2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十六直接证明与间接证明、数学归纳法理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评三十六直接证明与间接证明、数学归纳法理北师大版

核心素养测评三十六 直接证明与间接证明、数学归纳法 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.(2019·太原模拟)下列说法不正确的是 (　　)‎ A.综合法是由因导果顺推证法　‎ B.分析法是执果索因逆推证法　‎ C.综合法和分析法都是直接证法　‎ D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用 ‎【解析】选D.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即A,B,C正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确.‎ ‎2.(2020·长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a,b全为0”,其反设正确的是 (　　)‎ A.a,b全为0‎ B.a,b中只有一个为0　‎ C.a,b至少有一个为0‎ D.a,b至少有一个不为0‎ ‎【解析】选D.“a,b全为0(a,b∈R)”的否定为:“a,b至少有一个不为0”.‎ ‎3.(2019·三明模拟)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n应等于 (　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1　 B.4　　 C.5　　 D.6‎ ‎【解析】选D.n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49,‎ 所以初始值n应等于6.‎ ‎4.设n∈N,则-与-的大小关系是 (　　)‎ A.->-‎ B.-<-‎ C.-=-‎ D.不能确定 - 8 -‎ ‎【解析】选B.由题意知,(-)-(-)=(+‎ ‎)-(+),‎ 因为(+)2-(+)2‎ ‎=2[-]‎ ‎=2(-)<0,‎ 所以-<-.‎ ‎5.(2020·湖州模拟)用数学归纳法证明不等式++…+≥(n∈N*),则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 (　　)‎ A.‎ B.-‎ C.++‎ D.+-‎ ‎【解析】选D.当n=k时,‎ 等式左端=++…+,‎ 当n=k+1时,等式左端=++…+,增加了+-.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.(2019·平遥模拟)用数学归纳法证明某个命题时,左边为1·2·3·4+2·3·4·5+…+n·(n+1)·(n+2)·(n+3),从n=k到n=k+1左边需增加的代数式为________________. ‎ ‎【解析】用数学归纳法证明左边为1·2·3·4+2·3·4·5+…+n·(n+1)·(n+2)·(n+3)的过程中,‎ 从n=k到n=k+1时,左边需增加的代数式是(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4)‎ 答案:(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4)‎ - 8 -‎ ‎7.(2020·南通模拟)用反证法证明命题:“若(a-1)·(b-1)·(c-1)>0,则a,b,c中至少有一个大于1”时,要做的假设是“假设a,b,c________________”. ‎ 答案:都不大于1‎ ‎8.(2019·绍兴模拟)用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+(n∈N*)”,第一步应验证的等式是________________,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是________________.  ‎ ‎【解析】用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+(n∈N*)”,‎ 第一步应验证的等式为:1-=;‎ 从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是:‎ ‎-‎ ‎=-.‎ 答案:1-=　-‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.在数列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).‎ ‎(1)求a2,a3,a4.‎ ‎(2)猜想{an}的通项公式,并加以证明.‎ ‎【解析】(1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,‎ a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,‎ a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.‎ ‎(2)由(1)可猜想数列通项公式为:‎ an=(n-1)λn+2n.‎ - 8 -‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=1,2,3,4时,等式显然成立,‎ ‎②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时等式成立,‎ 即ak=(k-1)λk+2k,‎ 那么当n=k+1时,‎ ak+1=λak+λk+1+(2-λ)2k ‎=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k ‎=(k-1)λk+1+λk+1+2k+1‎ ‎=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,‎ 所以当n=k+1时,ak+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,猜想成立,‎ 由①②知数列的通项公式为an=(n-1)λn+2n(n∈N*,λ>0).‎ ‎10.设f(n)=1+++…+,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]对于n≥2的一切正整数都成立?并证明你的结论. ‎ ‎【解析】当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)-1],‎ 得g(2)===2,‎ 当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1],‎ 得g(3)===3,‎ 猜想g(n)=n(n≥2).‎ 下面用数学归纳法证明:‎ 当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立.‎ ‎①当n=2时,由上面计算知,等式成立.‎ ‎②假设n=k(k≥2)时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1]成立,‎ 那么当n=k+1时,‎ - 8 -‎ f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)‎ ‎=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k ‎=(k+1)-k ‎=(k+1)[f(k+1)-1],‎ 所以当n=k+1时,等式也成立.‎ 由①②知,对一切n≥2的正整数n,等式都成立.‎ 故存在函数g(n)=n,使等式成立.‎ ‎(15分钟　30分)‎ ‎1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是 (　　)‎ A.x2>2 B.x2>4‎ C.x2>0 D.x2>1‎ ‎【解析】选C.因为x>0,所以要证<1+,‎ 只需证()2<,即证0<,即证x2>0,‎ 因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.‎ ‎2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:‎ ‎①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;‎ ‎②a>b与a(n≥2)的过程中,设f(k)=++…+,从n=k递推到n=k+1时,不等式左边为 (　　)‎ A.f(k)+‎ B.f(k)++‎ C.f(k)++…+-‎ D.f(k)+-‎ ‎【解析】选C.当n=k时,左端=++…+,那么当n=k+1时,左端=++…+++…+,‎ 故第二步由k到k+1时,不等式左边为f(k)++…+-.‎ ‎【变式备选】‎ 已知n∈N*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=时.假设当n=k(k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是 (　　)‎ A.f(k+1)=f(k)+3k-5 ‎ - 8 -‎ B.f(k+1)=f(k)+3k-2‎ C.f(k+1)=f(k)+3k+1 ‎ D.f(k+1)=f(k)+3k+4‎ ‎【解析】选C.因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+…+(3k-2)=,‎ 则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1.‎ ‎4.(5分)(2019·太原模拟)用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设________________. ‎ ‎【解析】“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.‎ 答案:x≠-1且x≠1‎ ‎5.(10分)已知数列{an}满足:a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. ‎ ‎(1)求证:数列为等差数列,并求出数列{an}的通项公式.‎ ‎(2)记bn=(n∈N*),用数学归纳法证明:b1+b2+…+bn<1-,n∈N*.‎ ‎【证明】(1)a1=2,nan+1=(n+1)an+n(n+1),‎ 可得=+1,则数列为首项为2,公差为1的等差数列,则=2+n-1=n+1,即an=n(n+1).‎ ‎(2)bn==,‎ 当n=1时,b1=,1-=,即<;‎ 假设n=k时,不等式b1+b2+…+bk<1-成立,k∈N*.‎ - 8 -‎ 当n=k+1时,b1+b2+…+bk+bk+1<1-+,‎ 要证1-+<1-,即证<-,即证2(k+1)<2k+3,显然成立,即n=k+1时,不等式成立.则证得b1+b2+…+bn<1-,n∈N*.‎ - 8 -‎