2019届二轮复习解三角形学案（江苏专用）

2019届二轮复习解三角形学案（江苏专用）

‎2019届二轮复习 解三角形 学案 （江苏专用）‎ ‎1.【2018江苏，理17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．‎ ‎（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；‎ ‎（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ 分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.‎ 详解：解：‎ 解：‎ 则．‎ 令，得θ=， ‎ 当θ∈（θ0，）时，，所以f（θ）为增函数；‎ 当θ∈（，）时，，所以f（θ）为减函数，‎ 因此，当θ=时，f（θ）取到最大值．‎ 答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．‎ 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数问题；二是利用数内部的知识解决问题.‎ ‎2.【2017课标1，理17】△ABC的内角A，B， C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 ‎ ‎（1）求sinBsinC;‎ ‎（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式，再利用正弦定理将边化成角，从而得出的值；（2）由和计算出，从而求出角，根据题设和余弦定理可以求出和的值，从而求出的周长为.‎ ‎【考点】三角函数及其变换.‎ ‎【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. ‎ ‎3. 【2016高考江苏，理15】在中，AC=6，‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎【答案】（1）；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（2）在中，，所以，‎ 于是 又故 因为，所以 因此 ‎【考点】同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先应从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，同时应明确角的范围、开方时正负的取舍等.‎ ‎【2019年高考命题预测】‎ 从近几年的高考试题来看，正弦定理、余弦定理是高考的热点，‎ 主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题等问题.今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用.题型一般为填空题，中、难度的解答题, 主要考查生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力．故在2019年复习备考中，注意掌握利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．预测2019年高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，重点考查计算能力以及应用数知识分析和解决问题的能力．‎ ‎【2019年高考考点定位】+ + ]‎ 高考对解三角形的考查有两种主要形式：一是直接考查正弦定理、余弦定理；二是以正弦定理、余弦定理为工具考查涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题.从涉及的知识上讲，常与诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式,向量等知识相联系，小题目综合化是这部分内容的一种趋势.‎ ‎【考点1】利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．直角三角形中各元素间的关系：‎ 如图，在中，，.‎ ‎（1）三边之间的关系：.（勾股定理）‎ ‎（2）锐角之间的关系：；‎ ‎（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）‎ ‎，，.‎ ‎2．斜三角形中各元素间的关系：‎ 如图，在中，为其内角，分别表示的对边.‎ ‎（1）三角形内角和：.‎ ‎（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 ‎.（为外接圆半径）‎ 变形：，，;;‎ ‎；.‎ ‎（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 ‎；；.‎ 推论：;;.‎ 变形：;;.‎ ‎【规律方法技巧】‎ 解斜三角形的常规思维方法是：‎ ‎（1）已知两角和一边（如），由求，由正弦定理求；‎ ‎（2）已知两边和夹角（如），应用余弦定理求边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用，求另一角；‎ ‎（3）已知两边和其中一边的对角（如），应用正弦定理求B，由求，再由正弦定理或余弦定理求边，要注意解可能有多种情况；‎ A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系 式 a＜bsin A a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 也可设出第三边,利用余弦定理,建立方程,解方程即可.‎ ‎（4）已知三边，应余弦定理求，再由，求角.‎ ‎ (5)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．‎ ‎(6)在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要的数思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题．‎ ‎(7)如何恰当选择正弦定理与余弦定理解题 利用正弦定理解三角形时，可将正弦定理视为方程或方程组，利用方程思想处理已知量与未知量的关系.熟记正弦定理同三角形外接圆半径、三角形面积之间的关系等结论，对于相关问题是十分有益的.利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边对应的角，求其他边角，由于此时的三角形不能确定，应对它进行分类讨论.利用正弦定理解题一般适应的特点（1）如果所给的等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式，可以利用正弦定理进行边角互换，这是高考中常见的形式；（2）根据所给条件构造（1）的形式，便于利用正弦定理进行边角互换，体现的是转化思想的灵活应用.‎ 余弦定理与平面几何知识、向量、三角函数有着密切的联系，常解决一下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边角；二是已知三边求三角.由于这两种情形下三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一. 余弦定理的重要应用 ‎(8)三角形的余弦定理作为解决三角形问题的利剑，必须熟练掌握应用.为此，就其常见的几种变形形式，介绍如下.‎ ‎①联系完全平方式巧过渡:‎ 由则.‎ ‎②联系重要不等式求范围：‎ 由，则当且仅当等号成立.‎ ‎③联系数量积的定义式妙转化：‎ 在中，由.‎ ‎(9)在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的．解题时要注意隐含条件．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.在锐角中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,,的面积为，则的最大角的正切值是 ‎ ‎【答案】‎ ‎2.已知△的三边所对的角分别为,且, 则的值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点2】利用正余弦定理求三角形面积 ‎【备考知识梳理】‎ 三角形的面积公式：‎ ‎（1）（分别表示上的高）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；（为外接圆半径）‎ ‎（5）；‎ ‎（6）△＝；；‎ ‎（7）.（为内切圆半径, ）‎ ‎【规律方法技巧】‎ 利用来求的面积是在已知两边及夹角的前提下来求的，事实上，两边及夹角中的某个(或两个)量需要通过解三角形求出，这就需要先利用正、余弦定理解三角形．‎ 求解此类三角形的基本量的技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等工具进行三角形中边角的互化，若要把“边”化为“角”，常利用“ ，;”，若要把“角”化为“边”，常利用，;;等；然后利用三角形的内角和定理、大边对大角等知识求出三角形的基本量．‎ 解三角形中，应特别注意问题中的隐含条件，正弦定理和余弦定理，三角形的面积公式，三角形中的边角关系，内角和定理等．例如利用边的值判断隐含条件或，极其隐蔽．‎ 另外常见的错误还有：(1)在化简三角函数式子时要注意恒等变形不要轻易约分(消去某一个式子)等，‎ ‎(2)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sinC＝2sinA，则ΔABC的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎2．已知△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为 .‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】，， ‎ 得，，△ABC面积的最大值为 ‎【考点3】利用正余弦定理判断三角形形状 ‎【备考知识梳理】‎ 解斜三角形的主要依据是：‎ 设的三边为，对应的三个角为. ]‎ ‎（1）角与角关系：； ‎ ‎（2）边与边关系：，，，；‎ ‎（3）边与角关系：‎ 正弦定理 .（为外接圆半径）；‎ 余弦定理 ；；.‎ 它们的变形形式有：，，.‎ ‎5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.‎ ‎（1）角的变换 因为在中，，所以；；.；‎ ‎（2）三角形边、角关系定理及面积公式面积公式 r为三角形内切圆半径，p为周长之半.‎ ‎（3）在中，熟记并会证明：成等差数列的充分必要条件是；‎ 是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列.‎ ‎【规律方法技巧】‎ 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：‎ ‎1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；‎ ‎2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．‎ 如何利用余弦定理判定三角形的形状 由于与同号，‎ 故当时，角为锐角；‎ 当时，三角形为直角三角形；‎ 当时，三角形为钝角三角形．‎ 三角形中常见的结论 ‎(1) .‎ ‎(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．‎ ‎(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．‎ ‎(4)在中，是的充要条件 ‎【考点针对训练】‎ ‎1.已知中，角、、所对的边分别为、、，满足．‎ ‎ ⑴求角的值；‎ ‎⑵若，，成等差数列，试判断的形状． ‎ ‎【答案】（1）；（2）等边三角形．‎ ‎2.设的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若，则的形状为 .‎ ‎【答案】直角三角形 ‎ ‎【解析】因为，由正弦定理可得：，所以，即，A为三角形内角，所以sinA=1，A=，所以三角形是直角三角形． ‎ ‎【考点4】正、余弦定理的实际应用 ‎【备考知识梳理】‎ 仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))．‎ ‎2．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．‎ ‎3．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．‎ 易混点：易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．‎ ‎【规律方法技巧】‎ 三角形应用题的解题要点：解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中寻找出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得出所要求的量，从而得到实际问题的解．有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等．正确理解和掌握方位角、俯角、仰角对于解决三角形应用题也是必不可少的．‎ 把握解三角形应用题的四步：‎ ‎(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；‎ ‎(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；‎ ‎(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；‎ ‎(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．‎ 求距离问题的注意事项：‎ ‎(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．‎ 求解高度问题应注意：‎ ‎(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；‎ ‎(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；‎ ‎(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．‎ 解决测量角度问题的注意事项：‎ ‎(1)明确方位角的含义；‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示），已知，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点.‎ ‎（1）若，求存储区域面积的最大值；‎ ‎（2）若，在折线MBCN内选一点D，使，求四边形存储区域DBAC的最大面积.‎ ‎【答案】（1）最大值为；（2）最大面积为.‎ ‎【解析】（1）设，，.‎ 由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ 即四边形DBAC面积的最大值为，当且仅当时取到.‎ ‎2.一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为‎1m的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是‎1m.‎ ‎（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆弧相切于点设试用表示木棒的长度 ‎（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．‎ ‎【两年模拟详解析】‎ ‎1．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数试题】某“” 型水渠南北向宽为，东西向宽为，其俯视图如图所示．假设水渠内的水面始终保持水平位置.‎ ‎(1) 过点的一条直线与水渠的内壁交于两点，且与水渠的一边的夹角为（为锐角），将线段 的长度表示为的函数；‎ ‎(2) 若从南面漂来一根长度为的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？试说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）能 ‎ 即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为.‎ 因为，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠.‎ 答：竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．‎ 点睛：（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．‎ ‎（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．‎ ‎（3）注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数结果对实际问题的合理性．‎ ‎2．【江苏省海门中2018届高三5月考试（最后一卷）数试题】将一个半径为3dm，圆心角为的扇形铁皮焊接成一个容积为V(dm3)的圆锥形无盖容器(忽略损耗).‎ ‎(1)求V关于的函数关系式 ‎(2)当为何值时，V取得最大值 ‎(3)容积最大的圆锥形容器能否完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球?请说明理由.‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2) ]‎ ‎(3) 能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.理由见解析.‎ ‎（3）设圆锥轴截面三角形内切圆半径为 ‎，‎ 所以能完全盖住桌面上一个半径为0.5dm的球.‎ 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.‎ ‎3．【江苏省南京师范大附属中、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数调研测试试题】如图，某大型水上乐园内有一块矩形场地米， 米，以为直径的半圆和半圆（半圆在矩形内部）为两个半圆形水上主题乐园， 都建有围墙，游客只能从线段处进出该主题乐园.为了进一步提高经济效益，水上乐园管理部门决定沿着修建不锈钢护栏，沿着线段修建该主题乐园大门并设置检票口，其中分别为上的动点， ，且线段与线段在圆心和连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为元/米，直线部门的平均修建费用为元/米. ‎ ‎（1）若米，则检票等候区域（其中阴影部分）面积为多少平方米？‎ ‎（2）试确定点的位置，使得修建费用最低.‎ ‎【答案】（1）；（2）当为时，修建费用最低.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图,设直线矩形交于两点，连，则米， 米．‎ ‎ ‎ 当变化时， 的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 极小值 由上表可得当时，即， 有极小值，也为最小值．‎ 故当为时，修建费用最低．‎ ‎4．【江苏省南通市2018届高三上期第一次调研测试数试题】‎ 如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的条直道， ， 将广场分割为个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上， 分别与， 相交于点， .（道路宽度忽略不计） ‎ ‎（1）若经过圆心，求点到的距离；‎ ‎（2）设， .‎ ‎①试用表示的长度；‎ ‎②当为何值时，绿化区域面积之和最大.‎ ‎【答案】（1）（2）①最小值为②当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大 ‎ 所以，点到的距离为.‎ 所以 .‎ 设，则，‎ ‎.‎ ‎ .‎ 当且仅当，即时“”成立.‎ 所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为.‎ 答：当时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大. ‎ ‎5．【河南省中原名校（即豫南九校）2017-2018年高一上期第二次联考数试题】如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中在直径上，点在圆周上.‎ ‎（1）设，将矩形的面积表示成的函数，并写出其定义域；‎ ‎（2）怎样截取，才能使矩形材料的面积最大？并求出最大面积.‎ ‎【答案】(1)y=2x，x∈（0，20）.(2)截取AD=10时，才能使矩形材料ABCD的面积最大，最大面积为. ]‎ ‎6．【江苏省兴化市楚水实验校、黄桥中、口岸中三校2018届高三12月联考数试题】如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池及其矩形附属设施，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化.其中半圆的圆心为，半径为，矩形的一边在直径上，点 在圆周上， 在边上，且，设.‎ ‎（1）记游泳池及其附属设施的占地面积为，求的表达式；‎ ‎（2）当为何值时，能符合园林局的要求？‎ ‎【答案】（1）;(2) ‎ ‎ ‎ ‎（2）要符合园林局的要求，只要最小，‎ 由（1知， ‎ 令，即，解得或（舍去），‎ 令 当时， ， 是单调减函数，当时， ， 是单调增函数，所以当时， 取得最小值.‎ 答：当满足时，符合园林局要求.‎ ‎7．【江苏省无锡市2018届高三第一期期末检测数试卷】如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，，，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设.‎ ‎（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；‎ ‎（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由. ‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎（1）由题意，，所以，‎ 又，‎ 所以观光专线的总长度 ‎ ，，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 在一定条件下“成本最低”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高“等问题，在生产、生活中经常遇到，在数上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值，但无论采取何种方法都必须在函数的定义域内进行.‎ ‎8．【江苏省镇江市2018届高三上期期末统考数试题】如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆与焊接而成，焊接点把杆分成两段，其中两固定点间距离为1米， 与杆的夹角为，杆长为1米，若制作段的成本为，制作段的成本是，制作杆成本是.设，则制作整个支架的总成本记为元.‎ ‎（1）求关于的函数表达式，并求出的取值范围；‎ ‎（2）问段多长时， 最小？ ‎ ‎【答案】（1） （2）当时最小 ‎∴当时， 最小，此时， .‎ 答：（1）关于的函数表达式为，且；‎ ‎（2）当时最小.‎ 点睛：求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.‎ ‎9．【江苏省启东中2018届高三上期第二次月考数试题】园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为（弧度）的扇形观景水池，其中， 为扇形的圆心，同时紧贴水池周边(即： 和所对的圆弧)建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元.‎ ‎(1)若总费用恰好为24万元，则当和分别为多少时，可使得水池面积最大，并求出最大面积；‎ ‎(2)若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少？ ]‎ ‎【答案】（1）， ，面积最大值为400平方米.（2）水池的最大面积为337.5平方米.‎ 当且仅当取等号，此时 答： ， ，面积最大值为400平方米.‎ ‎10．【江苏省邗江中2017-2018年高二下期期中考试数（文）试题】日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD区域用于儿童乐园出租，弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元． ‎ ‎（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；‎ ‎（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50π）.‎ ‎【解析】分析：根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解弓形的面积；‎ ‎（2）由题意列出函数的关系式，利用导数判断函数的单调性，即可求解最大值．‎ 点睛：本题考查了导数在实际问题中的应用，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值等问题，试题属于中档试题，其中正确读懂题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力．‎ ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 在中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且若的面积为，则的最小值为 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【入选理由】本本题考查正弦定理，基本不等式，两角和与差的三角函数关系等基础知识，意在考查分析问题，解决问题，以及基本运算能力． 题目考查内容基础性较强，符合高考的方向，故押此题．‎ ‎2.在中,已知,若 分别是角所对的边,则的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【入选理由】本题主要考查了三角恒等变换，正弦定理、余弦定理，以及基本不等式的概念，意在考查综合应用和计算能力.本题与不等式巧妙结合一起,难度适中，符合高考小题目综合化的要求,故选此题.‎ ‎3.已知向量，设函数. ‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，角A、B、C所对的边分别是,若，，，求边的长.‎ ‎【入选理由】本题主要考查平面向量的性质、三角恒等变换、解三角形等基础知识，意在考查生转化与化归能力以及运算求解能力.本题三角恒等变形与解三角形结合起来出题，在全国卷中很少出现但在自主命题的省份已多次出现，有可能下年涉及，故选此题.‎