2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§14 坐标系与参数方程（讲解部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§14 坐标系与参数方程（讲解部分）

专题十四　坐标系与参数方程 高考文数 考点一　坐标系与极坐标 考点清单 考向基础 1.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)设点 P ( x , y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ :   的作 用下,点 P ( x , y )对应到点 P '( x ', y '),称 φ 为平面直角坐标系中的伸缩变换. (2) 常见的伸缩变换问题的题型 : 已知变换前的解析式及伸缩变换 , 求变换 后的解析式 ; 已知伸缩变换及变换后的解析式 , 求变换前的解析式 ; 已知变 换前、后的解析式 , 求伸缩变换 . 2.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系的四要素: 极点 、 极轴 、 单位(长度单位、角度单位) 以及 正方 向 . 3.直角坐标与极坐标的互化 (1)两者互化的前提:直角坐标系的原点与极点重合; x 轴的正半轴与极轴重 合;在两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式:设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为( x , y ) 和( ρ , θ ), 则有   且   (3)把直角坐标化为极坐标,求极角时,应注意确定极角 θ 的终边所在的位置, 以便准确地求出 θ . 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆   ρ = r (0 ≤ θ <2π) 圆心为( r ,0),半径为 r 的圆   ρ =2 r cos θ   圆心为   ,半径为 r 的圆   ρ =2 r sin θ (0 ≤ θ <π) 4.简单曲线的极坐标方程 过极点,倾斜角为 α 的直线   θ = α ( ρ ∈R) 和 θ =π+ α ( ρ ∈R) 过点( a ,0)( a >0),与极轴垂直的直 线   ρ cos θ = a   过点   ( a >0),与极轴平行的 直线   ρ sin θ = a (0< θ <π) 【知识拓展】 求曲线的极坐标方程的步骤: (1)建立适当的极坐标系,设 P ( ρ , θ )是曲线上任意一点; (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ρ 与极角 θ 之间 的关系式; (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程. 考向突破 考向一　极坐标方程与直角坐标方程间的互化 例1    (2016课标全国Ⅰ,23,10分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为   ( t 为参数, a >0).在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐 标系中,曲线 C 2 : ρ =4cos θ . (1)说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程; (2)直线 C 3 的极坐标方程为 θ = α 0 ,其中 α 0 满足tan α 0 =2,若曲线 C 1 与 C 2 的公共点 都在 C 3 上,求 a . 解析　(1)消去参数 t 得到 C 1 的普通方程: x 2 +( y -1) 2 = a 2 . C 1 是以(0,1)为圆心, a 为 半径的圆.   (2分) 将 x = ρ cos θ , y = ρ sin θ 代入 C 1 的普通方程中,得到 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 -2 ρ sin θ +1- a 2 =0.   (4分) (2)曲线 C 1 , C 2 的公共点的极坐标满足方程组     (6分) 若 ρ ≠ 0,由方程组得16cos 2 θ -8sin θ cos θ +1- a 2 =0,   (8分) 由已知tan θ =2,可得16cos 2 θ -8sin θ cos θ =0, 从而1- a 2 =0, 解得 a =-1(舍去)或 a =1. a =1时,极点也为 C 1 , C 2 的公共点,在 C 3 上. 所以 a =1.   (10分) 易错警示    对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不 透彻是失分的主要原因. 例2    (2020届湖北沙市中学第二次周考,22)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为   ( α 为参数),直线 C 2 的直角坐标方程为 y =   x .以 坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 1 和直线 C 2 的极坐标方程; (2)若直线 C 2 与曲线 C 1 交于 A , B 两点,求   +   . 考向二　直线与圆的极坐标方程的应用 解析　(1)由曲线 C 1 的参数方程为   ( α 为参数),得曲线 C 1 的普通 方程为( x -2) 2 +( y -2) 2 =1,即 x 2 + y 2 -4 x -4 y +7=0,则 C 1 的极坐标方程为 ρ 2 -4 ρ cos θ - 4 ρ sin θ +7=0. 由直线 C 2 的直角坐标方程知直线 C 2 过原点,且倾斜角为   ,故其极坐标方程 为 θ =   ( ρ ∈R). (2)由   得 ρ 2 -(2   +2) ρ +7=0, 设 A , B 对应的极径分别为 ρ 1 , ρ 2 ,则 ρ 1 + ρ 2 =2   +2, ρ 1 ρ 2 =7, ∴   +   =   =   =   . 考向基础 1.直线、圆和椭圆的参数方程和普通方程 2.参数方程化为普通方程的关键是消参数:一要熟练掌握常用技巧(如 整体代换),二要注意变量取值范围的一致性,这一点最易忽视. 普通方程 参数方程 过点 M ( x 0 , y 0 ),倾斜角 为 α 的直线 y - y 0 =tan α ( x - x 0 )   和 x = x 0     ( t 为参数) 圆心在原点, 半径为 r 的圆 x 2 + y 2 = r 2   ( θ 为参数) 中心在原点, 焦点在 x 轴 上的椭圆   +   =1( a > b >0)   ( φ 为参数) 考点二　参数方程 3.根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: (1)直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t 1 , t 2 ,则弦长 l =| t 1 - t 2 |; (2)定点 M 0 是弦 M 1 M 2 的中点 ⇒ t 1 + t 2 =0 ; (3)设弦 M 1 M 2 的中点为 M ,则点 M 对应的参数值 t M =   (由此可求| M 2 M |及中 点坐标). 考向一　参数方程与普通方程的互化 考向突破 例3    (2018课标全国Ⅱ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为   ( θ 为参数),直线 l 的参 数方程为   ( t 为参数). (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率. 解析　(1)曲线 C 的直角坐标方程为   +   =1. 当cos α ≠ 0时, l 的直角坐标方程为 y =tan α · x +2-tan α ,当cos α =0时, l 的直角坐 标方程为 x =1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程(1+3cos 2 α ) t 2 + 4(2cos α +sin α ) t -8=0.① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内,所以①有两个解,设为 t 1 , t 2 , 则 t 1 + t 2 =0. 又由①得 t 1 + t 2 =-   ,故2cos α +sin α =0,于是直线 l 的斜率 k =tan α = -2. 注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程 对应,所以本题中的“直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.   方法总结　以角 θ 为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系sin 2 θ +cos 2 θ =1化为普通方程;而弦的中点问题常用根与系数的关系或“点差 法”进行整体运算求解. 例4    (2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为   ( α 为参数).以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐 标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ sin   =2   . (1)写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程; (2)设点 P 在 C 1 上,点 Q 在 C 2 上,求| PQ |的最小值及此时 P 的直角坐标. 考向二　圆锥曲线的参数方程的应用 解析　(1) C 1 的普通方程为   + y 2 =1. C 2 的直角坐标方程为 x + y -4=0.   (5分) (2)由题意,可设点 P 的直角坐标为(   cos α ,sin α ).因为 C 2 是直线,所以| PQ |的 最小值即为 P 到 C 2 的距离 d ( α )的最小值, d ( α )=   =     .   (8分) 当且仅当 α =2 k π+   ( k ∈Z)时, d ( α )取得最小值,最小值为   ,此时 P 的直角坐 标为   .   (10分) 例5    (2020届河南十所名校9月联考,22)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的 参数方程为   ( m 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2 =   ,直线 l 与曲线 C 交于 M , N 两 点. (1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (2)求| MN |. 考向三　直线的参数方程的应用 解析　(1)由   ( m 为参数)消去参数 m ,整理可得直线 l 的普通方程为 x -2 y -3=0.   (2分) 由曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2 =   得 ρ 2 (3-cos 2 θ )=36,即 ρ 2 (2cos 2 θ +4sin 2 θ )= 36, 故曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 +2 y 2 =18,即   +   =1.   (5分) (2)由已知可得直线 l 的斜率 k =   ,设 l 的倾斜角为 α ,则sin α =   ,cos α =   , 所以直线 l 的参数方程可写成   ( t 为参数).   (6分) 将   代入 x 2 +2 y 2 =18,整理可得 t 2 =   , 解得 t 1 =   , t 2 =-   .   (8分) 由参数的几何意义可得| MN |=| t 1 - t 2 |=5   .   (10分) 方法1 　极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式 x = ρ cos θ 及 y = ρ sin θ 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解 此类问题常通过变形,构造形如 ρ cos θ , ρ sin θ , ρ 2 的形式,进行整体代换.其中 方程的两边同乘(或同除以) ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程 进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验,以免出现 不等价变形. 方法技巧 例1    (2019课标全国Ⅱ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在极坐标系中, O 为极点,点 M ( ρ 0 , θ 0 )( ρ 0 >0)在曲线 C : ρ =4sin θ 上,直线 l 过点 A (4, 0)且与 OM 垂直,垂足为 P . (1)当 θ 0 =   时,求 ρ 0 及 l 的极坐标方程; (2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程. 解析　本题主要考查了极坐标的概念和求极坐标方程的基本方法,考查了 数学运算能力和数形结合的思想方法,主要体现了直观想象和数学运算的 核心素养. (1)因为 M ( ρ 0 , θ 0 )在 C 上,所以当 θ 0 =   时, ρ 0 =4sin   =2   . 由已知得| OP |=| OA |cos   =2. 设 Q ( ρ , θ )为 l 上除 P 的任意一点. 在Rt△ OPQ 中, ρ cos   =| OP |=2. 经检验,点 P   在曲线 ρ cos   =2上. 所以, l 的极坐标方程为 ρ cos   =2. (2)设 P ( ρ , θ ),在Rt△ OAP 中,| OP |=| OA |cos θ =4cos θ ,即 ρ =4cos θ . 因为 P 在线段 OM 上,且 AP ⊥ OM , 故 θ 的取值范围是   . 所以, P 点轨迹的极坐标方程为 ρ =4cos θ , θ ∈   .   易错警示    忽视了点 P 在线段 OM 上的条件,没有限制 θ 的取值范围而导 致错解. 方法2 　参数方程与普通方程的互化方法 1.将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征选取适当的消 参方法,常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对 于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参,如sin 2 θ +cos 2 θ =1等. 2.将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点的 坐标的影响,注意两种方法的等价性,避免产生增解. 3.将普通方程化为参数方程时,应选择适当的参数,把点( x , y )的横、纵坐标 分别用参数表示出来,同时注意参数的几何意义和取值范围. 例2    (2019课标全国Ⅰ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为   ( t 为参数).以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为2 ρ cos θ +   ρ sin θ +11=0. (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)求 C 上的点到 l 距离的最小值.   解析　本题考查了参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标 方程的互化,通过整体运算消参数和利用三角函数求最值,考查了数学运算 能力和转化的思想方法,核心素养体现了数学运算. (1)因为-1<   ≤ 1,且 x 2 +   =   +   =1, 所以 C 的直角坐标方程为 x 2 +   =1( x ≠ -1). l 的直角坐标方程为2 x +   y +11=0. (2)由(1)可设 C 的参数方程为   ( α 为参数,-π< α <π). C 上的点到 l 的距 离为   =   . 当 α =-   时,4cos   +11取得最小值7,故 C 上的点到 l 距离的最小值为   . 注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程 对应,所以本题中的“求 C 和 l 的直角坐标方程”更改为“求 C 的普通方程 和 l 的直角坐标方程”更合适.   思路分析    (1)观察、分析参数方程的特征,应通过平方运算消去参数 t ; 直线 l 的极坐标方程只需直接利用互化公式即可求解;(2)由点到直线的距 离公式,利用椭圆的参数方程转化为三角函数求最值.