2018-2019学年湖南省湘西州高二上学期期末数学试题（文科） 解析版

2018-2019学年湖南省湘西州高二上学期期末数学试题（文科） 解析版

绝密★启用前 湖南省湘西州2018-2019学年高二（上)期末数学试卷（文科)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数( )‎ A．i B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．‎ ‎2．已知等差数列中，，，则公差（ ）‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的定义及通项公式可知，故可求.‎ ‎【详解】‎ 由题意，，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题要求学生掌握等差数列的通项公式及定义，是一道基础题．‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：直接利用充要条件的判断方法判断即可．‎ 解：因为“x＞1”⇒“x2＞1”，而“x2＞1”推不出“x＞1”，所以“x＞1”是“x2＞1”充分不必要条件．‎ 故选A．‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎4．设的内角A、B、C的对边分別为a、b、c，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据大边对大角，求出B的范围，结合正弦定理进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 由正弦定理得，得，‎ 即，则，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，结合大角对大边大边对大角是解决本题的关键．‎ ‎5．具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直线方程为，则m的值（ ）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ m ‎8‎ A．4 B． C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由表中数据得：，根据最小二乘法，将代入回归方程 ‎ ，得，故选A.‎ ‎6．已知，是椭圆的左、右焦点，直线l过点与椭圆交于A、B两点，且，则的周长为（ ）‎ A．10 B．12 C．16 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义可得：，，并且，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 椭圆，可得，‎ 根据题意结合椭圆的定义可得：，并且，‎ 又因为，‎ 所以的周长为：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎7．设实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由实数 ， 满足约束条件画出可行域如图阴影部分所示，可知当目标函数经过点时取得最大值，则 ‎ 故选D.‎ ‎8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，垂足为A，若，则（ ）‎ A．p B．2p C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 过作，得，得为中点，且，‎ 所以，故选B。‎ ‎9．若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为，只需这条渐近线比直线 的斜率大，即，故选C.‎ ‎10．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增 故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、-、+．‎ 考点：利用导数判断函数的单调性．‎ ‎11．数列，，，，的前n项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分组求和即可得到数列的和．‎ ‎【详解】‎ 数列，，，的前n项和为 ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列求和，等差数列以及等比数列求和，考查计算能力．‎ ‎12．已知函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，转化成在上有恒成立，从而求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 又在上是减函数，‎ 在上恒有，‎ 即在上恒成立，‎ 因为，所以，‎ 所以：．‎ 实数a的取值范围是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及一元二次不等式的解法问题，是高考中的热点问题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，‎ 故所求切线的方程为，即．‎ 答案： ‎ ‎14．已知数列的前n项和，其中，2，3，，那么______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 法一：由递推公式可得递推公式，，代入可求．‎ 法二：由可求，‎ 然后把代入到通项公式可求.‎ ‎【详解】‎ 法一：由于 ‎ ‎ ‎ 法二：由于 ‎ ‎ ‎ 故答案为：9.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由递推公式求解数列的通项公式的问题，属于基本公式的应用.‎ ‎15．在中，a，b，c分别是，，的对边已知，，的面积为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积求出c的值，结合余弦定理进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 三角形的面积，‎ ‎，‎ 即，‎ 则，‎ 即，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角形面积以及余弦定理的应用，根据面积公式求出c的值是解决本题的关键．‎ ‎16．已知两个正数x，y满足，则使不等式恒成立的实数m的范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意将代入进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意知两个正数x，y满足，‎ 则，当时取等号；‎ 的最小值是，‎ 不等式恒成立，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知双曲线的实半轴长为2，半焦距为4．‎ 求双曲线C的方程；‎ 判断点是否在双曲线C上．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得a，c，由a，b，c的关系可得b，进而得到所求双曲线的方程；‎ 将代入双曲线的方程，检验是否成立，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，‎ 即有，‎ 可得双曲线的方程为；‎ 将代入双曲线方程，‎ 可得，‎ 则点在双曲线C上．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用基本量的关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎18．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且．‎ 求角A的大小；‎ 若，，求a的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理由得，可求A；‎ 由余弦定理得a．‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，‎ ‎，，即，‎ 由余弦定理得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的综合应用属于中档题．‎ ‎19．已知等差数列的公差为1，前n项和为，且．‎ 求数列的通项公式；‎ 求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首项利用已知条件建立等量关系求出数列的通项公式．‎ 利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，首项为，‎ 前n项和为，且．‎ 则：，‎ 解得：．‎ 所以：．‎ ‎，‎ ‎，‎ 则：‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎20．为缓减人口老年化带来的问题，中国政府在2016年1月1日作出全国统一实施全面的“二孩”政策，生“二孩”是目前中国比较流行的元素某调查机构对某校学生做了一个是否同意父母生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”现已得知100人中同意父母生“二孩”占，统计情况如表：‎ 性别属性 同意父母生“二孩”‎ 反对父母生“二孩”‎ 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎30‎ 合计 ‎100‎ 请补充完整上述列联表；‎ 根据以上资料你是否有把握，认为是否同意父母生“二孩”与性别有关？请说明理由．‎ 参考公式与数据：，其中 k ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意填写列联表即可；‎ 根据表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得列联表如下：‎ 性别属性 同意父母生“二孩”‎ 反对父母生“二孩”‎ 合计 男生 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女生 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 计算， ‎ 所以没有的把握认为同意父母生“二孩”与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎21．已知点在椭圆G：上，且椭圆的离心率为．‎ 求椭圆G的方程；‎ 若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底做等腰三角形，顶点为，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ） 由条件可得方程组，解得，，所以椭圆的方程为 ‎. （Ⅱ）直线与椭圆弦长、面积问题，一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式解决:本题关键转化以为底作等腰三角形，顶点为为，其中中点为，这样可得等量关系，利用韦达定理可得弦中点坐标：，解得，进而可得、两点坐标，以下就具体化了.‎ 试题解析：解：（1）由题意可得，解得，，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ 设直线的方程为，代入得……（*）‎ 设， ，中点为，‎ 则，，‎ 因为为等腰的底边，所以，‎ 所以，解得，所以方程（*）为，‎ 解得，，所以，，于是,‎ 此时，点到直线的距离为，‎ 所以△的面积为.‎ 考点：直线与椭圆位置关系 ‎【方法点睛】弦中点问题解法一般为设而不求，方法一求弦AB所在直线方程的关键是求出斜率k，可把点P是弦AB的中点作为突破口求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎22．已知函数 若在处取得极值，求实数a的值．‎ 求函数的单调区间．‎ 若在上没有零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）单调增区间为，单调减区间为（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求导，令得，再讨论单调性下结论即可；‎ ‎（2）由，令可得增区间，令可得减区间；‎ ‎（3）要使在上没有零点，只需在上或，又，只需在区间上，，分，和三种情况讨论即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）的定义域为，且.‎ ‎∵在处取得极值，‎ ‎∴，解得或（舍），‎ 当时，，；‎ ‎，，‎ ‎∴函数在处取得极小值，‎ 故.‎ ‎（2）.‎ 令，解得；‎ 令，解得，‎ ‎∴函数的单调增区间为，单调减区间为 ‎（3）要使在上没有零点，只需在上或，‎ 又，只需在区间上，.‎ ‎①当时，在区间上单调递减，则， ‎ 解得与矛盾.‎ ‎②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴‎ ‎③当时，在区间上单调递增，‎ ‎，满足题意，‎ 综上所述，实数的取值范围是：.‎ 点睛：函数的零点问题求参数常用的方法和思路：‎ ‎（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；‎ ‎（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.‎