【数学】四川省泸县第四中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试（理）

【数学】四川省泸县第四中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试（理）

四川省泸县第四中学2019-2020学年 高二下学期期末模拟考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为 A．-2 B．2 C． D．‎ ‎2．已知,则下列推理中正确的是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎3．已知，则 A． B．0 C．1 D．2‎ ‎4．已知双曲线的方程是 ，则其离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知命题p：∀x∈R，x＋≥2；命题q：∃x0∈ ，使sin x0＋cos x0＝，则下列命题中为真命题的是 A．(p)∧q B．p∧(q) C．(p)∧(q) D．p∧q ‎6．已知随机变量服从正态分布，若，则 A． B． C． D．‎ ‎7．若直线垂直，则二项式的展开式中的系数为 A． B． C．2 D．‎ ‎8．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为 A．462 B．126‎ C．210 D．132‎ ‎9．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为．若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值是 ‎ A． B． C．或 D．无法确定 ‎11．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点，若，则的值为 A． B． C．1 D．2‎ ‎12．设函数在上存在导数，对任意的有，且时，若，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．在学校的春季运动会上，一个小组的5位学生的立定跳远的成绩如下：（单位：米），则这5位学生立定跳远成绩的中位数为______________米.‎ ‎14．曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎15．已知实数满足约束条件，则的取值范围是__________．‎ ‎16．若函数满足对任意的，都有 成立，则称函数在区间上是“被约束的”.若函数在区间上是“被2约束的”，则实数的取值范围是____________.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；‎ ‎（Ⅱ）用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎18．（12分）设函数，且是的极值点.‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间.‎ ‎19．（12分）如图所示，直三棱柱的各棱长均相等，点为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆E相交于A，B两点，设P为椭圆E上一动点，且满足（O为坐标原点）.当时，求的最小值.‎ ‎21．（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在区间内有唯一的零点，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点，倾斜角为的直线l与曲线C相交于M，N两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）对，，求证：.‎ 参考答案 ‎1．B 2．C 3．C 4．C 5．A 6．C 7．B 8．B 9．D 10．C ‎ ‎11．B 12．B ‎13．2.1 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）设日销量为，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件．则，，‎ ‎∴．‎ ‎（2）日销售量不低于100枝的概率，则，于是，‎ 则分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴．‎ ‎18．（Ⅰ）.因为是函数的极值点.‎ 所以，即，因此，经验证，当时，是函数的极值点.‎ ‎（Ⅱ）可知，‎ ‎.‎ 因为，当或，，‎ 当或，‎ 所以的单调增区间是和；单调减区间是和.‎ ‎19．（1）设与交点为，连接，.‎ 由题可知四边形为正方形，所以，且为中点.‎ 又因，，所以，所以.‎ 又因为，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）取的中点，连接，，在平面过点内作的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系.‎ 设，则，，，.‎ 所以，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，令，则.‎ 由（1）可知平面的一个法向量为，‎ 则.‎ 由图可知二面角为锐角，所以其余弦值为.‎ ‎20．解：（1）依题意得，.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则，解得，.所以椭圆E的方程为.‎ ‎（2）设A，B两点的坐标分别为，‎ 联立方程得，，‎ ‎，，‎ 因为，即，所以.‎ 所以点，又点P在椭圆C上，所以有，‎ 化简得，‎ 所以，化简，因为，所以，因为，‎ 又，，所以.‎ 令，则，当时，取得最小值，最小值为.‎ ‎21．（1），‎ ‎①当时，，在上单调递增 ‎ ‎②当时，设的两个根为，且 ‎ ‎ 在单调递増，在单调递减.‎ ‎（2）依题可知，若在区间内有唯一的零点，由（1）可知，‎ 且. 于是： ① ② ‎ 由①②得，设，‎ 则，因此在上单调递减，‎ 又， ‎ 根据零点存在定理，故.‎ ‎22．（1）因为曲线C的参数方程为，（为参数），‎ 所以曲线C的直角坐标方程为，‎ 即，将，，，‎ 代入上式得.‎ ‎（2）直线l的参数方程为，（t为参数），‎ 将代入，整理得，‎ 设点M，N所对应的参数分别为，，则，，，‎ 因为，异号，所以.‎ ‎23．解：（Ⅰ）令 当时，由，得，‎ 当时，由，得，∴不等式的解集为． ‎ ‎（Ⅱ），又∵，‎ ‎∴（当且仅当时取等），‎ ‎∴．‎