【数学】2018届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案

第1讲 不等式的性质与一元二次不等式 最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型;3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2.不等式的性质 ‎(1)对称性:a>b⇔b<a;‎ ‎(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;‎ ‎(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;a>b,c>d⇒a+c≥b+d;‎ ‎(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;‎ ‎(5)可乘方:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1);‎ ‎(6)可开方:a>b>0⇒>(n∈N,n≥2).‎ ‎3.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2-‎‎4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2)‎ 有两相等实根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ‎{x|x1<x<x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)a>b⇔ac2>bc2.(  )‎ ‎(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(  )‎ ‎(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(  )‎ ‎(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-‎4ac≤0.(  )‎ 解析 (1)由不等式的性质,ac2>bc2⇒a>b;反之,c=0时,a>b⇒ac2>bc2.‎ ‎(3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根.则不等式ax2+bx+c>0的解集为∅.‎ ‎(4)当a=b=0,c≤0时,不等式ax2+bx+c≤0也在R上恒成立.‎ 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.> B.< C.> D.< 解析 因为c<d<0,所以0>>,两边同乘-1,得->->0,又a>b>0,故由不等式的性质可知->->0.两边同乘-1,得<.故选B.‎ 答案 B ‎3.设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N等于(  )‎ A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0]‎ 解析 ∵M={x|x2-3x-4<0}={x|-10的解集为,则a=________,b=________.‎ 解析 由题意知,方程ax2+bx+2=0的两根为x1=-,x2=,又即 解得 答案 -12 -2‎ ‎5.当x>0时,若不等式x2+ax+1≥0恒成立,则a的最小值为(  )‎ A.-2 B.-3‎ C.-1 D.- 解析 当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,不等式x2+ax+1≥0对任意x>0恒成立,当Δ=a2-4>0,则需解得a>2,所以使不等式x2+ax+1≥0对任意x>0恒成立的实数a的最小值是-2.‎ 答案 A ‎6.(必修5P‎80A3改编)若关于x的一元二次方程x2-(m+1)x-m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是________.‎ 解析 由题意知Δ=[(m+1)]2+‎4m>0.即m2+‎6m+1>0,‎ 解得m>-3+2或m<-3-2.‎ 答案 (-∞,-3-2)∪(-3+2,+∞)‎ 考点一 比较大小及不等式的性质的应用 ‎【例1】 (1)已知实数a,b,c满足b+c=6-‎4a+‎3a2,c-b=4-‎4a+a2,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b ‎(2)若<<0,给出下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式是(  )‎ A.①④ B.②③ C.①③ D.②④‎ 解析 (1)∵c-b=4-‎4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b.‎ 又b+c=6-‎4a+‎3a2,∴2b=2+‎2a2,∴b=a2+1,‎ ‎∴b-a=a2-a+1=+>0,‎ ‎∴b>a,∴c≥b>a.‎ ‎(2)法一 因为<<0,故可取a=-1,b=-2.‎ 显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.‎ 法二 由<<0,可知b<a<0.①中,因为a+b<0,ab>0,所以<0,>0.故有<,即①正确;‎ ‎②中,因为b<a<0,所以-b>-a>0.故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;‎ ‎③中,因为b<a<0,又<<0,则->->0,‎ 所以a->b-,故③正确;‎ ‎④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得b2>a2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b2>ln a2,故④错误.由以上分析,知①③正确.‎ 答案 (1)A (2)C 规律方法 (1)比较大小常用的方法:‎ ‎①作差法;②作商法;③函数的单调性法.‎ ‎(2)判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证;二是用特殊法排除.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·金华四校联考)已知p=a+,q=,其中a>2,x∈R,则p,q的大小关系是(  )‎ A.p≥q B.p>q C.p2,故p=a+=(a-2)++2≥2+2=4,当且仅当a=3时取等号.因为x2-2≥-2,所以q=≤=4,当且仅当x=0时取等号,所以p≥q.‎ ‎(2)由不等式性质及a>b>1知<,又c<0,所以>,①正确;构造函数y=xc,∵c<0,∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,又a>b>1,∴ac<bc,知②正确;‎ ‎∵a>b>1,c<0,∴a-c>b-c>1,‎ ‎∴logb(a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),知③正确.‎ 答案 (1)A (2)D 考点二 一元二次不等式的解法(多维探究)‎ 命题角度一 不含参的不等式 ‎【例2-1】 求不等式-2x2+x+3<0的解集.‎ 解 化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,‎ 解方程2x2-x-3=0得x1=-1,x2=,‎ ‎∴不等式2x2-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪,‎ 即原不等式的解集为(-∞,-1)∪.‎ 命题角度二 含参不等式 ‎【例2-2】 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R).‎ 解 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.‎ ‎①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.‎ ‎②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,‎ 解得x≥或x≤-1.‎ ‎③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.‎ 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;‎ 当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;‎ 当<-1,即-20,求解时不要忘记讨论a=0时的情形.‎ ‎2.当Δ<0时,ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别.‎ ‎3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论. ‎
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