【数学】2019届一轮复习人教A版基本不等式学案
第4讲 基本不等式
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 重要不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(当且仅当a＝b时等号成立)．
考点2 基本不等式 ≤
1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
2.等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立；
3.其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
考点3 利用基本不等式求最大、最小值问题
1.如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)
2.如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)
[必会结论]
常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)；
(2)ab≤2(a，b∈R)；
(3)2≤(a，b∈R)；
(4)＋≥2(a，b同号)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )
(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.( )
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.( )
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.[课本改编]已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为( )
A.1 B. C. D.
答案 B
解析 ∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立．故选B.
3.[课本改编]已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
答案 C
解析 y＝(a＋b)＝≥，故选C.
4.[2018·苏州模拟]若0≤x≤6，则f(x)＝的最大值为( )
A. B．4 C. D.
答案 B
解析 ∵0≤x≤6，∴8－x>0，∴f(x)＝≤＝4，当且仅当x＝8－x，即x＝4时，等号成立．故f(x)的最大值为4.故选B.
5.[课本改编]若f(x)＝x＋(x>2)在x＝n处取得最小值，则n＝( )
A. B．3 C. D．4
答案 B
解析 由f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥4，当且仅当x－2＝>0，即x＝3时，取得等号．故选B.
6.[2018·上海模拟]若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
答案 2
解析 ∵x2＋2y2≥2＝2，当且仅当x＝y时取“＝”，∴x2＋2y2的最小值为2.
板块二 典例探究·考向突破
考向 利用基本不等式求最值
例1 [2017·山东高考]若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
答案 8
解析 ∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，
∴＋＝1，
∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．
故2a＋b的最小值为8.
本例条件不变，求ab的最小值．
解 ∵1＝＋≥2，当＝，即a＝2，b＝4时，ab≥8，∴ab的最小值为8.
若4a＋2b＝1，求2a＋b的最大值．
解 ∵4a＋2b≥2＝2，
∴2≤1，∴2a＋b≤－2，
∴2a＋b的最大值为－2.
若log2a＋log2b＝1，求2a＋b的最小值．
解 ∵log2(ab)＝1，∴ab＝2，
∴2a＋b≥2＝4，当a＝1，b＝2时，2a＋b的最小值为4.
触类旁通
利用基本不等式求最值问题的解题策略
(1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式.
【变式训练1】 (1)已知0
0，则函数y＝x＋－的最小值为________．
答案 0
解析 y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.
考向 条件最值问题
例2 [2018·大同检测]若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求：
(1)ab的取值范围；
(2)a＋b的取值范围．
解 (1)∵ab＝a＋b＋3≥2＋3，
令t＝>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.
∴t≥3即≥3，∴ab≥9，
当且仅当a＝b＝3时取等号．
(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤2.
令t＝a＋b>0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.
∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号.
触类旁通
求条件最值应注意的问题
(1)要敏锐的洞察到已知条件与要求式子的联系，并能灵活进行转化；
(2)常用的技巧有：“1”的代换，配凑法，放缩法，换元法.
【变式训练2】 (1)[2018·珠海模拟]已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为( )
A.2 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 解法一：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y＝t，则t>0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6.即x＋3y≥6.
解法二：∵x＋3y＝9－xy≥2，∴()2＋2·－9≤0，∴(＋3)·(－)≤0，
∴00，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解．
3.“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
板块三 启智培优·破译高考
易错警示系列 9——连续应用基本不等式时切记等号成立的条件
[2017·天津高考]若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
错因分析 两次使用基本不等式时，忽视等号的一致性易出错．
解析 ∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，
∴≥＝4ab＋，
由于ab>0，∴4ab＋≥2＝4
，
故当且仅当时，的最小值为4.
答案 4
答题启示 连续运用基本不等式应注意等号成立的条件：连续使用基本不等式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
跟踪训练
已知a>b>0，求a2＋的最小值．
解 ∵a>b>0，∴a－b>0.
∴b(a－b)≤2＝.
∴a2＋≥a2＋≥2＝16.
当a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝时等号成立．
∴a2＋的最小值为16.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.[2018·浙江模拟]已知x>0，y>0，则“xy＝1”是“x＋y≥2”的( )
A.充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若xy＝1，由基本不等式，知x＋y≥2＝2；反之，取x＝3，y＝1，则满足x＋y≥2，但xy＝3≠1，所以“xy＝1”是“x＋y≥2”的充分不必要条件．故选A.
2.当x>0时，函数f(x)＝有( )
A.最小值1 B．最大值1
C.最小值2 D．最大值2
答案 B
解析 ∵x>0，∴f(x)＝≤1.故选B.
3.[2015·湖南高考]若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
答案 C
解析 由＝＋≥2，得ab≥2，当且仅当＝时取“＝”．故选
C.
4.[2018·人大附中模拟](－6≤a≤3)的最大值为( )
A.9 B. C．3 D.
答案 B
解析 因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知≤＝，当且仅当a＝－时等号成立．故选B.
5.[2018·秦皇岛模拟]函数y＝(x>1)的最小值是( )
A.2＋2 B．2－2 C．2 D．2
答案 A
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2(当且仅当x＝1＋时取“＝”)．故选A.
6.设x>0，y>0，且x＋4y＝40，则lg x＋lg y的最大值是( )
A.40 B．10 C．4 D．2
答案 D
解析 ∵x＋4y＝40，且x>0，y>0，
∴x＋4y≥2＝4.(当且仅当x＝4y时取“＝”)
∴4≤40.∴xy≤100.
∴lg x＋lg y＝lg (xy)≤lg 100＝2.
∴lg x＋lg y的最大值为2.故选D.
7.[2018·山西模拟]已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A.2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 (x＋y)＝1＋a·＋＋a≥1＋a＋2＝(＋1)2，
当且仅当a·＝，即ax2＝y2时“＝”成立．
∴(x＋y)的最小值为(＋1)2≥9.
∴a≥4.故选B.
8.[2017·江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案 30
解析 一年的总运费为6×＝(万元)．
一年的总存储费用为4x万元．
总运费与总存储费用的和为万元．
因为＋4x≥2 ＝240，当且仅当＝4x，即x＝30时取得等号，
所以当x＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.
9.函数y＝2x＋(x>1)的最小值为________．
答案 2＋2
解析 因为y＝2x＋(x>1)，所以y＝2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝2＋2.
当且仅当x＝1＋时取等号，故函数y＝2x＋(x>1)的最小值为2
＋2.
10.[2018·正定模拟]若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．
答案 5
解析 由x＋3y＝5xy，可得＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋2 ＝＋＝5，当且仅当x＝1，y＝时取等号，故3x＋4y的最小值是5.
[B级 知能提升]
1.若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋0，y>0，∴x＋＝＝2＋＋≥4，∴min＝4，
∴m2－3m>4，解得m<－1或m>4.故选B.
2.设a>0，b>1，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A.3＋2 B．6
C．4 D．2
答案 A
解析 由题可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，∴＋＝(a＋b－
1)＝2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当＝，即a＝2－，b＝时等号成立．故选A.
3.[2018·湖北八校联考]已知正数a，b满足2a2＋b2＝3，则a的最大值为________．
答案
解析 a＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝，
当且仅当a＝，且2a2＋b2＝3，
即a2＝1，b2＝1时，等号成立．
故a的最大值为.
4.[2018·郑州模拟]若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解 (1)因为a>0，b>0，且＋＝，
所以＝＋≥2，所以ab≥2，
当且仅当a＝b＝时取等号．
因为a3＋b3≥2≥2＝4，
当且仅当a＝b＝时取等号，
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)可知，2a＋3b≥2＝2≥4>6，
故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立.
5.已知lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
解 由lg (3x)＋lg y＝lg (x＋y＋1)，
得
(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，
∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.
(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤32，
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，
∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，
∴x＋y的最小值为2.
