2017-2018学年陕西省西安市高二下学期期末考试数学（理）试题 解析版

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绝密★启用前 陕西省西安市 2017-2018 学年高二下学期期末考试数学（理) 试题 评卷人 得分 一、单选题 1．设集合 A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集 U=A B，则集合 中的元素共有 （ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： , , 所 以 ， 即 集 合 中共有 3 个元素，故选 A． 考点：集合的运算． 2．复数 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，故选 D. 3．已知 ，且 ，则 a=（ ） A．﹣1 B．2 或﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ，可得 ，即可求解，得到答案。 【详解】 由题意， ，且 ，则 ，解得 或 ，故选 B。 【点睛】 本题主要考查了共线向量的坐标表示及应用，其中解答中熟记共线向量的概念以及坐标 表示是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。 4．在区间 上随机选取一个实数 ，则事件 的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 由题意得，事件“ ”，即 ， 所以事件“ ”满足条件是 ， 由几何概型的概率公式可得概率为 ，故选 B. 5．已知 tan =4,cot = ,则 tan（ + ）=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得， ，故选 B． 考点：两角和的正切函数． 视频 6． 的展开式中， 的系数为（ ） A．15 B．-15 C．60 D．-60 【答案】C 【解析】 试题分析：依题意有 ，故系数为 . 考点：二项式． 7．执行如图所示的程序框图，若输入的 为 2，则输出的 值是（ ） [ ]1,1− x "2 1 0"x − < 1 2 3 4 2 3 1 4 2 1 0x − < 1 2x < 2 1 0x − < 1 31 2 2 + = ( ) 3 32 1 1 4P = =− − a β 1 3 a β 7 11 7 11 − 7 13 7 13 − ( ) 14tan tan 73tan 11 tan tan 111 4 3 α βα β α β +++ = = = −− − × A．2 B．1 C． D．-1 【答案】A 【解析】 【分析】 根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案。 【详解】 由题意，执行如图所示的程序框图，可得： 第一次循环： ，满足判断条件， ； 第二次循环： ，满足判断条件， ； 第三次循环： ，满足判断条件， ； 第四次循环： ，满足判断条件， ； 第五次循环： ，满足判断条件， ； 第六次循环： ，不满足判断条件，输出结果 ，故选 A。 【点睛】 本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法， 一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判 断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、 判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 8．设非零向量 满足 （ ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】B 【解析】略 视频 9．甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组 中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( ) A．150 种 B．180 种 C．300 种 D．345 种 【答案】C 【解析】试题分析：分两类（1）甲组中选出一名女生有 种选法； （2）乙组中选出一名女生有 种选法．故共有 345 种选法 考点：排列组合 视频 10．下列四个结论中正确的个数是 （1）对于命题 使得 ，则 都有 ； （2）已知 ，则 （3）已知回归直线的斜率的估计值是 2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为 ； （4）“ ”是“ ”的充分不必要条件. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中， 根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直 线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即 可判定。 , ,a b c  , , ,a b c a b c a b= = + = =      则 1 1 2 5 3 6 225C C C = 2 1 1 5 6 2 120C C C = 【详解】 由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题 使得 ， 则 都有 ，是正确的； （2）中，已知 ，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为 ，所以 是正确的； （3）中，回归直线的斜率的估计值是 2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的 性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为 是正确； （4）中，当 时，可得 成立，当 时，只需满足 ，所以 “ ”是“ ”成立的充分不必要条件。 【点睛】 本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲 线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是 解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。 11．正方体 中，若 外接圆半径为 ，则该正方体外接球的表面 积为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 设正方体 的棱长为 ，则 是边长为 的正三角形，求得其外接圆 的半径，求得 的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案。 【详解】 如图所示，设正方体 的棱长为 ，则 是边长为 的正三角形， 设其外接圆的半径为 ，则 ，即 ， 由 ，得 ， 所以正方体的外接球的半径为 ， 所以正方体的外接球的表面积为 ，故选 C。 【点睛】 本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用， 其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重 考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题。 12．已知奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ， ，则 的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 令 ，则 ，根据题意得到 时，函数 单调递增，求得 ，再由函数的奇偶性得到 ，即可作出比较，得到答案。 【详解】 由题意，令 ，则 ， 因为当 时， ，所以当 时， ， 即当 时， ，函数 单调递增， 因为 ，所以 ， 又由函数 为奇函数，所以 ， 所以 ，所以 ，故选 D。 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，其中解答中根据题意，构造新函 数 ，利用导数求得函数 的单调性和奇偶性是解答的关键，着重考查了分析 问题和解答问题的能力，属于中档试题。 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．能够说明“ 恒成立”是假命题的一个 x 的值为____________. 【答案】0 【解析】 【分析】 不等式 恒成立等价于 恒成立，因此可构造函数 ，求其最值， 从而找到命题不成立的具体值。 【详解】 设函数 ，则有 ， 当 时，有 ， 单调递减； 当 时，有 ， 单调递增； 故 为最小值点，有 。 因此，当 时，命题不能成立。故能够说明“ 恒成立”是假命题的一个 x 的 值为 0 【点睛】 说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，怎样找到符合条件的反例是关键。在 处理时常要假设命题为真，进行推理，找出命题必备条件。 14．如图，在边长为 1 的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为 _______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为 ， 由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为 。 【点睛】 本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算 问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查 了推理与计算能力，属于基础题。 15．设实数 满足 ，则 的最小值为______ 【答案】-3 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，设 ，利用目标函数的几何意义，利用数形结合 确定 的最小值，得到答案。 【详解】 由题意，画出约束条件所对应的平面区域，如图所示， 设 ，则 ，当直线 过点 A 时，直线 在 轴上的截距最大，此 时目标函数 取得最小值， 由 ，解得 ， 所以目标函数的最小值为 。 【点睛】 本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表 示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重 考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 16．设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 =_______． 【答案】 ． 【解析】 因 为 ， 则 ， 故 ，应填答案 。 评卷人 得分 三、解答题 17．已知函数 的一个零点是 ． （1）求实数 的值； （2）设 ，若 ，求 的值域． 【答案】(1)a=1;(2) . 【解析】 【分析】 分析：（1）令 即可求得结果； （2）将原解析式代入，结合二倍角公式、辅助角公式等求得 ，将 x 的范围带入解析 式，结合三角函数图像的性质即可求出值域. 【详解】 ：（Ⅰ）依题意，得 ， 即 ，解得 ． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ． …8 分 ． 由 得 当 即 时， 取得最大值 2， 当 即 时， 取得最小值-1. 所以 的值域是 【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，此类题目是三角函数问题中的典型 题目，可谓相当经典解答本题，关键在于能利用三角函数的公式化简函数、进一步讨论 函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围. 难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. 18．某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随 机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值， 若该项质量指标值落在 内，则为合格品，否则为不合格品. 表 1 是甲套设备 的样本的频数分布表，图 1 是乙套设备的样本的频率分布直方图. 表 1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 [95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125] 频数 1 4 19 20 5 1 图 1：乙套设备的样本的频率分布直方图 [ )100,120 （1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 90%的把握认为该企业生产的这种产 品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关； 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 （2）根据表 1 和图 1，对两套设备的优劣进行比较； （3）将频率视为概率. 若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取 3 件产品，记抽到 的不合格品的个数为 ，求 的期望 . 附： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 . 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【 解 析 】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 根 据 表 1 和 图 1 即 可 完 成 填 表 ， 再 由 将数据代入计算得 即把握认为产品 的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 （2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量 指标值与甲套设备相比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足 ， X X ( )E X ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 3 25 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 3.053 2.706> 1~ 3, 25X B     代入即可求得结果 解析:（1）根据表 1 和图 1 得到列联表 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合计 50 50 100 将列联表中的数据代入公式计算得 ∵ ，∴有 90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有 关 （2）根据表 1 和图 1 可知，甲套设备生产的合格品的概率约为 ，乙套设备生产的 合格品的概率约为 ，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间， 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备 生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备. （3）由题知， ∴ . 19．如图，底面 是边长为 的正方形， ⊥平面 ， ∥ ， ， 与平面 所成的角为 ． （1）求证：平面 ⊥平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2） . ( ) ( )( )( )( ) ( )2 2 2 100 48 7 2 43 3.05350 50 91 9 n ad bcK a b c d a c b d − × × − ×= = ≈+ + + + × × × 3.053 2.706> 48 50 43 50 1~ 3, 25X B     ( ) 1 33 25 25E X = × = 【解析】 【分析】 （1）DE⊥平面 ABCD，可得到 DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到 AC⊥BD，进 而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面 BEF 和面 BDE 的法向量，根据法向量的夹角的 求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值. 【详解】 （1）证明： DE⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD． DE⊥AC． 又底面 ABCD 是正方形， AC⊥BD，又 BD∩DE=D， AC⊥平面 BDE， 又 AC⊂平面 ACE， 平面 ACE⊥平面 BDE． （2）以 D 为坐标原点，DA、DC、DE 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示， BE 与平面 ABCD 所成的角为 45°， 即∠EBD=45°， DE=BD= AD= ，CF= DE= ． A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0， ），F（0，3， ）， =（﹣3，0， ）， =（0，3， ）， 设平面 BEF 的一个法向量为 =（ ， ， ）， 则 ，即 ，令 = ， 则 =（2，4， ）． 又 AC⊥平面 BDE， =（﹣3，3，0）为平面 BDE 的一个法向量． cos＜ ＞= = = ． ∴二面角 F﹣BE﹣D 的余弦值为 ． 【点睛】 本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个 平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两 个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可. 2120．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，点 P 到两点 ， 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 ． （Ⅰ）写出 C 的方程； （Ⅱ）设直线 与 C 交于 A，B 两点．k 为何值时 ？此时 的值 是多少？ 【 答 案 】（Ⅰ ） 曲 线 C 的 方 程 为 ．（Ⅱ ） 时 ， ． 【解析】（Ⅰ）设 P（x，y），由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以 为 焦点，长半轴为 2 的椭圆．它的短半轴 ， 故曲线 C 的方程为 ． 4 分 （Ⅱ）设 ，其坐标满足 消去 y 并整理得 ， 故 ． 6 分 ，即 ． xOy (0 3)−， (0 3)， C 1y kx= + OA ⊥ OB AB 2 2 14 yx + = 1 2k = ± OA ⊥ OB 4 65 17AB = (0 3) (0 3)−， ，， 2 22 ( 3) 1b = − = 2 2 14 yx + = 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， 2 2 14 1. yx y kx  + =  = + ， 2 2( 4) 2 3 0k x kx+ + − = 1 2 1 22 2 2 3 4 4 kx x x xk k + = − = −+ +， OA OB⊥  1 2 1 2 0x x y y+ = 而 ， 于是 ． 所以 时， ，故 ． 8 分 当 时， ， ． ， 而 ， 所以 ． 12 分 21．设函数 ，（为常数）， ．曲线 在点 处的切线与 轴平行 （1）求 的值； （2）求 的单调区间和最小值； （3）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1)k=1;(2) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，最小值为 ;(3) . 【解析】 【分析】 （1）首先求得导函数，然后利用导函数研究函数切线的性质得到关于 k 的方程，解方 程即可求得 k 的值； （2）首先确定函数的定义域，然后结合导函数的符号与原函数的单调性求解函数的单 调区间和函数的最值即可； （3）用问题等价于 ，据此求解实数 a 的取值范围即可. 【详解】 2 1 2 1 2 1 2( ) 1y y k x x k x x= + + + 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 3 3 2 4 114 4 4 4 k k kx x y y k k k k − ++ = − − − + =+ + + + 1 2k = ± 1 2 1 2 0x x y y+ = OA OB⊥  1 2k = ± 1 2 4 17x x+ =  1 2 12 17x x = − 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) (1 )( )AB x x y y k x x= − + − = + − 2 2 2 1 2 1 1 2( ) ( ) 4x x x x x x− = + − 2 3 2 2 4 4 3 4 13417 17 17 × ×= + × = 4 65 17AB = （1） ， ，因为曲线 在点 处的切线与 轴平行， 所以 ，所以 . （2） ，定义域为 ， 令 ，得 ，当 变化时， 和 的变化如下表： 由上表可知， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，最小值为 . （3）若 对任意 成立，则 ， 即 ，解得： . 【点睛】 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识 点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方 向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查 导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间， 判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优 化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 22．在直角坐标系 中，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，圆 的极坐标方程为 ． （1）将圆 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点 作斜率为 1 直线 与圆 交于 两点，试求 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用 ρcosθ=x， ρsinθ=y，即可普通方程； （Ⅱ）求出过点 P（2，0）作斜率为 1 直线 l 的参数方程，代入到圆的方程中，得到关 于 t 的方程，运用韦达定理，以及参数 t 的几何意义，即可求出结果． 【详解】 （Ⅰ）由 得： ， ， 即 ， C 的直角坐标方程为： ． （Ⅱ）设 A，B 两点对应的参数分别为 ， ，直线 和圆的方程联立得： ，所以， ， ． 所以， ． 【点睛】 本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程 的运用，属于中档题． 23．已知函数 ， . (1)解不等式 ； (2)若对任意 ，都有 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2）[-3,1]. 【解析】试题分析: （1）由 ，得 ，去掉绝对值写出不等式的解 集;(2) 对任意 ，都有 ，使得 成立,则 的值域为 值域的子集, 分别求出函数值域,建立不等式解出 a 的范围即可. 试题解析:（1）由 ，得 ，解得 或 . 故不等式 的解集为 . （ 2 ） 因 为 对 任 意 ， 都 有 ， 使 得 成 立 ， 所 以 . 又 因 为 ， . 所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .