【推荐】专题02 空间几何体的外切球和内切球-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练x

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一、选择题 ‎1．【漳州市2016-2017学年高一期末】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎2．【2017重庆市第一中学高三月考】某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎3．【2018届高考全国卷26省9月联考】若正四棱锥内接于球，且底面过球心，设正四棱锥的高为，则球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，正方形ABCD的外接圆是大圆，所以半径为1， 。选A. ‎ ‎4．【2018庄河市高级中学高三开学考】已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 点睛：本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题。本题关键是由已知条件，画出草图。‎ ‎5．【2017青岛市高三调研】已知边长为的正方形的两个顶点在球的球面上，球心到平面的距离为，则球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设正方形ABCD的中心为M，连结OM，OA，则OM⊥平面ABCD，‎ ‎∴, ‎ 设球的半径为r,则,即.‎ ‎， ‎ 故选：A ‎6．【2018黑龙江省大庆实验中学高三初考】已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上， 平面，且，则球的表面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【点睛】‎ 求共点三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球相关问题，我们常用的方法为补形成长方体，转化为求长方体的外接球问题。充分体现补形转化思想。‎ ‎7．【杭州市名校协作体2016—2017学年度高二月考】三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为，则该三棱锥的外接球的表面积（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得外接球的直径等于 ,所以表面积为 ,选D.‎ 点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．‎ ‎(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．‎ ‎8．【河南省长葛一高2018届高三开学考】已知多面体的每个顶点都在球的表面上，四边形为正方形， ，且在平面内的射影分别为，若的面积为2，则球的表面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎9．【安徽省十校联盟2018届高三摸底考】如图，某几何体的三视图是三个半径为2的圆及其部分，其中半径垂直，均为直径，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】该几何体直观图如图所示，是一个球的，球的半径为2，则该几何体的体积，‎ 故选C. ‎ 点睛：三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎10．【山西省朔州一中2017-2018学年高二月考】已知球O，过其球面上A，B，C三点作截面，若点O到该截面的距离是球半径的一半，且AB＝BC＝2，∠B＝120°，则球O的表面积为(　　)（注:球的表面积公式S=4πr²）‎ A. B. C. 4π D. ‎ ‎【答案】A 本题选择A选项.‎ ‎11．【2017年江西省“北阳四校”高三开学考】已知底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1,补成一个正方体(棱长为1),正方体外接球为正三棱锥外接球,所以球的直径为 , 表面积为 ,选A.‎ ‎12．【2017届黑龙江省哈尔滨市九中高三二模】已知过球面上三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎13．【西藏自治区拉萨中学2017届高三月考】如图,三棱锥中,,,且,则三棱锥的外接球表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵面，面，∴，∵，，∴面，∵面，∴，取的中点，则，∴为球心，∵，∴，∴球半径为 ，∴该三棱锥的外接球的表面积为，故选B. ‎ ‎14．【四川省遂宁市2017届高三三诊考】‎ 表面积为24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因，故，其对角线长为，即正方体的外接球的半径，则该球的体积，应选答案B。‎ ‎15．【云南省玉溪市民族中学2016-2017学年高一阶段考】一个长方体的棱长分别为，它的顶点都在同一个球面上，这个球的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎16．【江西省南昌市二中2016-2017学年高二期中】已知四棱锥 的底面是边长为2的正方形， ，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，将四棱锥扩充为正方体，体对角线长为，所以四棱锥外接球的直径为，半径为，所以四棱锥外接球的表面积为，故选C.‎ 二、填空题 ‎17．【2017届山东省济宁市高三模拟考】一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的体积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎18．【安徽六校教育研究会2018届高三联考】已知三棱锥中， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】三棱锥A−BCD的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体，‎ 它也外接于球,且此长方体的面对角线的长分别为： ,,，‎ 体对角线的长为球的直径, ，‎ ‎∴它的外接球半径是，‎ 外接球的表面积是，‎ 故答案为： . ‎ 点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ ‎19．【安徽六校教育研究会2018届高三联考】已知三棱锥， 为边三角形， 为直角三角形， ，平面平面.若 ‎，则三棱锥外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .‎ ‎20．【福建省三明市2016-2017学年高一检测】已知正四面体的棱长为2，则该四面体的内切球的表面积为__________.‎ ‎【答案】.‎ 解得，R=．OE=AE﹣R=，‎ 则其内切球的半径是，‎ 所以四面体的内切球的表面积为4π•=．‎ 故答案为：．‎ 点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎21．【福建省三明二中2016-2017学年高一阶段考】若半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为和,则这两个截面间的距离为___．‎ ‎【答案】1或7‎ ‎【解析】两个平行截面圆的半径为3和4，球心到这两个截面的距离为4和3，所以这两个截面间的距离为4-3=1或4+3=7. ‎ ‎22．【云南省昆明市2017届高三统测】已知边长为的等边的三个顶点都在球的表面上， 为球心，且与平面所成的角为，则球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎23．【2017江苏卷】如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设球半径为，则．故答案为．‎ 点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎24．【福建省2016届高三毕业班总复习】已知一个圆柱的两个底面都在同一个球面上，且圆柱的表面积是此球的表面积的，则圆柱的体积与此球的体积的比值是___________.‎ ‎【答案】或 ‎25．【辽宁省实验中学2017届高三六模】已知空间四边形中， ， ， ，若平面平面，则该几何体的外接球表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图：‎ 由于 是等边三角形，所以到A,B,D三点距离相等的点在重心O且垂直是平面ABD的直线上，又因为，所以到B,C,D三点距离相等的点在过BD中点E且与平面BCD垂直的直线上，两直线的交点是O,所以球心为O.半径R=， 。填。 ‎ ‎【点睛】‎ 对于多点共点问题，可退其之求到三点距离相等的点的集合，再考虑另外一些点距离相等的点的集合，两个或多个点的集合交点，即为球心。‎ ‎ ‎