2019届二轮复习　三角函数、三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）

2019届二轮复习　三角函数、三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）

回扣3　三角函数、三角恒等变换与解三角形 ‎1．三种三角函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调性 在(k∈Z) 上单调递增；在(k∈Z) 上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]‎ ‎(k∈Z)上单调递增；‎ 在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 在(k∈Z)上单调递增 对称性 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；‎ 对称轴：x＝＋kπ(k∈Z)‎ 对称中心：(k∈Z)；‎ 对称轴：x＝kπ(k∈Z)‎ 对称中心：‎ (k∈Z)‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，A>0)的图象 ‎(1)“五点法”作图 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出相应的x的值与y的值，描点、连线可得．‎ ‎(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口．‎ ‎(3)图象变换 y＝sin xy＝sin(x＋φ)‎ y＝sin(ωx＋φ)‎ y＝Asin(ωx＋φ)．‎ ‎3．准确记忆六组诱导公式 对于“±α，k∈Z”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．‎ ‎4．三角函数恒等变换“四大策略”‎ ‎(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．‎ ‎(2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．‎ ‎(3)弦、切互化：一般是切化弦．‎ ‎(4)灵活运用辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎5．正弦定理及其变形 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ sin A＝，sin B＝，sin C＝.‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎6．余弦定理及其推论、变形 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ 推论：cos A＝，cos B＝，‎ cos C＝.‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，a2＋c2－b2＝2accos B，‎ a2＋b2－c2＝2abcos C.‎ ‎7．面积公式 S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.‎ ‎1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号．‎ ‎2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x的取值范围．‎ ‎3．求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．‎ ‎4．三角函数图象变换中，注意由y＝sin ωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，平移量为，而不是φ.‎ ‎5．在已知两边和其中一边的对角利用正弦定理求解时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解．‎ ‎1．若sin θ·cos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)‎ A．－2 B．2 C．±2 D. 答案　B 解析　tan θ＋＝＋＝＝2.‎ ‎2．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　)‎ A．y＝sin B．y＝cos C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 答案　A 解析　化简函数的解析式，A中，y＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数．‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cos A＝－，则b的值为(　　)‎ A．1 B. C. D. 答案　A 解析　根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 则22＝b2＋()2－2b××，所以b2＋b－2＝0，‎ 解得b＝1，或b＝－2(舍去)，故选A.‎ ‎4．要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　B 解析　∵y＝sin＝sin，‎ ‎∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位长度．‎ ‎5．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是(　　)‎ A．－1 B．－ C．－ D．－ 答案　B 解析　f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)‎ ‎＝2sin，‎ 则由题意知，f＝2sin＝0，又因为0<θ<π，所以<π＋θ＋<，‎ 所以π＋θ＋＝2π，‎ 所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x.‎ 又因为函数f(x)在上是减函数，‎ 所以函数f(x)在上的最小值为 f＝－2sin ＝－，故选B.‎ ‎6．(2016·全国Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案　C 解析　设BC边上的高AD交BC于点D，‎ 由题意B＝，AD＝BD＝BC，DC＝BC，‎ tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tan A＝＝－3，‎ 所以cos A＝－，故选C.‎ ‎7．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)‎ A. B. C.或 D.或 答案　A 解析　∵sin 2α＝，α∈，‎ ‎∴2α∈，即α∈，cos 2α＝－，‎ 又sin(β－α)＝，β∈，‎ ‎∴β－α∈，cos(β－α)＝－，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]‎ ‎＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ‎＝×－×＝，‎ 又α＋β∈，‎ ‎∴α＋β＝，故选A.‎ ‎8．设函数y＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是T，将其图象向左平移T个单位长度后，得到的图象如图所示，则函数y＝sin ωx(ω>0)的单调递增区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 答案　A 解析　方法一　由已知图象知，y＝sin ωx(ω>0)的最小正周期是2×＝，所以＝，解得ω＝，所以y＝sin x.‎ 由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．‎ 方法二　因为T＝，所以将y＝sin ωx(ω>0)的图象向左平移T个单位长度后，‎ 所对应的解析式为y＝sin ω.‎ 由图象知，ω＝，所以ω＝，‎ 所以y＝sinx.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎9．已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　已知f＝sin x＋cos x＝2sin，‎ y＝f＝2sin关于直线x＝0对称，‎ 所以f(0)＝2sin＝±2，‎ 所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z，‎ 当k＝0时，φ＝，故选B.‎ ‎10．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，其图象与直线y＝1相邻两个交点的距离为，若f(x)>0对x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得函数f(x)的最小正周期为，则ω＝，‎ 当x∈时，x＋φ∈，‎ 因为f(x)>0，即cos>，‎ 所以(k∈Z)，‎ 解得－＋2kπ≤φ≤－＋2kπ(k∈Z)，‎ 又|φ|<，所以－<φ≤－，故选B.‎ ‎11.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．‎ 答案　1‎ 解析　根据图象可知，A＝2，＝－，‎ 所以周期T＝π，ω＝＝2.又函数过点，‎ 所以sin＝1，又0<φ<π，‎ 所以φ＝，则f(x)＝2sin，‎ 因此f＝2sin＝1.‎ ‎12．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．‎ 答案　 解析　由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，‎ 所以f(x)＝3sin，‎ 那么当x∈时，－≤2x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，故f(x)∈.‎ ‎13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，角B为锐角，且sin2B＝8sin A·sin C，则的取值范围为____________．‎ 答案　 解析　因为sin2B＝8sin A·sin C，由正弦定理可知，‎ b2＝8ac，所以cos B＝ ‎＝＝ ‎＝－5∈(0,1)，‎ 令t＝，t>0，则0<－5<1，‎ 解得

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