FEOO及其预选奥林匹克竞赛数学试题

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函数方程在线奥林匹克 比赛时间: 2020 年 5 月 30 日 1.(由科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题)求所有的函数 :f  , 使得对所有非负整数 , , ,w x y z , 均有 . 注: 指非负整数集, 指实数集. 2. (由塞浦路斯的 Demetres Christofides 供题)对一群人 G, 设 ()aG 表示将他们安排就座时, 保证每个人都在其中一桌入 座,且任意两个朋友不在同一桌, 所需的最少的桌子数目. 类似地, 设 ()bG 表示将他们安排就座时, 保证每个人都在 其中一桌入座, 且任意两个敌人不在同一桌所需的最少的 桌子数目. 考虑所有函数 **:f  , 使得对任意一群由 n 个人组成的人群G, 均有 ( ) ( ( )) ( ( ))f n f a G f b G, (2) 1f  . 求 (2020)f 所有可能的值. 注:在本题目中, 对任意两个人, 他们不是朋友就是敌人. * 表示正整数集. 3. (由科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题)设 和 分别表示指定平 面内所有直线的集合和所有点的集合. 求所有的函数 :f  , 使 得 对 任 意 两 个 相 交 的 直 线 12,ll , 均 有 点 1 2 1 2( ), ( ),f l f l l l 共线. 4. (由科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题)求所有的函数 :f  , 使得对所有实数 x, y, 均有 (2 ( )) ( ) ( )f xy f x y xf y yf x    成立. 注: 指实数集. 函数方程在线奥林匹克预选题 海亮高级中学 龙崎钢 译 试题来源： https://artofproblemsolving.com/community/q1h2061800p14702983 代数组 A1. ( 由 科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题) 求所有的函数 :f  , 使得对所有实数 ,xy, 均有 222 ( ) ( ) ( ) ( )xyf xy xy xf x f y . A2. (由墨西哥的 Victor Dominguez 供题)求所有函数 **:f  , 使得对任意正整数 m, n, 均有 ( ( ) ) ( ( )) ( ( )) ( 1)f f m n f f n f m f n f m      . A3.(由印度的 Aditya Guha Roy 供题)设 H 为 的非空子集, {0}H  , 且 H 为可加集合(即对所有的 ,x y H , 均有 x y H ). 求所有满足以下两个条件的函数 :fH : (i) ( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y H     . (ii)对 ,,x y H x y   , 均有 ( ) ( )f x f y . A4.(由 ThE-dArK-lOrD 与泰国的 Papon Tan Lapate 供题) 求所有函数 *:f  , 使得对任意正实数 x, y, z, 均有 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )f x y z f xy f yz f zx     . A5.(由希腊的 Athanasios Kontogeorgis 与科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题)求所有函数 **:f  , 使得对任意正实数 x, y, 均有 ( ( ) ( )) ( )f x f x f y x f x y     . A6.(由墨西哥的 Victor Dominguez 与泰国的 Papon Tan Lapate 供题)求所有函数 , 使得对任意满足 x y z 的正实数 x, y, z, 均有 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f y f z xf y yf z zf x     . A7. (由美国的 Carl Schildkraut 供题)给定正整数 n. 求所有 的 n 元数组 12, ,... na a a , 使得存在一个非线性函数 :f  , 满足对任意实数 12, ,... nx x x , 均有 1 2 1 2 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )nnaaa a a a nnf x x x f x f x f x       . 注: 线性函数指 ( ) , ,f x ax b a b   . A8.(由科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题)求所有的函数 :f  , 使得对所有非负整数 , , ,w x y z , 均有 . 注: 指非负整数集, 指实数集. 数论组 N1.(由科索沃的Dorlir Ahmeti供题)求所有的函数 :f  , 使得对所有非负整数 , , ,w x y z , 均有 . 注: 指非负整数集, 指实数集. N2.(由墨西哥的Victor Dominguez与科索沃的Dorlir Ahmeti 供题)给定正整数k, 求所有函数 **:f  , 使得对所有互 不相同的正整数 12, ,... ka a a , 存在一个他们的排列 12, ,... kb b b , 使得 12 12 ()( ) ( ) ... k k faf a f a b b b   为正整数. 注: * 表示正整数集. N3.( 由 科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题) 求 所 有 的 函 数 *:f  , 使得对任意整数 m, n, (2 )! (2 )f m n f n m   均 为素数. N4.(由科索沃的 Dorlir Ahmeti 与泰国的 Papon Tan Lapate 供题) 求所有函数 , 使得对所有正整数 x, y, z, 均有 ( ( ) ( 1) ( 2)) 2 f xyz f xy yz zx x y z f x y z            ( ) ( ) ( ) 3 f x f y f z . 几何组 G1. (由科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题)设 表示指定平面内所 有点的集合. 求所有的映射 :f  , 使得对任意两个相 交的直线 ,MN , 点 ( ), ( )f M f N 与线段 MN 中点共线. G2.(由墨西哥的 Victor Dominguez 与泰国的 Papon Tan Lapate 供题) 设 表示指定平面内所有点的集合. O 为集合 中的给定一点. 求所有的映射 /{O} /{O}, 使得对 平面上任意两个不与 O 重合的点 A, B, 若 AB＝AO, 则点 ()fB一定在以 ()Of A 为直径的圆上. G3. (由科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题)设 和 分别表示指定平 面内所有直线的集合和所有点的集合. 求所有的函数 , 使 得 对 任 意 两 个 相 交 的 直 线 12,ll , 均 有 点 1 2 1 2( ), ( ),f l f l l l 共线. G4. (由科索沃的 Dorlir Ahmeti 与塞浦路斯的 Demetres Christofides 供题) 设 表示指定平面内所有点的集合. 求所 有的映射 , 使得对集合 中的任意两个互异的点 A, B, 点 , , ( ), ( )A B f A f B 共圆. 组合组 C1. (由科索沃的 Dorlir Ahmeti 供题)对可平面图 G, 设 V, E, F 分别表示其顶点, 边和面的个数. 求所有的函数 :f  , 使得对任意的可平面图 G, 均有 ( ) ( ) 2 ( 1)f V E f F f E    . C2. (由塞浦路斯的 Demetres Christofides 供题)对一群人 G, 设 ()aG 表示将他们安排就座时, 保证每个人都在其中一桌 入座,且任意两个朋友不在同一桌, 所需的最少的桌子数目. 类似地, 设 ()bG 表示将他们安排就座时, 保证每个人都在 其中一桌入座, 且任意两个敌人不在同一桌所需的最少的 桌子数目. 考虑所有函数 **:f  , 使得对任意一群由 n 个人组成的人群G, 均有 ( ) ( ( )) ( ( ))f n f a G f b G, (2) 1f  . 求 (2020)f 所有可能的值. 注:在本题目中, 对任意两个人, 他们不是朋友就是敌人. * 表示正整数集. C3.(由泰国的 Papon Tan Lapate 供题) 给定实数 c＞0. 神算 子和智多星在 x,y－坐标系下进行如下游戏: 首先, 智多星 选择一个函数  : 0,2020f  . 其次, 将所有属于集合  2( , ) | ( ( ))x y f x f y y   的点定义为”好点”. 然后, 神算 子选择一个”好点”站在上去, 智多星选择另一个好点站上去. 随后神算子先开始, 双方轮流进行如下操作: 在每个回合中, 神算子可以移动到任意一个与他当前位置距离不超过 c 的” 好点”上, 智多星则可以移动到任意一个与他当前位置距离 不超过2020的好点上. 求c的最小值, 使得智多星无论怎么 选择 ()fx,神算子都有必胜策略. 或证明这样的 c 不存在.