2017-2018学年湖北省沙市中学高二上学期第二次半月考数学（理）试题

2017-2018学年湖北省沙市中学高二上学期第二次半月考数学（理）试题

‎2017-2018学年湖北省沙市中学高二上学期第二次半月考数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给定的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知点A(，1)，B(3,－1)，则直线AB的倾斜角是(　　)‎ A．60°　　　　　　　B．30° C．120° D．150°‎ ‎2．与直线y＝－3x＋1平行，且与直线y＝2x＋4交于x轴上的同一点的直线方程是(　　)‎ A．y＝－3x＋4 B．y＝x＋4 C．y＝－3x－6 D．y＝x＋ ‎3．已知直线平行，则值为（ ）‎ A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2‎ ‎4．圆关于坐标原点对称的圆的方程是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．9.圆上与直线的距离等于的点共有（ ）‎ ‎ A．个 B．个 C． 个 D．个 ‎6. 10.不论为何值，直线恒过的一个定点是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 设满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎8.已知圆M： x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，则圆M的圆心坐标为（ ）．‎ A．(1，－2) B．(－1，2) C．(－1，－2) D．(1，2) ‎ ‎9. 过点P(2，1）作直线交正半轴于两点，当 取到最小值时，则直线的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10．已知圆，圆，M、N分别是圆，上的动点，P为轴上的动点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．曲线y＝1＋与直线kx－y－k＋3＝0有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若不等式组表示的平面区域是三角形，则实数k的取值范围是（ ）‎ A． B．或 ‎ ‎ C．或 D． 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）‎ 13. 设变量满足约束条件，则的最大值为 .‎ 14. 圆上的点到直线的最小距离是 ．‎ 15. ‎ ‎ ‎16.如图示，已知直线∥，点A是、之间的一个定点，且A到、的距离分别为4、5，点B是直线上的动点，若与直线交于点C，则面积的最小值为 ‎ 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） ‎ ‎17（本小题满分10分）已知圆过点，，且圆心在直线上．‎ ‎（I）求圆的方程；‎ ‎（II）若点在圆上，求的最大值．‎ ‎18（本小题满分12分）‎ ‎ 已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点.‎ ‎(1)求圆A的方程；‎ ‎(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．‎ ‎19（本小题满分12分）某厂使用两种零件装配两种产品，该厂的生产能力是月产产品最多有2500件，月产产品最多有1200件；而且组装一件产品要4个、2个，组装一件产品要6个、8个，该厂在某个月能用的零件最多14000个；零件最多12000个。已知产品每件利润1000元，产品每件2000元，欲使月利润最大，需要组装产品各多少件？最大利润多少万元？‎ ‎20（本小题满分12分）‎ ‎ 已知点(0,1)，(3＋2，0)，(3－2，0)在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ ‎ ‎ ‎21．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.‎ ‎(1)求证：AD⊥平面PAB；‎ ‎(2)求直线PC与平面ABCD所成的角的正切值；‎ ‎(3)求二面角P－BD－A的正切值．‎ ‎ ‎ ‎22.（本小题满分10分）‎ ‎ 如图，圆：．‎ ‎(1)若圆与轴相切，求圆的方程；‎ ‎(2)已知，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由．‎ 参考答案及评分细则 一． 选择题（每题5分）‎ ‎ 1—5：DCCCB 6—10：CDCAA 11—12：DD 二． 填空题（每题5分）‎ ‎ 13. 4 14. 15. 16. 20 ‎ 三． 解答题 ‎17. （1）设圆心坐标为，则 解得：，故圆的方程为：‎ ‎（2）令z＝x＋y，即，当这条直线与圆相切时，它在y轴上的截距最大或最小，‎ 可求得最大值为：‎ ‎18.解：（1）由题意知：A到直线l1的距离为：‎ ‎∴圆的方程为： …………………………………4分 ‎（2）当直线l的斜率不存在时为 此时圆心A到直线l的距离为，满足|MN|＝2 当直线l的斜率存在时设为 由|MN|＝2，知，圆心A到直线l的距离为 ‎∴ ∴l的方程为 综上所诉：直线l的方程为或……………………12分 ‎19. 解：设分别生产P、Q产品x件、y件，则有 设利润 z=1000x+2000y=1000(x+2y) …………4分 要使利润最大，只需求z的最大值.‎ 作出可行域如图示（阴影部分及边界）‎ 作出直线l:1000(x+2y)=0，‎ 即x+2y=0 ‎ 由于向上平移平移直线l时，z的值增大，所以在点A处z取得最大值…………8分 由解得，即A(2000,1000) …………10分 因此，此时最大利润zmax=1000(x+2y)=4000000=400(万元). …………11分 答：要使月利润最大，需要组装P、Q产品2000件、1000件，此时最大利润为400万元。 …………12分 ‎20.解：(1)由题意可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.‎ 则圆C的圆心为(3, 1)，半径长为＝3. ……………………4分 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9‎ ‎(2)由消去y，‎ 得2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，‎ 此时判别式Δ＝56－16a－4a2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则有① …………………………………9分 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0②‎ 由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1. ………………………………12分 ‎21.解：　(1)证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝2，‎ ‎∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA.‎ 在矩形ABCD中，AD⊥AB.‎ ‎∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB. …..…………………………………2分 ‎(2)过点P作PH⊥AB于点H，连结AC.‎ ‎∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH.‎ 又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD.‎ ‎∴∠PCH是直线PC与平面ABCD所成的角 由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，‎ AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，‎ ‎∴CH＝‎ ‎∴在Rt△PHC中，tan∠PCH＝ ……………………………6分 ‎ (3)过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.‎ ‎ 由(2)知PH⊥平面ABCD.‎ 又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD.‎ 又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，‎ ‎∴BD⊥平面PHE.‎ 而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，‎ 故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．‎ 由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，‎ AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，‎ BD＝＝，HE＝·BH＝.‎ ‎∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝.‎ ‎∴二面角P－BD－A的正切值为 ……………………………12分 ‎22.解：（Ⅰ）因为 得，‎ 由题意得，所以 故所求圆C的方程为．…………………………4分 ‎（Ⅱ）令，得，‎ 即 所以 假设存在实数，‎ 当直线AB与轴不垂直时，设直线AB的方程为，‎ 代入得，，‎ 设从而 因为 而 因为，所以，即，得．‎ 当直线AB与轴垂直时，也成立．‎ 故存在，使得．……………………………12分 ‎21．(本小题12分)已知圆经过点，且圆心在直线上，又直线与圆相交于两点．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若，其中为原点，求实数的值；‎ ‎（3）过点作直线与直线垂直，且直线与圆交于、两点，求四边形 面积的最大值．‎ 解：（1）设圆心为，半径为．故，易得，因此圆的方程为．‎ ‎（2）因为，且与的夹角为，故，，所以到直线的距离，又，所以．‎ 又解：设P，，则，即，‎ 由得，∴，‎ 代入得，∴；‎ ‎（3）设圆心到直线的距离分别为，四边形的面积为．‎ 因为直线都经过点，且，根据勾股定理，有，又，‎ 故 当且仅当时，等号成立，所以．‎ ‎（3）又解：由已知，‎ 由（2）的又解可得，‎ 同理可得，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，所以．‎