数学文卷·2017届湖北省孝感市高三上学期第一次统一考试（2016

数学文卷·2017届湖北省孝感市高三上学期第一次统一考试（2016

‎ ‎ 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 集合，则( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 若复数满足，则在复平面内表示复数的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4. 从4,5,6,7,8这5个数中任取两个数，则所取两个数之积能被3整除概率是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知实数满足，则目标函数的最大值为( )‎ A．-3 B． C. 5 D．6‎ ‎6. 某程序框图如图所示，若输入输出的分别为3和1,则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 设，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 若，则（ ）‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎9. 一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列，若，且成等比数列，则此样本数据的中位数是（ ）‎ A．6 B．7 C.8 D．9‎ ‎10. 将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线 (斜率不为零)与椭圆交于两点，为椭圆的左、右焦点，则四边形的周长为（ ）‎ A．4 B． C. 8 D．‎ ‎12. 定义域在上的奇函数，当时，，则关于的方程所有根之和为，则实数的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知两向量与满足，且，则与的夹角为 ．‎ ‎14. 《九章算术》中有一个“两鼠穿墙”问题：“今有垣(墙，读音)厚五尺，两鼠对穿，大鼠日（第一天）一尺，小鼠也日（第一天）一尺.大鼠日自倍（以后每天加倍）,小鼠日自半（以后每天减半）.问何日相逢，各穿几何？”‎ 在两鼠“相逢”时，大鼠与小鼠“穿墙”的“进度”之比是 ： ．‎ ‎15. 在锐角中，已知，其面积，则 ．‎ ‎16. 函数图像上不同两点处的切线的斜率分别是，规定 (为线段的长度)叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”. ①函数图象上两点与点的横坐标分别为1和2, ；‎ ‎②设曲线上不同两点，且，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）设正项等比数列的前项和为，且满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列，求的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，底面为平行四边形， ，与交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）直线与过直线的平面平行，平面与棱交于点，指明点的位置，并证明.‎ ‎19. （本小题满分12分）经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量 (升)与速度 (千米／每小时) 的关系可近似表示为：‎ ‎（Ⅰ）该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？‎ ‎（Ⅱ）已知两地相距120公里，假定该型号汽车匀速从地驶向地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？‎ ‎20. （本小题满分12分）双曲线的左、右焦点分别为，过作轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12,抛物线以双曲线的右顶点为焦点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在处取得极值，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）在(Ⅰ)的条件下，函数 (其中为函数的导数)的图像关于直线对称，求函数的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为：‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若点在圆上，求的取值范围.‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解方程；‎ ‎（Ⅱ）若关于的不等式解集为空集，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: ADBAC 6-10:AAACB 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 120° 14.59:26 15. 3 16. ，‎ 三、解答题 ‎17.（Ⅰ） 设正项等比数列的公比为，则 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 故当时，‎ ‎∴当时，‎ 当时，‎ ‎∴‎ ‎18. （Ⅰ）证明：∵，∴面 ‎∴‎ 又已知为平行四边形，且，∴四边形为菱形，‎ ‎∴，∴平面 又平面，∴平面⊥平面 ‎（Ⅱ）点是棱的中点 证明：如图，连接，∵∥平面 平面平面，平面 ‎∴∥‎ 又∵点为的中点，∴点为的中点 ‎19.(Ⅰ) 当时，‎ ‎，有最小值 当，函数单调递减，故当时，有最小值10‎ 因，故时每小时耗油量最低 ‎（Ⅲ）设总耗油量为由题意可知：‎ ‎①当时，‎ 当且仅当，即时，取得最小值16‎ ‎②当时，为减函数 当，取得最小值10‎ ‎∵，所以当速度为120时，总耗油量最少 ‎20.（Ⅰ）设，则 令代入的方程有：‎ ‎∴‎ ‎∴，故，即 ‎∴抛物线的方称为：‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，则 直线的方称为，代入抛物线的方程有：‎ 当时，‎ ‎∴直线的方程为：，即 ‎∴此时直线过定点 当时，直线的方称为：，此时仍过点 即证直线过定点 ‎21.（Ⅰ） 由有 因为在处取得极值，故 ‎∴ 经检验：当时，符合题意，故 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：‎ ‎∵的图像关于直线对称，故函数为偶函数 又 ‎∴，解得 ‎∴‎ ‎∴ 令有或 令有或 ∴函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减 ‎∴函数的最大值为 22.由有 ‎ 即 ∵代入上式有圆的普通方程为：‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知圆的参数方程为，为参数 ∴‎ ‎∴的取值范围为 (其它方法酌情给分) 23. （Ⅰ）由 ∴原方程等价于或或 解得：或或 即方程的解为 （Ⅱ）∵关于的不等式解集为空集 ∴‎ 又∵‎ ‎∴‎