2020年高中数学第一章三角函数1
1.6 三角函数模型的简单应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin 160πt＋115，其中f(t)为血压，
t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70
C．80 D．90
解析：由题意可得f＝＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80.
答案：C
2．y＝cos x|tan x|(－
0)的初相和频率分别为－π和，则它的相位是________．
解析：T＝＝，所以ω＝＝3π，所以相位ωx＋φ＝3πx－π.
答案：3πx－π
7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析：秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示sin ＝，所以d＝10sin .
答案：10sin
8．如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要________s往返一次．
解析：由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s往返一次．
答案：0.8
9．如图，点P是半径为r cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点P的运动周期和频率．
解析：当质点P从点P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ.
由任意角的三角函数得点P的纵坐标为
y＝rsin(ωt＋φ)，
7
即为所求的函数关系式．
点P的运动周期为T＝，
频率为f＝＝.
10．如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．
解析：依题意，有A＝2，＝3，
又T＝，所以ω＝.
所以y＝2sin x，x∈[0,4]．
所以当x＝4时，y＝2sin ＝3.
所以M(4,3)．又P(8,0)，
所以MP＝＝＝5(km)．
即M，P两点间的距离为5 km.
[B组 能力提升]
1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin (1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sin x＋7 (1≤x≤12，x∈N*)
7
D．f(x)＝2sin ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
解析：令x＝3，可排除D；令x＝7，可排除B；由A＝＝2，可排除C.
答案：A
2．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
解析：水轮每分钟旋转4圈，
即每秒钟旋转π rad，所以ω＝π.
所以水轮上最高点离水面的距离为r＋2＝5(米)．
即ymax＝A＋2＝5，所以A＝3.
答案：B
3．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|＝3，P0为圆周上一点，且∠AOP0＝，点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．
①1秒钟后，点P的横坐标为________；
②t秒钟后，点P到直线l的距离用t可以表示为________．
解析：①1秒钟后，点P从P0处绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动旋转了半周，此时点P与P0关于原点对称，从而点P的横坐标为－；
②由题意得，周期为2，则t秒钟后，旋转角为πt，
则此时点P的横坐标为2cos ，
所以点P到直线l的距离为3－2cos ，t≥0.
答案：①－ ②3－2cos (t≥0)
4．如图某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为________万度，最小用电量为________万度；
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(2)这段曲线的函数解析式为________．
解析：(1)由图象得最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40，
∵×＝14－8，∴ω＝，
∴y＝10sin＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝，
∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8,14]．
答案：(1)50 30 (2)y＝10sin＋40，x∈[8,14]
5.如图所示，四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中ATPS是一座小山在地面上所占据的部分，其形状是半径为90 m的扇形，P是上一点，其余都是平地，现一开发商准备在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大面积．
解析：连接PA，设∠PAB＝θ，延长RP交AB于M，
则AM＝90cos θm，MP＝90sin θ m，
∴PQ＝MB＝AB－AM＝(100－90cos θ)m，
PR＝MR－MP＝(100－90sin θ)m，
∴S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)
＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
设sin θ＋cos θ＝t(1
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