云南省曲靖市会泽县第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学文科试题

云南省曲靖市会泽县第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学文科试题

数学试题（文科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，然后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】，.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.‎ ‎2.tan255°=‎ A. －2－ B. －2+ C. 2－ D. 2+‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．‎ ‎【详解】详解：=‎ ‎【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．‎ ‎3.若变量满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A. B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，画出约束条件所表示的可行域，如图所示，目标函数的最优解为点，联立，解得，所以的最小值为．‎ 考点：线性规划．‎ ‎4.在等差数列中，，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用等差数列的性质得到答案.‎ ‎【详解】，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.‎ 考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体体积.故选C ‎【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎7.设为等比数列的前项和，，则( )‎ A. 11 B. ‎5 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设公比为，由，得，解得，所以．故选D．‎ 考点：等比数列的前项和.‎ ‎8.已知函数，，则( )‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则函数为奇函数，代入数据计算得到答案.‎ ‎【详解】设，则函数为奇函数，，‎ ‎，故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，构造是解题的关键.‎ ‎9.已知，则的最小值为( )‎ A. 8 B. ‎16 ‎C. 24 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 变换，展开利用均值不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 当，即时等号成立.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎10.如图，点P在平行四边形OACD内部（含边界）运动，点B为OD的中点，若，则的范围是（ ）‎ A. [0，4] B. [0，3] C. [0，2] D. [0，1]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 向量用向量、表示，由点P在平行四边形OACD内部（含边界）运动求出x、y的范围，作出可行域，数形结合求目标函数的范围.‎ ‎【详解】点B为OD的中点则，‎ 因为点P在平行四边形OACD内部（含边界）运动，‎ 所以，作出可行域如图所示： ‎ 目标函数可转化为直线l：，z为直线的纵截距，‎ 当直线l过点时z取最小值0，当直线l过点时取最大值3.‎ 所以的范围是[0，3].‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查线性规划问题，平面向量基本定理，属于中档题.‎ ‎11.已知，直线方程为，若直线//AB，则为( )‎ A. -1 B. ‎1 ‎C. -2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再根据直线平行计算得到答案.‎ ‎【详解】，则，直线//AB，则，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据平行求参数，意在考查学生的计算能力.‎ ‎12.已知函数（且），若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由，求得，得到函数的解析式，进而可求解的值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数且，，‎ 所以，所以且，‎ 所以，‎ 所以，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数的最大值是_________ .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，得到最大值.‎ ‎【详解】，故函数的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了求三角函数最值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知向量，且，则_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 由题意可得解得.‎ ‎【名师点睛】（1）向量平行：，,.‎ ‎（2）向量垂直：.‎ ‎（3）向量的运算：.‎ ‎15.设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为圆心坐标与半径分别为，所以圆心到直线的距离，则，解之得，所以圆的面积，应填答案 ‎．‎ ‎16.已知四面体，，，，那么四面体的体积为_______ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AB中点为，连接CO，做PD垂直于CO的延长线于点D，求出AC、BC、AD，然后证明平面ABC，求出PD进而求得四面体的体积.‎ ‎【详解】根据题意，取AB中点为，连接CO，做PD垂直于CO的延长线于点D，如图所示：‎ 由题意可得， ，，‎ 因为，且O为AB中点，所以，，同理可得,‎ 又，平面PDC，平面PDC，所以平面PDC，‎ 由平面PDC得，‎ 因为，且平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，‎ 设PD=x，则，‎ 在直角中，, 即，解得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查棱锥的体积，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数 ‎（I）求的值 ‎（II）求的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【答案】（I）2；（II）的最小正周期是，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．‎ ‎（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．‎ ‎【详解】（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，‎ ‎＝﹣cos2xsin2x，‎ ‎＝﹣2，‎ 则f（）＝﹣2sin（）＝2，‎ ‎（Ⅱ）因为．‎ 所以的最小正周期是．‎ 由正弦函数的性质得 ‎，‎ 解得，‎ 所以，的单调递增区间是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解．‎ ‎18.如图,在中,是边上的高,,将沿进行翻折,使得如图，再过点作∥,连接且, .‎ ‎(1)求证:平面；‎ ‎(2)求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据计算得CD⊥AD，再根据线面垂直判定与性质定理得结论，（2）根据等体积法以及三棱锥体积公式得结果.‎ ‎【详解】(1)证明:在△ADC中,AC=4,AD=2,∠CAD=30°,‎ 利用余弦定理可得CD=2,‎ 所以∠ADC=90°,即CD⊥AD.‎ 因为MA⊥AB,MA⊥AC,AB∩AC=A,‎ 故MA⊥平面ABDC.‎ 因为CD⊂平面ABDC,所以CD⊥MA.‎ 又AD∩MA=A所以CD⊥平面MAD. ‎ ‎(2)解:‎ 因为△ACD的面积,‎ 故三棱锥.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角C；（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎（2）‎ 又 ‎，‎ 的周长为 考点：正余弦定理解三角形.‎ ‎20.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱两两垂直且相等，分别是的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接BD，则E是BD的中点，EF//PD，得到证明.‎ ‎（2）连接PE，ED，平面，故是PD与平面PAC所成的角，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）如图，连接BD，则E是BD的中点，又F是PB的中点，∴ EF//PD，‎ ‎∵ EF不在平面PCD内，∴ EF//平面PCD.‎ ‎（2）连接PE，ED，∵ ABCD是正方形，∴，‎ 又平面，平面，∴.‎ ‎，∴平面，故是PD与平面PAC所成的角，‎ 在中，，，‎ ‎∴EF与平面PAC所成角的大小为.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎21.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)求圆C在点B处的切线方程．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）做辅助线，利用勾股定理，计算BC的长度，然后得出C的坐标，结合圆的方程，即可得出答案．（2）利用直线垂直，斜率之积为-1，计算切线的斜率，结合点斜式，得到方程．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎ 过C点做CDBA，联接BC，因为，所以，因为 ‎ 所以，所以圆的半径 ‎ 故点C的坐标为，所以圆的方程为 ‎ ‎ ‎ （2）点B的坐标为，直线BC的斜率为 ‎ 故切线斜率，结合直线的点斜式 ‎ 解得直线方程为 ‎【点睛】本道题目考查了圆的方程的求解和切线方程计算，在计算圆的方程的时候，关键找出圆的半径和圆心，建立方程，计算切线方程，可以结合点斜式，计算方程，即可．‎ ‎22.已知数列的前项和．‎ ‎（1）求数列通项公式； ‎ ‎（2）令，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2） .‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据和关系得到答案.‎ ‎（2）首先计算数列通项，再根据裂项求和得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ 当时，‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查了和关系，裂项求和，是数列的常考题型.‎