数学卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二上学期第二次联考数学试卷（理科）+（解析版）

数学卷·2018届江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二上学期第二次联考数学试卷（理科）+（解析版）

‎2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）‎ ‎1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．抛物线y=﹣x2的准线方程为（　　）‎ A． B．y=1 C．x=1 D．‎ ‎3．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎4．直线（为参数）的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎5．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎6．若f（x）=ex，则=（　　）‎ A．e B．2e C．﹣e D．‎ ‎7．用数学归纳法证明“”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（　　）‎ A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1‎ ‎8．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎10．不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x＜﹣ D．x≤﹣或x≥3‎ ‎11．曲线上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．曲线（α为参数）上的点到曲线ρcosθ﹣ρsinθ+1=0的最大距离为　　．‎ ‎14．若函数f（x）=2xf′（1）+x2，则f（﹣1）=　　．‎ ‎15．已知a＞0，不等式，可推广为，则a=　　．‎ ‎16．已知函数f （x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f （x0）=f′（x0），则称x0是f （x）的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是　　．（填上所有正确的序号）‎ ‎①f （x）=x2，‎ ‎②f（x）=sinx，‎ ‎③f （x）=lnx，‎ ‎④f （x）=tanx，‎ ‎⑤f（x）=x+．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）已知函数f（x）=x2+sinx+ex•cosx ‎（1）求该函数的导数f′（x）‎ ‎（2）求函数f（x）在x=0处的切线方程．‎ ‎18．（12分）已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：对任意x∈[0，8]，不等式log（x+1）≥m2﹣3m恒成立．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知数列{an}的前n项和记为Sn，若a2=a+2（a为常数），且Sn是nan与na的等差中项．‎ ‎（1）求a1，a3，a4；‎ ‎（2）猜想出an的表达式，并用数学归纳法进行证明．‎ ‎20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎21．（12分）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线﹣2于点M，N．‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，‎ 的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．‎ ‎（1）求曲线C的轨迹方程；‎ ‎（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高二（上）第二次联考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）‎ ‎1．已知点P（1，﹣），则它的极坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎【分析】根据点的直角坐标求出ρ，再由2=ρcosθ，﹣ =ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．‎ ‎【解答】解：∵点P的直角坐标为，∴ρ==2．‎ 再由1=ρcosθ，﹣ =ρsinθ，可得，结合所给的选项，可取θ=﹣，‎ 即点P的极坐标为 （2，），‎ 故选 C．‎ ‎【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．抛物线y=﹣x2的准线方程为（　　）‎ A． B．y=1 C．x=1 D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】将抛物线化成标准方程，得x2=﹣4y，由此求出=1，即可得到该抛物线的准线方程．‎ ‎【解答】解：∵抛物线方程化简，得x2=﹣4y，‎ ‎∴2p=4，可得=1，‎ 因此抛物线的焦点坐标为F（0，﹣1），准线方程为y=1．‎ 故选：B ‎【点评】本题给出抛物线的方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（　　）‎ A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】根据逆否命题的定义，直接作答即可，注意常见逻辑连接词的否定形式．‎ ‎【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”；‎ 故选D．‎ ‎【点评】此类题型考查四种命题的定义与相互关系，一般较简单，但要注意常见逻辑连接词的运用与其各自的否定方法、形式．‎ ‎　‎ ‎4．直线（为参数）的倾斜角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】直线的参数方程．‎ ‎【分析】求出直线的普通方程，得出直线的斜率，根据斜率计算倾斜角．‎ ‎【解答】解：由（为参数）得x+y=5+3．‎ ‎∴直线的斜率k=tanα=﹣．‎ ‎∴直线的倾斜角α=150°．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了直线的参数方程与普通方程的转化，直线的斜率与倾斜角，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是59，则m的值为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的“分裂数”中有一个是59时，m的值．‎ ‎【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，‎ ‎59是从3开始的第29个奇数 当m=7时，从23到73，用去从3开始的连续奇数共=27个 当m=8时，从23到83，用去从3开始的连续奇数共=35个 故m=8‎ 故选C ‎【点评】本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎6．若f（x）=ex，则=（　　）‎ A．e B．2e C．﹣e D．‎ ‎【考点】极限及其运算．‎ ‎【分析】=2=2f′（1），由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ex，‎ ‎∴f′（x）=ex，‎ ‎∴=2=2f′（1）=2e．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数概念、极限性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．用数学归纳法证明“”时，由n=k不等式成立，证明n=k+1时，左边应增加的项数是（　　）‎ A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】比较由n=k变到n=k+1时，左边变化的项，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：用数学归纳法证明等式”时，‎ 当n=k时，左边=1+++…+，‎ 那么当n=k+1时，左边=1+++…+，‎ ‎∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了共2k+1﹣2k=2k项，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　　）‎ A．（￢p）∨（￢q） B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示．‎ ‎【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，‎ q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，‎ 命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括 ‎“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”‎ 或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”‎ 或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况．‎ 所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（￢p）V（￢q）．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的真假，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（　　）‎ A．2 B． C． D．﹣2‎ ‎【考点】导数的几何意义．‎ ‎【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；‎ ‎（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．‎ ‎【解答】解：∵y=∴y′=﹣‎ ‎∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣‎ ‎∵切线与直线ax+y+1=0垂直 ‎∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．‎ ‎∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2‎ 故选D．‎ ‎【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）‎ ‎　‎ ‎10．不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）‎ A．x≥0 B．x＜0或x＞2 C．x＜﹣ D．x≤﹣或x≥3‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：解不等式2x2﹣5x﹣3≥0，得：x≥3或x≤﹣，‎ 故不等式2x2﹣5x﹣3≥0成立的一个必要不充分条件是：‎ x＜0或x＞2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及解不等式问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎11．曲线上的任意一点P处切线的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】设P（m，n），求出函数y的导数，求得切线的斜率，由二次函数的性质可得斜率的范围，再由直线的斜率公式k=tanα（0≤α＜π且α≠），即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：设P（m，n），‎ y=x3﹣x+2的导数为y′=3x2﹣，‎ 即有切线的斜率为k=3m2﹣，‎ 由直线的斜率公式k=tanα（0≤α＜π，且α≠），‎ 可得tanα≥﹣，‎ 解得α∈，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及直线的斜率公式和倾斜角的范围，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知O为坐标原点，F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），‎ 令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，‎ 可得P（﹣c，±），‎ 设直线AE的方程为y=k（x+a），‎ 令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），‎ 设OE的中点为H，可得H（0，），‎ 由B，H，M三点共线，可得kBH=kBM，‎ 即为=，‎ 化简可得=，即为a=3c，‎ 可得e==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．曲线（α为参数）上的点到曲线ρcosθ﹣ρsinθ+1=0的最大距离为　　．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】把曲线C的参数方程化为普通方程为 （x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆．求出圆心到直线的距离，将此距离再加上半径，即得所求．‎ ‎【解答】解：∵曲线（α为参数），消去参数化为普通方程为 （x﹣1）2+y2=1，‎ 表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆．‎ 曲线ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，即x﹣y+1=0，圆心到直线x﹣y+1=0的距离为d=，‎ 故曲线C上的点到直线x﹣y+1=0的距离的最大值为，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．若函数f（x）=2xf′（1）+x2，则f（﹣1）=　5　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】由函数解析式，求导，f′（1）=2f′（1）+‎ ‎2，代入即可求得f′（1）=﹣2，求得函数解析式，即可求得f（﹣1）．‎ ‎【解答】解：f（x）=2xf′（1）+x2，求导f′（x）=2f′（1）+2x，‎ f′（1）=2f′（1）+2，‎ ‎∴f′（1）=﹣2，‎ ‎∴f（x）=﹣4x+x2，‎ ‎∴f（﹣1）=4+1=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查导数的运算，求函数解析式，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．已知a＞0，不等式，可推广为，则a=　nn　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】由已知中不等式，归纳不等式两边各项的变化规律，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中不等式，‎ 归纳可得：不等式左边第一项为x．第二项为，右边为n+1，‎ 故第n个不等式为：x+≥n+1，‎ ‎∴a=nn．‎ 故答案为nn ‎【点评】本题考查了归纳推理，根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f （x）及其导数f′（x），若存在x0，使得f （x0）=f′（x0），则称x0是f （x）的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是　①②③⑤　．（填上所有正确的序号）‎ ‎①f （x）=x2，‎ ‎②f（x）=sinx，‎ ‎③f （x）=lnx，‎ ‎④f （x）=tanx，‎ ‎⑤f（x）=x+．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】求出函数的导数，使f（x）=f′（x），如果有解，则存在存在“巧值点”．‎ ‎【解答】解：对于①中的函数f（x）=x2，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x2=2x，‎ 解得x=0或2，∴函数有巧值点，故①正确；‎ 对于②中的函数，f（x）=sinx，f′（x）=cosx，要使f（x）=f′（x），则sinx=cosx，‎ 解得x=45°+k•360°，k∈Z或x=225°+k•360°，k∈Z，∴函数有巧值点，故②正确；‎ 对于③中的函数，f （x）=lnx，f′（x）=，要使f（x）=f′（x），则lnx=，‎ 由函数f（x）=lnx与y=的图象它们有交点，因此方程有解，∴函数有巧值点，故③正确；‎ 对于④中的函数，f （x）=tanx，，要使f（x）=f′（x），‎ 则tanx=，即sinxcosx=1，即sin2x=2，无解，∴原函数没有巧值点，故④错误；‎ 对于⑤中的函数，f（x）=x+，，要使f（x）=f′（x），‎ 则x+=1﹣，即x3﹣x2+x+1=0，‎ 设函数g（x）=x3﹣x2+x+1，g'（x）=3x2+2x+1＞0且g（﹣1）＜0，g（0）＞0，‎ ‎∴函数g（x）在（﹣1，0）上有零点，原函数有巧值点，故⑤正确．‎ 故答案为：①②③⑤．‎ ‎【点评】本题考查函数是否存在“巧值点”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•南昌县校级月考）已知函数f（x）=x2+sinx+ex•cosx ‎（1）求该函数的导数f′（x）‎ ‎（2）求函数f（x）在x=0处的切线方程．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．‎ ‎【分析】（1）利用导数公式，求该函数的导数f′（x）；‎ ‎（2）求出切线斜率，即可求函数f（x）在x=0处的切线方程．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=2x+cosx+（ex）′cosx+ex（cosx）′=2x+cosx+ex（cosx﹣sinx）…‎ ‎（2）k=f′（0）=2，切点为（0，1）．所以切线方程为y=2x+1…‎ ‎【点评】本题考查导数的几何意义，考查导数的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•南昌县校级月考）已知命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根；命题q：对任意x∈[0，8]，不等式log（x+1）≥m2﹣3m恒成立．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】命题p：方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，解得m；命题q：不等式log（x+1）≥m2﹣3m恒成立等价于m2﹣3m小于或等于log（x+1）在x∈[0，8]上的最小值，从而问题转化为利用单调性求函数f（x）=log（x+1）最小值问题，求得m的范围；若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，可得p与q必然一真一假，求解不等式组即可得答案．‎ ‎【解答】解：命题p：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4m＞0，解得m＜1；‎ 命题q：f（x）=log（x+1），则f（x）在（﹣1，+∞）上为减函数，∵x∈[0，8]，‎ ‎∴当x=8时，f（x）min=f（8）=﹣2．不等式log（x+1）≥m2﹣3m恒成立，‎ 等价于﹣2≥m2﹣3m，解得1≤m≤2．‎ p且q为假，p或q为真，则p与q有且只有一个为真．‎ 若p为真，q为假，那么，则m＜1．‎ 若p为假，q为真，那么，则1≤m≤2．‎ 综上所述m≤2．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了不等式恒成立问题的解法，恰当的将恒成立问题转化为求函数最值问题是解决本题的关键，考查了推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•南昌县校级月考）已知数列{an}的前n项和记为Sn，若a2=a+2（a为常数），且Sn是nan与na的等差中项．‎ ‎（1）求a1，a3，a4；‎ ‎（2）猜想出an的表达式，并用数学归纳法进行证明．‎ ‎【考点】数学归纳法．‎ ‎【分析】（1）利用数列递推式，代入计算可得结论；‎ ‎（2）利用（1）的结论，猜想an的表达式，再用数学归纳法证明．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得，‎ 当n=1时，，则a1=a，，而a2=a+2，‎ 于是可解得a3=a+4；同理可解得a4=a+6．‎ ‎（2）由（1）中的a1=a，a2=a+2，a3=a+4，a4=a+6，…，‎ 猜测出an=a+2（n﹣1）．‎ 数学归纳法证明如下：‎ ‎①当n=1时，a1=a=a+2（1﹣1），猜想成立；‎ 当n=2时，a2=a+2=a+2（2﹣1），猜想也成立．‎ ‎②假设当n=k（k∈N*，k≥2）时猜想成立，即ak=a+2（k﹣1），‎ 则当n=k+1时，‎ ‎ ，‎ 即（k﹣1）ak+1=kak﹣a，‎ 由k≥2可得，‎ 即ak+1=a+2k=a+2[（k+1）﹣1]，‎ 也就是说，当n=k+1时猜想也成立．‎ 由①、②可知对任意的n∈N*，an=a+2（n﹣1）都成立．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），‎ 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，‎ 即有椭圆C1： +y2=1；‎ 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，‎ 即有ρ（sinθ+cosθ）=2，‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，‎ 即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，‎ ‎|PQ|取得最值．‎ 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，‎ 联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，‎ 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，‎ 解得t=±2，‎ 显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，‎ 即有|PQ|==，‎ 此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，‎ 即为P（，）．‎ ‎【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•南昌县校级月考）已知E（2，2）是抛物线C：y2=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线﹣2于点M，N．‎ ‎（1）求抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）已知O为原点，求证：以MN为直径的圆恰好经过原点．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将E（2，2）代入y2=2px，可得抛物线方程及其焦点坐标；‎ ‎（2）设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量知识，计算=0，即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）解：将E（2，2）代入y2=2px，得p=1‎ 所以抛物线方程为y2=2x，焦点坐标为 ‎（2）证明：设，，M（xM，yM），N（xN，yN），‎ 设直线l方程为x=my+2，与抛物线方程联立，消去x，得：y2﹣2my﹣4=0‎ 则由韦达定理得：y1y2=﹣4，y1+y2=2m 直线AE的方程为：，即，‎ 令x=﹣2，得 同理可得：‎ ‎∴=4+yMyN=4+=4+=0‎ ‎∴OM⊥ON，即∠MON为定值．‎ ‎【点评】本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点E（﹣1，0）且与曲线C交于A，B两点．‎ ‎（1）求曲线C的轨迹方程；‎ ‎（2）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，由此能求出曲线C的方程．‎ ‎（2）存在△AOB面积的最大值．由直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为 x=my﹣1，由，得（m2+4）y2﹣2my﹣3=0．由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．解得，由此能求出S△AOB的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由椭圆定义可知，‎ 点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…‎ 故曲线C的方程为． …‎ ‎（2）存在△AOB面积的最大值．…‎ 因为直线l过点E（﹣1，0），设直线l的方程为 x=my﹣1或y=0（舍）．‎ 则 整理得 （m2+4）y2﹣2my﹣3=0．…（7分）‎ 由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 解得，．‎ 则．‎ 因为 ‎=． …（10分）‎ 设，，．‎ 则g（t）在区间上为增函数．‎ 所以．‎ 所以，‎ 当且仅当m=0时取等号，即．‎ 所以S△AOB的最大值为．…（13分）‎ ‎【点评】本题考查曲线的轨迹方程的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎　‎