【数学】2018届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案

【数学】2018届一轮复习人教A版不等式的性质与一元二次不等式学案

第1讲　不等式的性质与一元二次不等式 最新考纲　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ 知 识 梳 理 ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 ‎(2)作商法 ‎2.不等式的性质 ‎(1)对称性：a＞b⇔b＜a；‎ ‎(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；‎ ‎(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c≥b＋d；‎ ‎(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；‎ ‎(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；‎ ‎(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).‎ ‎3.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－‎‎4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)‎ 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－‎4ac≤0.(　　)‎ 解析　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒ac2＞bc2.‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.‎ ‎(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.‎ 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×‎ ‎2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　)‎ A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 解析　因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.故选B.‎ 答案　B ‎3.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于(　　)‎ A.(0，4] B.[0，4) C.[－1，0) D.(－1，0]‎ 解析　∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－10的解集为，则a＝________，b＝________.‎ 解析　由题意知，方程ax2＋bx＋2＝0的两根为x1＝－，x2＝，又即 解得 答案　－12　－2‎ ‎5.当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为(　　)‎ A.－2 B.－3‎ C.－1 D.－ 解析　当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝a2－4＞0，则需解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2.‎ 答案　A ‎6.(必修5P‎80A3改编)若关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________.‎ 解析　由题意知Δ＝[(m＋1)]2＋‎4m＞0.即m2＋‎6m＋1＞0，‎ 解得m＞－3＋2或m＜－3－2.‎ 答案　(－∞，－3－2)∪(－3＋2，＋∞)‎ 考点一　比较大小及不等式的性质的应用 ‎【例1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－‎4a＋‎3a2，c－b＝4－‎4a＋a2，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b ‎(2)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是(　　)‎ A.①④ B.②③ C.①③ D.②④‎ 解析　(1)∵c－b＝4－‎4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.‎ 又b＋c＝6－‎4a＋‎3a2，∴2b＝2＋‎2a2，∴b＝a2＋1，‎ ‎∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，‎ ‎∴b>a，∴c≥b>a.‎ ‎(2)法一　因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.‎ 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.‎ 法二　由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；‎ ‎②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；‎ ‎③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，‎ 所以a－＞b－，故③正确；‎ ‎④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.‎ 答案　(1)A　(2)C 规律方法　(1)比较大小常用的方法：‎ ‎①作差法；②作商法；③函数的单调性法.‎ ‎(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·金华四校联考)已知p＝a＋，q＝，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是(　　)‎ A.p≥q B.p>q C.p2，故p＝a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号.因为x2－2≥－2，所以q＝≤＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.‎ ‎(2)由不等式性质及a＞b＞1知＜，又c＜0，所以＞，①正确；构造函数y＝xc，∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a＞b＞1，∴ac＜bc，知②正确；‎ ‎∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1，‎ ‎∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，知③正确.‎ 答案　(1)A　(2)D 考点二　一元二次不等式的解法(多维探究)‎ 命题角度一　不含参的不等式 ‎【例2－1】 求不等式－2x2＋x＋3<0的解集.‎ 解　化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，‎ 解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝，‎ ‎∴不等式2x2－x－3>0的解集为(－∞，－1)∪，‎ 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪.‎ 命题角度二　含参不等式 ‎【例2－2】 解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R).‎ 解　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.‎ ‎①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.‎ ‎②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，‎ 解得x≥或x≤－1.‎ ‎③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.‎ 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；‎ 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；‎ 当＜－1，即－20，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.‎ ‎2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.‎ ‎3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论. ‎