宁夏银川市第一中学2021届高三数学（文）上学期第二次月考试题（Word版附解析）

宁夏银川市第一中学2021届高三数学（文）上学期第二次月考试题（Word版附解析）

银川一中 2021 届高三年级第二次月考 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合  1 2A x x    ，  3log 1B x x  ，则 A B  （ ） A.  0 2x x  B.  1 2x x   C.  1 2x x  D.  0 3x x  【答案】A 【解析】 【分析】 先求出集合 B ，再利用交集的定义计算即可． 【详解】解：由已知    3log 1 0 3B x x x x     ， 则  0 2A B x x    ． 故选：A 【点睛】本题考查交集的运算，考查对数不等式，是基础题． 2. 如果 4 2    ，那么下列不等式成立的是（ ） A. sin cos tan    B. tan sin cos    C. cos sin tan    D. cos tan sin    【答案】C 【解析】 【分析】 分别作出角 的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中分别作出 的正弦线 MP 、余弦线 OM 、正切线 AT ， 很容易地观察出OM MP AT  ，即 cos sin tan    . 故选 C. 【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和 正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属 于基础题. 3. 如图在边长为 1 的正方形组成的网格中，平行四边形 ABCD 的顶点 D 被阴影遮住，则 AB AD  ＝（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】 以 A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】以 A 为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则 A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)， AB  ＝(4，1)， AD BC  ＝(2，3)， AB AD   ＝4×2＋1×3＝11， 故选：B. 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了基本运算能力，属于基础题. 4. 若 3cos( )4 5    ，则 sin 2  （ ） A. 7 25 B. 1 5 C. 1 5  D. 7 25  【答案】D 【解析】 试题分析： 2 2 3 7cos 2 2cos 1 2 14 4 5 25                              ， 且 cos 2 cos 2 sin 24 2                    ，故选 D. 【考点】三角恒等变换 【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差． （2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系． 5. 如图所示的曲线图是 2020 年 1 月 25 日至 2020 年 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计 确诊病例的曲线图，则下列判断错误的是（ ） A. 1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了 1 3 B. 1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势 C. 2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 97 例 D. 2 月 8 日到 2 月 10 日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于 2 月 6 日到 2 月 8 日的增 长率 【答案】D 【解析】 【分析】 根据新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，提取出需要的信息，逐项判定，即可求解. 【详解】由新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，可得： 对于 A 中，1 月 31 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有 87 例，其中西安 32 例，所以西安所 占比例为 32 1 87 3  ，故 A 正确； 对于 B 中，由曲线图可知，1 月 25 日至 2 月 12 日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈 递增趋势，故 B 正确； 对于 C 中，2 月 2 日后到 2 月 10 日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了 213 116 97  例， 故 C 正确； 对于 D 中，2 月 8 日到 2 月 10 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 98 88 5 88 44   ， 2 月 6 日到 2 月 8 日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了 88 74 7 74 37   ， 显然 7 5 37 44  ，故 D 错误. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了图表的信息处理能力，其中解答中根据曲线图，提取出所用的信息 是解答的关键，着重考查信息提取能力. 6. 正三角形 ABC 中， D 是线段 BC 上的点， 6AB  ， 2BD  ，则 AB AD   （ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】 先用 AB  ， BC  表示出 AD  ，再计算 AB AD  即可. 【详解】先用 AB  ， BC  表示出 AD  ，再计算数量积． 因为 6AB  ， 2BD  ，则 1 3BD BC  ， 1 3     AD AB BC 所以 2 21 1 1 1· · 6 6 6 303 3 3 2AB AD AB AB BC AB AB BC                      . 故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算，属基础题. 7. 1626 年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：sin 、 tan 、sec （正割），1675 年， 英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号： cos 、 cot 、 csc （余割），但直到 1748 年，经 过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中 1sec cos   ， 1csc sin   .若 (0, )a  ， 且 3 2 2csc sec   ，则 tan  （ ）. A. 5 13 B. 12 13 C. 0 D. 12 5  【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得 3sin 2cos 2   ，然后使用二倍角的正弦、余弦公式以及齐次化化简可得 2 2 6tan 2 2tan2 2 2 tan 12        ，进一步求得 tan 2  ，最后根据二倍角的正切公式计算即可. 【详解】∵3sin 2cos 2   ， 2 2 2 2 6sin cos 2 cos sin2 2 2 2 2 cos sin2 2              ∴ 2 2 6tan 2 2tan2 2 2 tan 12        ， ∴ 23tan 1 tan2 2     2tan 12   ，解得 tan 02   或 3 2 . 又∵ (0, )  ，∴ tan 02   ，∴ 3tan 2 2   ， 则 2 2tan 122tan 51 tan 2       ， 故选：D. 【点睛】本题考查弦切互换以及齐次化化简，还考查二倍角公式的应用，着重考查对公式的 记忆，属基础题 8. 设 f(x)＝lg( 2 1 x ＋a)是奇函数，且在 x＝0 处有意义，则该函数是（ ） A. (－∞，＋∞)上的减函数 B. (－∞，＋∞)上的增函数 C. (－1，1)上的减函数 D. (－1，1)上的增函数 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得 f(0)＝0，代入求出 a，并验证 ( )f x 为奇函数，再求出函数的定义域，根据对数 函数的单调性即可得出结果. 【详解】由题意可知，f(0)＝0，即 lg(2＋a)＝0， 解得 a＝－1，故 f(x)＝lg1 1 x x   ， 函数 f(x)的定义域是(－1，1)， 1( ) lg ( )1 xf x f xx     ， 所以 f(x)＝lg 1 1 x x   为奇函数， 在此定义域内 f(x)＝lg 1 1 x x   ＝lg(1＋x)－lg(1－x)， 函数 y1＝lg(1＋x)是增函数，函数 y2＝lg(1－x)是减函数， 故 f(x)＝y1－y2 在(－1，1) 是增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求参数值、利用对数函数的单调性判断复合函数的单调 性，属于基础题. 9. 将函数 ( ) sinf x x 的图象向右平移 4  个单位长度后得到函数 ( )y g x 的图象，则函数 ( ) ( )f x g x 的最大值为（ ） A. 2 2 4  B. 2 2 4  C. 1 D. 1 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得  g x 的解析式，然后求得    f x g x 的解析式，利用降次公式和辅助角公式进行化 简，根据三角函数的取值范围求得    f x g x 的最大值. 【 详 解 】 由 题 可 知   sin 4g x x      ，     sin sin4y f x g x x x      22 2sin sin cos2 2x x x   2 2sin 22 2sin2 2cos2 4 4 4 xx x        ， 所 以    y f x g x 的最大值为 2 2 4  .故选 A. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三 角函数最大值的求法，属于中档题. 10. ABC 的三个内角为 A B C、 、 ，若关于 x 的方程 2 2cos cos cos 02 Cx x A B   有一根 为 1， 则 ABC 一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角 形 【答案】A 【解析】 试题分析：依题意可知 21 cos cos cos 02 CA B   ， ∵  2 1 coscos 1 1 cos cos sin sincos 2 2 2 2 A BC C A B A B      ∴1-cosAcosB- 1 cos cos sin sin 2 A B A B  =0，整理得 cos（A-B）=1 ∴A=B ∴三角形为等腰三角形 考点：解三角形 11. 函数 f(x)是偶函数，对于任意的 x∈R，都有 f(x＋2)＝ 1 ( )f x ；当 x∈[0，2]时，f(x)＝x－1， 则不等式 xf(x)>0 在[－1，3]上的解集为（ ） A. (1，3) B. (－1，1) C. (－1，0)∪(1，3) D. (－1，0)∪(0，1) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 f(x＋2)＝ 1 ( )f x ，得到函数的周期，再结合 x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，且函数 f(x)是偶函 数，作出函数 f(x)的图象，分 x∈(－1，0)，x∈(0，1)，x∈(1，3)求解. 【详解】因为 f(x＋2)＝ 1 ( )f x ， 所以    4f x f x  ， 所以 T=4. 又因为 x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，且函数 f(x)是偶函数， 所以 f(x)的图象如图所示. 当 x∈(－1，0)时，由 xf(x)>0，得 x∈(－1，0)； 当 x∈(0，1)时，由 xf(x) >0，得 x∈∅； 当 x∈(1，3)时，由 xf(x)>0，得 x∈(1，3). ∴x∈(－1，0)∪(1，3)， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质以及图象法解不等式，还考查了数形结合的思想方 法，属于中档题. 12. 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2a c b  ＝ cos cos C B ，b＝4，则 ABC 的面积的最大值为（ ） A. 4 3 B. 2 3 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由已知式子和正弦定理可得 3B  ，再由余弦定理可得 16ac  ，由三角形的面积公式可得所 求． 【详解】∵在△ABC 中 2a c b － ＝ cos cos C B ， ∴ 2 cos cos a c B b C ， 由正弦定理得  2sin sin cos sin cosA C B B C  ， ∴  2sin cos sin cos sin cos sin sinA B C B B C B C A     ． 又sin 0A  ， ∴ 1cos 2B  ， ∵ 0 B   ， ∴ 3B  ． 在△ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2b 16 2 cos 2a c ac B a c ac ac ac ac        … ， ∴ 16ac  ，当且仅当 a c 时等号成立． ∴△ABC 的面积 1 3sin 4 32 4S ac B ac   . 故选：A． 【点睛】求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关 系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想 求最值. 二、填空题 13. 已知扇形 AOB 的面积为 4 3  ，圆心角 AOB 为120 ，则该扇形半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】 将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案. 【详解】圆心角 AOB 为120 2 3  扇形 AOB 的面积为 2 24 1 1 2 4 23 2 2 3 3S r r r         故答案为 2 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题. 14. 若  1, 1a   ， 2b  ，且 a b a    ，则 a  与b  的夹角是________. 【答案】 4   【解析】 【分析】 先求出向量的模 2, 2a b   ，再利用向量的数量积运算展开，即可得出结果. 【详解】由题意可知： 2, 2a b   ， 2 ( ) 0 0 2 2 2 cos , 0a a b a a b a b             r r r r r r r r 2cos , ,2 4      r r r r a b a b 故答案为： 4  【点睛】本题考查了利用平面向量的数量积运算求角，考查了运算求解能力，属于基础题目. 15. 已知函数    sinf x A x   ， 0A  ， 0 ， 2   的部分图象如图所示，则函 数的解析式为_______________. 【答案】   2sin 2 6f x x      【解析】 【分析】 由函数图象的最值可得 A，然后将点 11 ,012      、 0,1 代入解析式，利用 、 的范围即可得 到 、 值，从而得到函数解析式． 【详解】由图象得到  f x 的最大值为 2 ，所以 2A  将点 11 ,012      、 0,1 代入解析式    sinf x A x   ，   112sin 012 2sin 0 1               ，因为 0 ， 2   ，可得 6 π ， 2  所以   2sin 2 6f x x      故答案为：   2sin 2 6f x x      ． 【点睛】本题考查由  siny A x   的部分图象确定其解析式，注意函数解析式的求法， 考查计算能力，属于常考题型． 16. 对于任意实数 1 2,x x ，当 1 20 x x e   时，有 1 2 2 1 2 1ln lnx x x x ax ax   恒成立，则实 数 a 的取值范围为___________. 【答案】 0a  【解析】 【分析】 转化为 ln( ) x ag x x  在 (0, )e 上单调递增，再利用导数可得到结果. 【 详 解 】 当 1 20 x x e   时 ， 1 2 2 1 2 1ln lnx x x x ax ax   恒 成 立 等 价 于 2 1 2 1 ln lnx a x a x x   恒成立，等价于 ln( ) x ag x x  在 (0, )e 上单调递增， 所以 2 2 1 ln 1 ln( ) 0 x x a x axg x x x         在 (0, )e 上恒成立， 所以 1 lna x  在 (0, )e 上恒成立， 因为当 (0, )x e 时，1 ln 1 ln 0x e    ， 所以 0a  故答案为： 0a  . 【点睛】本题考查了转化划归思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处 理不等式恒成立问题，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题 17. 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，以 ox 轴为始边做两个锐角 ,  ，它们的终边分别与单 位圆相交于 A，B 两点，已知 A，B 的横坐标分别为 2 2 5,10 5 （1）求 tan( )  的值； （2）求 2  的值． 【答案】（1） tan( ) 3    （2） 32 4    【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 cos 与 cos  的值，进而可得 出 sin 与 sin 的值，从而可求 tan 与 tan  的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2） 由两角和的正切公式，可得出    tan 2 tan          的值，再根据 ,  的取值范 围，可得出 2  的取值范围，进而可得出 2  的值. 由条件得 cosα＝ ，cosβ＝ . ∵ α，β为锐角， ∴ sinα＝ ＝ ，sinβ＝ ＝ . 因此 tanα＝ ＝7，tanβ＝ ＝ . (1) tan(α＋β)＝ ＝ ＝－3. (2) ∵ tan2β＝ ＝ ＝ ， ∴ tan(α＋2β)＝ ＝ ＝－1. ∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β< ，∴ α＋2β＝ 18. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产 品需投入固定成本 2 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成本 ( )C x 万元，当年产量小于 7 万 件时， 21( ) 23C x x x  （万元）；当年产量不小于 7 万件时， 3 ( ) 6 ln 17eC x x x x     （万 元）.已知每件产品售价为 6 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完. （1）写出年利润 ( )P x （万年）关于年产量 x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收 入-固定成本-流动成本） （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？ （取 3 20e  ）. 【答案】（1） 2 3 1 4 2,0 73( ) 15 , 7 x x x P x elnx xx           ；（2）当年产量约为 20 万件，该同学的这一 产品所获年利润最大，最大利润为 11 万元 【解析】 【分析】 （1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分 0 7x  和 7x  两种情况，得到 ( )P x 与 x 的关系式即可； （2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案. 【详解】（1）产品售价为 6 元，则万件产品销售收入为 6x 万元. 依题意得，当 0 7x  时， 2 21 1( ) 6 2 2 4 23 3P x x x x x x        ， 当 7x  时， 3 3 ( ) 6 (6 ln 17) 2 15 lne ex x x x xxP x          ， 2 3 1 4 2,0 73( ) 15 , 7 x x x P x elnx xx            . （2）当 0 7x  时， 21( ) ( 6) 103P x x    ， 所以当 6x  时， ( )P x 的最大值为 (6) 10P  （万元）， 当 7x  时， 3 3 3 2 2 1( ) 15 ln ( )e e e xP x x P xx x x x          ， 当 37 x e  时， ( )P x 单调递增，当 3, ( )x e P x 单调递减， 当 3x e 时， ( )P x 取最大值 3 3( ) 15 ln 1 11P e e    （万元）， 11 10 ，当 3 20x e  时， ( )P x 取得最大值 11 万元， 即当年产量约为 20 万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为 11 万元. 【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数的值域问题以及用 导数求最值问题. 19. 已知向量 (2sin , 3 cos )a x x ， ( sin ,2sin )b x x  ，函数 ( )f x a b  · ． （1）求 ( )f x 的单调递增区间； （2）在 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ， B ，C 的对边且   1f C  ， 1c  ， 2 3ab ， a b ，求 a ，b 的值． 【答案】（1）单调递增区间是 ,3 6k k       ， k Z ．（2） 2 3 a b   【解析】 【分析】 （1）根据函数 ( )f x a b  · ．利用向量坐标关系即可求解 ( )f x 化简，结合三角函数性质即可求 解 ( )x 的单调递增区间 （2）根据   1f C  ，求解C ，结合余弦定理， 1c  ， 2 3ab ，a b ，即可求解 a ，b 的 值． 【详解】解：（1）由 2( ) 2sin 2 3sin cos 3sin 2 cos2 1 2sin(2 ) 16f x a b x x x x x x           ； 令， 得： 3 6k x k   „ „ ， k Z ． ( )f x 的单调递增区间为 ,3 6k k       ， k Z ． （2）由（1）可得 f （C） 2sin(2 ) 1 16C     即 sin(2 ) 16C   ， 0 C   2 6 2    C ， 可得： 6C  ． 由余弦定理： 2 2 1cos 6 2 a b ab    ， 可得： 2 26 1a b   ① 2 3ab  ②， 由①②解得： 2 3 a b   ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，向量坐标的运算，余弦定理的应用，利用 三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 20. 已知函数   xf x ae bx  （ a ，b 为常数），点 A 的横坐标为 0，曲线  y f x 在点 A 处 的切线方程为 1.y x   （1）求 a ，b 的值及函数  f x 的极值； （2）证明：当 0x  时， 2xe x ． 【答案】（1） 1a  ， 2b  ，极小值为 2 2ln 2 ；无极大值（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用导数的几何意义求得 a ， b ，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数   2xh x e x  ，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）由已知  0,A a 代入切线方程得 1a  ，   xf x ae b   ， ∴  0 1f a b     ， ∴ 2b  ∴   2xf x e x  ，   2xf x e   ， 令   0f x  得 ln 2x  ， 当 ln 2x  时   0f x  ，  f x 单调递减； 当 ln 2x  时   0f x  ，  f x 单调递增； 所以当 ln 2x  时，   2 2ln 2f x   即为极小值；无极大值 （2）令   2xh x e x  ， 则   2xh x e x   ， 由（1）知  min 2 2ln 2 0h x    ∴  h x 在 0,  上为增函数 ∴    0 1 0h x h   ， 即 2xe x . 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式．属于中档题. 21. 已知函数    ln af x x a Rx    ． （1）判断  f x 在定义域上的单调性； （2）若  f x 在 1,e 上的最小值为 2，求 a 的值． 【答案】（1）当 0a  时，  f x 在( )0,+¥ 上是增函数；当 0a  时，  f x 在  0, a 上是 减函数，在 ,a  上是增函数；（2） a e  . 【解析】 【分析】 （1）先确定 ( )f x 的定义域为 (0, ) ，再求导，由“ ( ) 0f x  ， ( )f x 为增函数 ( ) 0f x  ， ( )f x 在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论． （2）因为 2( ) x af x x   ， 0x  ．由（1）可知①当 0a… 时， ( )f x 在 (0, ) 上为增函数，  ( ) 1minf x f 当 0 1a  „ 时，即 1a … 时， ( )f x 在 (0, ) 上也是增函数，  ( ) 1minf x f ③ 当1 a e   时，即 1e a    时， ( )f x 在[1， ]a 上是减函数，在 ( a ， ]e 上是增函数， ( ) ( )minf x f a  ④当 a e … 时，即 a e„ 时， ( )f x 在[1， ]e 上是减函数，  ( )minf x f e 最后 取并集． 【详解】解：（1）由题意得  f x 的定义域为 0,  ，   2 x af x x   ①当 0a  时，   0f x  ，故  f x 在 (0, ) 上为增函数； ②当 0a  时，由   0f x  得 x a  ；由   0f x  得 x a  ； 由   0f x  得 x a  ； ∴  f x 在 0, a 上为减函数；在  ,a  上为增函数． 所以，当 0a  时，  f x 在 0,  上是增函数；当 0a  时，  f x 在 0, a 上是减函数， 在 ,a  上是增函数． （2）∵   2 x af x x   ， 0x  ．由（1）可知： ①当 0a  时，  f x 在 0,  上为增函数，    min 1 2f x f a    ，得 2a   ，矛盾! ②当 0 1a   时，即 1a   时，  f x 在 0,  上也是增函数，    min 1 2f x f a    ， ∴ 2a   （舍去）． ③当1 a e   时，即 1e a    时，  f x 在 1, a 上是减函数，在 ,a e 上是增函数， ∴      min ln 1 2f x f a a      ，得 a e  （舍去）． ④当 a e  时，即 a e  时，  f x 在 1,e 上是减函数，有    min 1 2af x f e e     ， ∴ a e  ． 综上可知： a e  ． 【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数 大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化 为求相应函数的最值问题． （二）选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的 第一题记分. [选修 4－4：坐标系与参数方程] 22. 已知曲线 C 的极坐标方程是 2sin  ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平 面直角坐标系，直线 l 的参数方程是 2 2 2 2 x t y t m      (t 为参数)． （1）求曲线 C的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）设点 (0, )P m ，若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，且| | | | 1PA PB  ，求实数 m 的值. 【答案】（1） 22 ( 1) 1yx    ； 0x y m   ；（2）1. 【解析】 【分析】 （1）在极坐标方程是 2sin  的两边分别乘以  ，再根据极坐标与直角坐标的互化公式 cos , sinx y     及 2 2 2x y   即可得到曲线 C 的直角坐标方程；消去直线 l 的参数 方程 2 2 2 2 x t y t m      中的参数 t 得到直线l 的在普通方程； （2）把直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造 m 的方程，进一步解的答案. 【详解】（1）由 2sin  ，得 2 2 sin   ， ∵ cos sinx y    ， ，代入得： 2 2 2x y y  ， ∴ 曲线 C 的普通方程为 2 2 2x y y  ，即： 22 ( 1) 1yx    由 l 的参数方程 2 2 2 2 x t y t m      (t 为参数 ) ，消去参数 t 得： 0x y m   .  2 当 0t  时，得 0x y m    ，∴  0,p m 在直线 l 上， 将 l 参数方程代入曲线 C 的普通方程得： 2 2 2 2 2+ 2 02 2 2t t m t m                         化简得：  2 22 1 2 0t m t m m     . 设以上方程两根为 1t ， 2t ， 由    2 2=2 1 4 2 0m m m     解得：1 2 1 2m    ． 由参数 t 的几何意义知 2 1 2 2 1PA PB t t m m    ， 得 2 2 1m m  或 2 2 1m m   ，解得 1 2m = ± (舍去 ) 或 1m  ,  1m  ． 【点睛】考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互 化，同时考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题． [选修 4－5：不等式选讲] 23. 已知函数   1f x x a x    ． （1）若   2f a  ，求 a 的取值范围； （2）当  ,x a a k  时，函数  f x 的值域为 1,3 ，求 k 的值． 【答案】（1） 1,3 ；（2）1 或 2． 【解析】 【分析】 （1）   | 1| 2f a a   ，即可得 a 的取值范围是 ( 1,3) ； （2）对 a 分类讨论，由单调性即可得 ( )f x 的单调性． 【详解】解：（1）   1 2f a a   ，得 2 1 2a    ．即 1 3a   ，故 a 的取值范围 1,3 （2）当 1a  时，函数  f x 在区间 ,a a k 上单调递增． 则    min 1 1f x f a a      ，得 2a  ，    max 2 1 3f x f a k a k        ，得 1k  ． 当 1a  时，   2 1, 1 1 , 1 2 1, x a x f x a a x x a x a            则    min 1 1f x f a a      ，得 0a  ，    max 2 1 3f x f a k a k        ，得 2k  ． 综上所述， k 的值是 1 或 2． 【点睛】本题考查了绝对值不等式，属于中档题．