及解法如下：‎ ‎（1）已知切点P(x0，y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；‎ ‎（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；‎ ‎（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．‎ ‎（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．‎ ‎（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.‎ ‎②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．‎ 考点2 导数的应用 题组一 利用导数研究函数的单调性 调研1 已知函数f(x)＝x2＋2ax−lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意知f ′(x)＝x＋‎2a−≥0在上恒成立，即‎2a≥−x＋在上恒成立，‎ ‎∵＝，∴‎2a≥，即a≥. ‎ 调研2 已知函数f(x)＝x·ln x，g(x)＝ax3−x−.‎ ‎（1）求f(x)的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点处存在公共切线，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）f(x)的单调递增区间为；（2）.‎ ‎【解析】（1）∵f ′(x)＝ln x＋1，由f ′(x)>0，得x>，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为.‎ ‎（2）f ′(x)＝ln x＋1，g′(x)＝3ax2−，‎ 设公切点的横坐标为x0，则与f(x)的图象相切的直线方程为：y＝(ln x0＋1)x−x0，‎ 与g(x)的图象相切的直线方程为：y＝x−2ax−，‎ ‎∴，解之得x0ln x0＝−，‎ 易求得x0＝，‎ ‎∴a＝. ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 函数的单调性及应用是高考中的一个重点内容，题型多以解答题的形式呈现.常见的题型及其解法如下：‎ ‎1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：‎ ‎（1）求f ′(x)；‎ ‎（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；‎ ‎（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．‎ 注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．‎ ‎2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.‎ ‎3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法 ‎（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或 ‎)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；‎ ‎（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；‎ ‎（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.‎ ‎4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.‎ 题组二 利用导数研究函数的极值与最值 调研3 已知函数f(x)＝−x3＋ax2−4在x＝2处取得极值，若m，n∈[−1，1]，则f(m)＋f ′(n)的最小值是________．‎ ‎【答案】−13‎ ‎【解析】f ′(x)＝−3x2＋2ax，根据已知得，即a＝3，所以f(x)＝−x3＋3x2−4.‎ 根据函数f(x)的单调性，可得函数f(m)在[−1，1]上的最小值为f(0)＝−4，‎ 又f ′(n)＝−3n2＋6n在[−1，1]上单调递增，所以f ′(n)的最小值为f ′(−1)＝−9.‎ 所以[f(m)＋f ′(n)]min＝f(m)min＋f ′(n)min＝−4−9＝−13. ‎ 调研4 已知f(x)＝ex(x3＋mx2−2x＋2)．‎ ‎（1）假设m＝−2，求f(x)的极大值与极小值；‎ ‎（2）是否存在实数m，使f(x)在[−2，−1]上单调递增？如果存在，求m的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）f(x)的极大值为2，极小值为−37e−3和−2e2；（2）存在，m∈(−∞，4].‎ ‎【解析】（1）当m＝−2时，f(x)＝ex(x3−2x2−2x＋2)，其定义域为(−∞，＋∞)．‎ 则f ′(x)＝ex(x3−2x2−2x＋2)＋ex(3x2−4x−2)＝xex(x2＋x−6)＝(x＋3)x(x−2)ex，‎ ‎∴当x∈(−∞，−3)或x∈(0，2)时，f ′(x)<0；当x∈(−3，0)或x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，‎ 又f ′(−3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，‎ ‎∴f(x ‎)在(−∞，−3)上单调递减，在(−3，0)上单调递增；在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴当x＝−3或x＝2时，f(x)取得极小值；当x＝0时，f(x)取得极大值，‎ ‎∴f(x)极小值＝f(−3)＝−37e−3，f(x)极小值＝f(2)＝−2e2，f(x)极大值＝f(0)＝2.‎ ‎（2）f ′(x)＝ex(x3＋mx2−2x＋2)＋ex(3x2＋2mx−2)＝xex[x2＋(m＋3)x＋‎2m−2]．‎ ‎∵f(x)在[−2，−1]上单调递增，‎ ‎∴当x∈[−2，−1]时，f ′(x)≥0.‎ 又∵当x∈[−2，−1]时，xex<0，‎ ‎∴当x∈[−2，−1]时，x2＋(m＋3)x＋‎2m−2≤0，‎ ‎∴，解得m≤4，‎ ‎∴当m∈(−∞，4]时，f(x)在[−2，−1]上单调递增．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．函数极值问题的常见类型及解题策略 ‎（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．‎ ‎（2）求函数极值的方法：‎ ‎①确定函数的定义域．‎ ‎②求导函数．‎ ‎③求方程的根．‎ ‎④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．‎ ‎（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.‎ ‎2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法 ‎（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b ‎)一个为最大值，一个为最小值．‎ ‎（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．‎ 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.‎ ‎（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.‎ 题组三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系 调研5 已知定义在R上的函数f(x)满足f(−3)＝f(5)＝1，f ′(x)为f(x)的导函数，且导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<1的解集是 A．(−3，0)　　　　　　 B．(−3，5)‎ C．(0，5) D．(−∞，−3)∪(5，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意得，当x>0时，f ′(x)>0，f(x)是增函数；当x<0时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．又f(−3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(−3，5)，选B． ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.‎ ‎2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.‎ 题组四 生活中的优化问题和导数与方程、不等式等的综合问题 调研6 已知f(x)＝lnx−x＋a＋1.‎ ‎（1）若存在x∈(0，＋∞)，使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）求证：在（1）的条件下，当x>1时，x2＋ax−a>xlnx＋成立．‎ ‎【答案】（1）[0，＋∞)；（2）见解析. ‎ ‎【解析】（1）原题即为存在x>0，使得lnx−x＋a＋1≥0成立，‎ ‎∴a≥−lnx＋x−1，‎ 令g(x)＝−lnx＋x−1，则g′(x)＝−＋1＝.‎ 令g′(x)＝0，解得x＝1. ‎ ‎∵当01时，g′(x)>0，g(x)为增函数，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.‎ 故a的取值范围是[0，＋∞)．‎ ‎（2）原不等式可化为x2＋ax−xlnx−a−>0(x>1，a≥0)．‎ 令G(x)＝x2＋ax−xlnx−a−，则G(1)＝0.‎ 由（1）可知x−lnx−1>0，则G′(x)＝x＋a−lnx−1≥x−lnx−1>0，‎ ‎∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴G(x)>G(1)＝0成立，‎ ‎∴x2＋ax−xlnx−a−>0成立，即x2＋ax−a>xlnx＋成立．‎ ‎【思路分析】（1）原题即为存在x>0，使得a≥−lnx＋x−1成立，即该不等式有解，求函数g(x)＝−lnx＋x−1的单调性和最小值即可；‎ ‎（2）原不等式转化为G(x)＝x2＋ax−xlnx−a−>0，研究这个函数的单调性，求得这个函数的最值大于0即可. ‎ 调研7 将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分．‎ ‎（1）在图甲的方式下，剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面，求该圆锥的母线长及底面 半径；‎ ‎（2）在图乙的方式下，剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面，求长方体体积的最大值．‎ ‎【答案】（1）底面半径为分米，母线长为分米；（2）立方分米．‎ ‎【解析】（1）设圆锥的母线长及底面半径分别为，则解得 ‎ ‎（2）设被完全覆盖的长方体底面边长为，宽为，高为，‎ 则解得 ‎ 则长方体的体积：‎ ‎， ‎ 所以．‎ 令，得或（舍去）．‎ 列表：‎ 所以，当时，．‎ ‎【思路分析】（1）设圆锥母线长为l，圆锥底面圆半径为r，则有，，从而可解得l，r.‎ ‎（2）设长方体的棱长分别为x，y，z，则有从而可得所以长方体的体积，利用导数可求得其最大值．‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：‎ ‎（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.‎ ‎（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.‎ ‎2．生活中的优化问题 ‎（1）实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数 求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.‎ ‎（2）‎ 实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．‎ ‎3．利用导数研究函数综合问题的一般步骤：‎ ‎（1）确定函数的定义域，审清题意，确定解题方向，明确出发点．‎ ‎（2）进行合理转化，构造函数关系，进行求导．‎ ‎（3）利用导数研究函数的单调性，确定极值或最值，有参数时进行分类讨论．‎ ‎（4）利用极值或最值，判断函数的零点，得出正确结论．‎ ‎（5）反思回顾，查看关键点、易错点及解题过程的规范性．‎ ‎1．（江西省重点中 盟校2018届高三第一次联考）函数的图象在原点处的切线方程为 A． B． ‎ C． D．不存在 ‎【答案】C ‎【解析】函数的导数为，在原点处的切线斜率为，则在原点处的切线方程为，即为，故选C． ‎ ‎2．（齐鲁名校教 研协作体山东、湖北部分重点中 2018届高三第一次调研）已知函数，则的值为 A． B．0 ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎3．（河南省漯河市高级中 2018届高三上 期第三次模拟考试（期中））正项等比数列中的是函数的极值点，则的值为 A． B． ‎ C． D．与的值有关 ‎【答案】C ‎【解析】，则，，，‎ ‎，故选C．‎ ‎4．（广州市2018届高三上 期第一次调研测试）已知直线与曲线相切，则实数的值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得，设切点为，则，，‎ ‎ ，，对比，，，故选D．‎ ‎5．（河南省林州市第一中 2018届高三12月调研考试）设曲线上任一点处的切线斜率为，则函数的部分图象可以为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎6．（广西贵港市2018届高三上 期12月联考）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，所以，‎ 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，当时，，所以，故选D． ‎ ‎7．（河南省豫南豫北2018届高三第二次联考联评试卷）若关于的方程有唯一的实数解，则正数 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎8．（四川省成都市龙泉第二中 2018届高三高考模拟考试）已知函数的定义域为，对任意，都有成立，则不等式的解集为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令函数，则，则函数是单调递减函数，且满足，故不等式可化为，即原不等式的解集为，应选C．‎ ‎【名师点睛】本题求解时，充分运用题设条件中的有效信息，巧妙构造函数，借助导数与函数的单调性之间的关系先断定函数的单调 ‎ 性，再将原不等式进行等价转化，依据函数的单调性建立不等式，通过解不等式使得问题巧妙获解.‎ ‎9．（安徽省蒙城县第一中 、淮南第一中 等2018届高三上 期“五校”联考）已知定义在上的函数是它的导函数，恒有成立，则 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎10．（四川省成都市第七中 2018届高三上 期一诊）已知函数若成立，则的最小值为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎11．（江西省南昌市2018届高三第一轮复习训练题）若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由，得所以故答案为1.‎ ‎12．（2017−2018 年度第一 期江苏省南通如皋市高三年级第一次联考）已知函数在区间上存在最值，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴题中问题等价于，即，解得，故答案为.‎ ‎13．（广东省五校（阳春一中、肇庆一中、真光中 、深圳高级中 、深圳二高）2018届高三12月联考）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；‎ ‎（2）若对任意，都有，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【思路分析】（1）由曲线在处的切线与轴垂直，可得，即，再求出的导函数可得的单调性，从而可得．‎ ‎（2）易知等价于函数 在上单调递减，即在上恒成立，再利用导数研究函数的单调性，求出的最大值即可得结果.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：‎ ‎(1)已知切点求斜率，即求该点处的导数；‎ ‎(2)已知斜率求切点参数，即解方程；‎ ‎(3)已知切线过某点(不是切点)求切点，设出切点利用求解.‎ ‎14．（陕西省榆林市第二中 2018届高三上 期第七次模拟考试）已知函数．‎ ‎（1）试讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，且，求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ 设，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 因此只需证明当时，不等式成立即可，即不等式成立．‎ 设函数，由（1）可知，在上单调递增，‎ 故，‎ 即证得当时，，亦即证得，‎ 所以，即证得．‎ ‎【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了利用导数研究函数极值点，采用变量集中的方法证明不等式，对式子的变形处理能力要求较高，属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎1．（2016新课标全国Ⅰ文 ）若函数在上单调递增，则a的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎2．（2017新课标全国Ⅰ文 ）曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，所以，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其具体求法为：‎ 设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程是．若曲线在点处的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ ‎3．（2016新课标全国Ⅲ文 ）已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即．‎ ‎4．（2015新课标全国Ⅰ文 ）已知函数的图象在点处的切线过点，则 .‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【解析】∵，∴，即切线斜率，‎ 又∵，∴切点为，∵切线过(2，7)，∴，解得.‎ ‎5．（2015新课标全国Ⅱ文 ）已知曲线在点(1，1)处的切线与曲线相切，则a=　　　　.‎ ‎【答案】8 ‎ ‎ 2ax+a+2=2，得x=，代入，得，∴点在y=ax2+(a+2)x+1的图象上，故，∴a=8.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查利用导数求曲线的切线，直线与抛物线的位置关系的问题，意在考查考生的运算求解能力，对数形结合思想与分类讨论思想的应用也有较高要求.‎ ‎6．（2017新课标全国Ⅰ文 ）已知函数=ex(ex−a)−a2x．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：‎ ‎（1）函数单调性的讨论：运用导数知识 讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；‎ ‎（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值．‎ ‎7．（2016新课标全国Ⅰ文 ）已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ 存在两个零点；若，则由（1）知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.‎ 综上，a的取值范围为.‎ ‎【名师点睛】本题第（1）问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（2）问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识，越 越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解.‎ ‎8．（2016新课标全国II文 ）已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎ ‎ ‎(2)求导数y′＝f ′(x)；‎ ‎(3)解不等式f ′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f ′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎9．（2015新课标全国I文 ）设函数.‎ ‎（1）讨论的导函数,零点的个数；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）当时，没有零点；当时，存在唯一零点；（2）见解析.‎ ‎ ‎