2021版高考数学一轮复习核心素养测评七十六离散型随机变量与其他知识的综合问题理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评七十六离散型随机变量与其他知识的综合问题理北师大版

核心素养测评七十六 离散型随机变量与其他知识的综合问题 ‎1.2019年12月某城市国际马拉松赛正式举行,组委会对40名裁判人员进行业务培训,现按年龄(单位:岁)进行分组统计:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图: ‎ ‎(1)培训前组委会用分层抽样调查方式在第3,4,5组共抽取了12名裁判人员进行座谈,若将其中抽取的第3组的人员记作C1,C2,…,Cn(n∈N*),第4组的人员记作D1,D2,…,Dm(m∈N*),第5组的人员记作E1,E2,…,Ek(k∈N*),若组委会决定从上述12名裁判人员中再随机选3人参加新闻发布会,要求这3组各选1人,试求裁判人员C1,D1不同时被选中的概率.‎ ‎(2)培训最后环节,组委会决定从这40名裁判中年龄在[35,45]的裁判人员里面随机选取3名参加业务考试,设年龄在[40,45]中选取的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.‎ ‎【解析】(1)各组频率分别为:‎ ‎0.05,0.35,0.30,0.20,0.10,这40人中,来自各组的分别有2,14,12,8,4人,分层抽样后,来自第3,4,5组的分别有6,4,2人,当分别从这三组抽一人,有6×4×2=48种情况,记事件A=“裁判人员C1,D1不同时被选中”,则=“裁判人员C1,D1同时被选中”,故P(A)=1-=为所求.‎ ‎(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,且有:‎ P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,‎ P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,‎ 故分布列为:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ - 6 -‎ P ξ的数学期望为:E(ξ)=0+1×+2×+3×=1.‎ ‎2.当前,以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试,是激发学生、家长和学校积极开展体育活动,保证学生健康成长的有效措施.某地区 2020年初中毕业生升学体育考试规定,考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试,三项考试满分为50分,其中立定跳远15分,掷实心球15分,1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况,随机抽取了100名学生进行测试,得到如图频率分布直方图,且规定计分规则如表:‎ 每分钟跳绳个数 得分 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎(1)现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率.‎ ‎(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ,σ2),用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差s2≈169(各组数据用中点值代替).根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步,假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,现利用所得正态分布模型:‎ ‎(ⅰ)预估全年级恰好有2 000名学生时,正式测试每分钟跳182个以上的人数;(结果四舍五入到整数)‎ ‎(ⅱ)若在全年级所有学生中任意选取3人,记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.‎ - 6 -‎ 附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ182)=1-=0.841 5,‎ 所以0.841 5×2 000=1 683(人).‎ ‎(ⅱ)由正态分布模型,全年级所有学生中任取1人,每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5,‎ 即ξ～B(3,0.5),‎ 所以P(ξ=0)=(1-0.5)3=0.125,‎ P(ξ=1)=0.5·(1-0.5)2=0.375,‎ P(ξ=2)=0.52·(1-0.5)=0.375,‎ P(ξ=3)=0.53=0.125,‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.125‎ ‎0.375‎ ‎0.375‎ ‎0.125‎ E(ξ)=3×0.5=1.5. ‎ ‎【变式备选】‎ ‎1.世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长,某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况,随机抽查了该商店某天200名顾客的消费金额情况,得到如下频数分布表:‎ 消费金额/万卢布 顾客人数 ‎[0,1]‎ ‎9‎ ‎(1,2]‎ ‎31‎ - 6 -‎ ‎(2,3]‎ ‎36‎ ‎(3,4]‎ ‎44‎ ‎(4,5]‎ ‎62‎ ‎ (5,6]‎ ‎18‎ 合计 ‎200‎ 将消费金额超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”,消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”.‎ ‎(1)求这200名顾客消费金额的中位数与平均数(同一组中的消费金额用该组的中点值作代表).‎ ‎(2)该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型,采用分层抽样的方法从“非足球迷”“足球迷”中选取5人,再从这5人中随机选取3人进行问卷调查,求选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望.‎ ‎【解析】(1)设这200名顾客消费金额的中位数为t,则有+(t-3)×=0.5,解得t=,所以这200名顾客消费金额的中位数为.‎ 这200名顾客消费金额的平均数为,‎ ‎=×0.5+×1.5+×2.5+×3.5+×4.5+×5.5=3.365,‎ 所以这200名顾客的消费金额的平均数为3.365万卢布.‎ ‎(2)由频率分布表可知,“足球迷”与“非足球迷”的人数比为=,‎ 采用分层抽样的方法,从“足球迷”“非足球迷”中选取5人,其中“足球迷”有5×=2人,“非足球迷”有5×=3人.设ξ为选取的3人中非足球迷的人数,取值为1,2,3.则P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,‎ P(ξ=3)== .分布列为:‎ - 6 -‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.3‎ ‎0.6‎ ‎0.1‎ E(ξ)=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8.‎ ‎2.某地因受天气、春季禁渔等因素影响,政府规定每年的6月1日以后的100天为当年的捕鱼期.某渔业捕捞队对吨位为40 t的20艘捕鱼船一天的捕鱼量进行了统计,如表所示:‎ 捕鱼量(单位:吨)‎ 频数 ‎2‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎1‎ 根据气象局统计近20年此地每年100天的捕鱼期内的晴好天气情况如表(捕鱼期内的每个晴好天气渔船方可捕鱼,非晴好天气不捕鱼):‎ 晴好天气(单位:天)‎ 频数 ‎2‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎(同组数据以这组数据的中间值作代表)‎ ‎(1)估计渔业捕捞队吨位为40 t的渔船单次出海的捕鱼量的平均数.‎ ‎(2)已知当地鱼价为2万元/吨,此种捕鱼船在捕鱼期内捕鱼时,每天成本为10万元/艘,若不捕鱼,每天成本为2万元/艘,若以(1)中确定的作为上述吨位的捕鱼船在晴好天气捕鱼时一天的捕鱼量.‎ ‎①请依据往年天气统计数据,试估计一艘此种捕鱼船年利润不少于1 600万元的概率;‎ ‎②设今后3年中,此种捕鱼船每年捕鱼情况一样,记一艘此种捕鱼船年利润不少于1 600万元的年数为X,求X的分布列和期望.‎ - 6 -‎ ‎【解析】(1)此吨位的捕鱼船一天的捕鱼量的平均数为:=7.5×+12.5×+17.5×+22.5×+27.5×=16(吨).‎ ‎(2)①设每年100天的捕鱼期内晴好天气天数为a,则年利润为a-2=24a-200,‎ 由24a-200>1600,解得a>75,‎ 所以要使一艘此种捕鱼船年利润不少于1 600万元,即捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天.‎ 又100天的捕鱼期内的晴好天气天数不低于75天的频率为=0.4,‎ 预测一艘此种捕鱼船年利润不少于1 600万元的概率为0.4;……②由题可知:随机变量X的可能取值为0,1,2,3,且X～B3,,所以P(X=0)‎ ‎=03=,‎ ‎　　　P(X=1)=12=,‎ P(X=2)=21=,‎ P(X=3)=30=.‎ X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E(X)=3×=.‎ - 6 -‎ - 6 -‎