高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-3-3 直线与平面垂直的性质

高一数学（人教A版）必修2能力强化提升：2-3-3 直线与平面垂直的性质

一、选择题 ‎1．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内(　　)‎ A．不存在与l垂直的直线 B．存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条与l垂直的直线 D．任意一条都与l垂直 ‎[答案]　C ‎[解析]　若l⊂α，显然在α内存在无数条直线与l垂直；若l∥α，过l作平面β∩α＝l′，则l∥l′，‎ ‎∵在α内存在无数条直线与l′垂直，从而在α内存在无数条直线与l垂直；‎ 若l与α斜交，设交点为A，在l上任取一点P，‎ 过P作PQ⊥α，垂足为Q，在α内存在无数条直线与AQ垂直，从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直．‎ ‎2．过一点和已知平面垂直的直线条数为(　　)‎ A．1条　　　　　　　 B．2条 C．无数条 D．不能确定 ‎[答案]　A ‎[解析]　已知：平面α和一点P.‎ 求证：过点P与α垂直的直线只有一条．‎ 证明：不论点P在平面α外或平面α内，设PA⊥α，垂足为A(或P)．如果过点P还有一条直线PB⊥α，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β＝a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a，这是不可能的．所以过点P与α垂直的直线只有一条．‎ ‎3．若两直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面(　　)‎ A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．一定不存在 ‎[答案]　B ‎[解析]　当a⊥b时，有且只有一个．‎ 当a与b不垂直时，不存在．‎ ‎4．已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．斜交 D．不能确定 ‎[答案]　B ‎[解析]　设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥α，直线l⊥a，l⊥b.‎ 过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.‎ 同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′，‎ ‎∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.‎ ‎5．(2012－2013·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的(　　)‎ A．AC⊥β B．AC⊥EF C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上 D．AC与α、β所成的角相等 ‎[答案]　D ‎6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是(　　)‎ ‎①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；‎ ‎②若a⊥α，a⊂β，则α⊥β；‎ ‎③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；‎ ‎④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.‎ A．①和② B．②和③‎ C．③和④ D．①和④‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m 与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是平面与平面垂直的判定定理，所以②是真命题．③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中m与n可能是异面直线，所以④不正确．‎ ‎7．如下图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，若E是A‎1C1的中点，则直线CE垂直于(　　)‎ A．AC B．BD C．A1D D．A1D1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　易得BD⊥面ACC‎1A1，又CE⊂面ACC‎1A1，‎ ‎∴CE⊥BD.‎ ‎8．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　)‎ A．线段B‎1C B．线段BC1‎ C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B‎1C1中点连成的线段 ‎[答案]　A ‎[解析]　∵DD1⊥平面ABCD，‎ ‎∴D1D⊥AC，‎ 又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1，‎ ‎∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B‎1C.‎ 又∵B‎1C∩AC＝C，‎ ‎∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ 而AP⊥BD1，∴AP⊂平面AB‎1C.‎ 又P∈平面BB‎1C1C，∴P点轨迹为平面AB‎1C与平面BB‎1C1C的交线B‎1C.故选A.‎ 二、填空题 ‎9．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．‎ ‎[答案]　平行 ‎[解析]　由于直线a垂直于平面α内的两条相交直线m，n，则a ‎⊥α.同理，b⊥α，则a∥b.‎ ‎10．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如右图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　∵AF⊥平面AC，DE⊥平面AC，∴AF∥DE.‎ 又∵AF＝DE，∴四边形ADEF是平行四边形．‎ ‎∴EF＝AD＝6.‎ ‎11．如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，EF∥PA，则图中直角三角形的个数是________．‎ ‎[答案]　6‎ ‎[解析]　由PA⊥平面ABC，得PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，‎ 又∵BC⊥AC，AC∩PA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.‎ ‎∵EF∥PA，PA⊥平面ABC，‎ ‎∴EF⊥平面ABC，‎ ‎∴EF⊥BE，EF⊥EC.‎ ‎∴△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，△EFC，△BEF均为直角三角形．‎ ‎12．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为‎2 cm、‎3 cm、‎4cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________．‎ ‎[答案]　‎‎3 cm ‎[解析]　如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，‎ ‎△ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，‎ 又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，‎ 则E′∈A′B′，G′∈C′E′，EE′＝(A′A＋B′B)＝，CC′＝4，CGGE＝21，在直角梯形EE′C′C中，可求得GG′＝3.‎ 三、解答题 ‎13．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．‎ 求证：平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎[分析]　由题意易知AF⊥平面CDE，只需在平面BCE中找一直线与AF平行即可．‎ ‎[证明]　取CE的中点G，连接FG，BG，AF.‎ ‎∵F为CD的中点，‎ ‎∴GF∥DE，且GF＝DE.‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，‎ ‎∴AB∥DE.则GF∥AB.‎ 又∵AB＝DE，∴GF＝AB.‎ 则四边形GFAB为平行四边形．于是AF∥BG.‎ ‎∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，‎ ‎∴AF⊥CD.‎ ‎∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.‎ 又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE，‎ ‎∴AF⊥平面CDE.‎ ‎∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.‎ ‎∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.‎ 规律总结：此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题．证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证．或者从结论出发逆推分析．‎ ‎14．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.‎ ‎[分析]　转化为证明AE⊥平面PCD，进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.‎ ‎[证明]　∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥CD.‎ 又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA⊂平面 PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴CD⊥平面PAD.‎ 又AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.‎ 又AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD.‎ 又l⊥平面PCD，∴l∥AE.‎ ‎15．如下图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.‎ ‎[分析]　转化为证明EF⊥平面AB‎1C，BD1⊥平面AB‎1C.‎ ‎[证明]　连接AB1，B‎1C，BD，B1D1，如图所示．‎ ‎∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴DD1⊥AC.‎ 又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，‎ ‎∴AC⊥平面BDD1B1.‎ ‎∴AC⊥BD1，‎ 同理BD1⊥B‎1C，又AC∩B‎1C＝C，‎ ‎∴BD1⊥平面AB‎1C.‎ ‎∵EF⊥A1D，且A1D∥B‎1C，‎ ‎∴EF⊥B‎1C.又∵EF⊥AC，AC∩B‎1C＝C，‎ ‎∴EF⊥平面AB‎1C.∴EF∥BD1.‎ 规律总结：当题中垂直条件很多，但又需证两直线的平行关系时，就要考虑直线与平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．‎ ‎16．如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点．‎ ‎(1)求证：MN⊥AB；‎ ‎(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD.‎ ‎[证明]　(1)取CD的中点E，连接EM、EN，‎ 则CD⊥EM，且EN∥PD.‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，‎ 又AD⊥DC，PA∩AD＝A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，‎ ‎∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.‎ 又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.‎ 因此，MN⊥CD，而CD∥AB，‎ 故MN⊥AB.‎ ‎(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，‎ 取PD的中点K，连接AK，KN，‎ 则KN綊DC綊AM，且AK⊥PD.‎ ‎∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.‎ 因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，‎ ‎∴MN⊥平面PCD.‎